На этом уроке мы вспомним, что такое алгебраическое выражение, как найти его значение при заданных значениях переменных. Выясним, какие значения переменных могут быть недопустимыми для данного выражения. А также научимся выполнять различные действия с числовыми и алгебраическими выражениями.

Определение : алгебраическое выражение - это любая составленная со смыслом запись, которая может содержать только числа, буквы, знаки действия и скобки. Например, .

Можно вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях переменных, для этого достаточно подставить значение в выражение и выполнить вычисления. Например, при значение выражения : .

Задача 1 . Найдите значение выражения при .

Решение . Подставим значение в выражение и выполним вычисления:

Ответ : .

В задаче 1 получилось деление на 0. Можно попробовать поделить 3 на 0, например, на калькуляторе. Убедитесь сами, что калькулятор не смог найти значение этого выражения. Не получится и у нас. Деление на 0 не имеет смысла, не определено.

Почему деление на ноль не определено?

0 был введен как часть большого механизма под названием целые числа для обозначения отсутствия чего-то. 0 облегчает счет и запись чисел, но нулевого количества нет, на него не укажешь пальцем, поэтому сказать, сколько 0 содержится в другом числе нельзя.

Разделить 3 на 0 означает сказать, сколько раз в 3 ничего нет. Ответить на вопрос, сколько в гараже квадратных метров можно, но ответить, сколько в нем пустоты, - нет.

Если бы был придуман какой-то смысл для выражения , то это противоречило бы некоторым известным свойствам и определениям, например свойствам умножения, поэтому деление на 0 не определяют.

Можно все же попробовать разделить 3 на 0. Деление - это действие, обратное умножению, т.е., если .

Но при умножении на 0 всегда получается 0, т.е. такого просто не существует.

Рассмотрим случай деления 0 на 0, чтобы не возникало ощущения, что он - особый и отличается от деления 3 на 0.

Равенство будет справедливым для любого , потому что Но результат деления должен быть конкретным числом. Снова получаем противоречие.

Поэтому деление на 0 в математике не определено.

Подставить в алгебраическое выражение можно любое число, но не всегда получится посчитать его значение.

Определение : такие значения переменной, при которых выражение не определено (нельзя вычислить его значение), называют недопустимыми значениями .

На данный момент мы знакомы только с одним таким случаем. Например, если в выражении есть дробь или деление , то мы не будем подставлять в выражение такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в 0: .

Есть и другие случаи появления недопустимых значений переменных, но о них мы узнаем позже, по мере изучения различных функций.

Рассмотрим примеры на определение недопустимых значений переменных в выражениях.

Пример 1

Решение . Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: .

Таким образом, недопустимым значением переменной является 0, т.е. выражение определено для любых .

Ответ : 0.

Пример 2 . Определить недопустимые значения переменной в выражении .

Решение . Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: .

Таким образом, недопустимым значением переменной является 5, т.е. выражение определено для любых .

Ответ : 5.

Где еще можно встретить деление на ноль?

Докажем, что . Введем переменные , пусть .

Получим равенство:

Перегруппируем слагаемые и получим:

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из частей равенства:

Разделим обе части равенства на и получим:

Получили, что . В чём подвох? Дело в том, что в наше «доказательство» вкралась ошибка: было выполнено деление на 0 при делении обеих частей равенства на выражение (по предположению эти числа равны: ).

Это пример математического софизма - утверждения с доказательством, в котором кроются ошибки. Софизмы бывают не только математическими, например, фраза «Ты не терял то, что у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит, у тебя есть рога и хвост» содержит логическую ошибку: из первой фразы не следует, что у тебя есть всё, что ты не терял.

Наиболее известными софизмами являются апории Зенона . Подробнее узнать о них вы можете по этой ссылке.

Мы уже сталкивались с эквивалентными выражениями, когда приводили дроби к общему знаменателю. Мы записывали цепочки эквивалентных дробей и выбирали из них те, у которых одинаковый знаменатель:

И

Например, в данном случае это будут дроби: .

Эквивалентные выражения можно заменять друг другом, от этого смысл и значение записи не изменится.

Например, пусть есть выражение . Можно выполнить умножение и получить выражение . Оба эти числовых выражения равны, эквивалентны.

Если же выполнить все действия в каком-то числовом выражении, то получится его значение: , т.е. - значение числового выражения . Выполнив все действия, мы упростили числовое выражение.

Алгебраические выражения могут быть записаны по-разному, но означать одно и то же, например: и .

Можно ли сказать, что выражение упрощено? Обычно под упрощением подразумевают эквивалентную запись в таком виде, чтобы для вычисления значения выражения нужно было выполнить как можно меньше действий.

Например, чтобы вычислить значение выражения при заданном значении переменной необходимо выполнить 3 действия, а для выражения - одно действие. Конечно, разница в 2 действия невелика, но, если бы такую операцию нужно было бы проделать 50 раз, тогда разница была бы уже в целых 100 действий.

Задача 2 . Докажите, что выражение эквивалентно выражению .

Доказательство

Дважды воспользуемся распределительным законом :

Задача 3 . Упростите выражение: .

Решение . Воспользуемся формулой разности квадратов :

Ответ : .

Сравним количество действий, которое необходимо сделать, чтобы вычислить первое выражение и второе. В первом случае нужно было выполнить 5 действий, а во втором - только 1. В таких случаях говорят, что мы упростили алгебраическое выражение .

Недопустимые значение переменных

Найдем недопустимые значения переменных для выражения: .

Знаменатель дроби содержит переменные, определим, когда он обратится в 0:

Т.е. недопустимыми значениями переменных будут противоположные значения. Например, если , то .

Эквивалетность выражений

Выражения и не являются эквивалентными для любых и , т.к. первое выражение не определено, когда , а второе выражение определено при любых значениях переменных и .

Т.е. эти выражения будут эквивалентными только для таких и , которые не являются противоположными числами.

Задача 4 . Упростите выражение: .

Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Алгебраическое выражение - это любая запись из букв, чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленная со смыслом. По сути, алгебраическое выражение – это числовое выражение , в котором помимо чисел употребляются также и буквы. Поэтому алгебраические выражения также называют буквенными выражениями.

В основном в буквенных выражениях используют буквы латинского алфавита. Для чего же нужны эти буквы? Вместо них мы можем подставить различные числа. Поэтому эти буквы называются переменными. То есть они могут менять свое значение.

Примеры алгебраических выражений.

$\begin{align} & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac{a-b}{2}; \\ & \\ & \sqrt{{{b}^{2}}-4ac};\,\,\,\,\,\frac{2}{z}+\frac{1}{h};\,\,\,\,\,a{{x}^{2}}+bx+c; \\ \end{align}$

Если, например, в выражении x + 5 мы подставим вместо переменной х какое-нибудь число, то мы получим числовое выражение. При этом, значение этого числового выражения будет значением алгебраического выражения x + 5 при данном значении переменной. То есть, при x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. А при x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.

Бывают такие значения переменной, при котором алгебраическое выражение теряет смысл. Так, например, будет, если в выражение 1:x мы подставим вместо x значение 0.
Так как на нуль делить нельзя.

Область определения алгебраического выражения.

Множество значений переменной, при которых выражение не теряет смысл, называется областью определения этого выражения. Также можно сказать, что область определения выражения – это множество всех допустимых значений переменной.

Рассмотрим примеры:

1. y+5 – областью определения будут любые значения y.
2. 1:x – выражение будет иметь смысл при всех значениях x кроме 0. Поэтому областью определения будут любые значения x за исключением нуля.
3. (x+y):(x-y) – область определения – любые значения x и y, при которых x ≠ y.

Виды алгебраических выражений.

Рациональные алгебраические выражения – это целые и дробные алгебраические выражения.

1. Целое алгебраическое выражение – не содержит возведение в степень с дробным показателем, извлечение корня из переменной, а также деления на переменную. В целых алгебраических выражениях все значения переменных являются допустимыми. Например, ax + bx + c – целое алгебраическое выражение.
2. Дробное – содержит деление на переменную. $\frac{1}{a}+bx+c$ - дробное алгебраическое выражение. В дробных алгебраических выражениях допустимыми являются все значения переменных, при которых не происходит деления на нуль.

Иррациональные алгебраические выражения содержат извлечение корня из переменной или возведение переменной в дробную степень.

$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{\frac{2}{3}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}};$ - иррациональные алгебраические выражения. В иррациональных алгебраических выражениях допустимыми являются все значения переменных, при которых выражение, стоящее под знаком корня четной степени не отрицательно.

Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.

Что такое выражение в математике? Зачем нужны преобразования выражений?

Вопрос, как говорится, интересный... Дело в том, что эти понятия - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. Не очень понятно? Поясню.

Допустим, перед вами злой пример. Очень большой и очень сложный. Допустим, вы сильны в математике и ничего не боитесь! Сможете сразу дать ответ?

Вам придётся решать этот пример. Последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать . По определённым правилам, естественно. Т.е. делать преобразование выражений . Насколько успешно вы проведёте эти преобразования, настолько вы и сильны в математике. Если вы не умеете делать правильные преобразования, в математике вы не сможете сделать ни-че-го ...

Во избежание такого неуютного будущего (или настоящего...), не мешает разобраться в этой теме.)

Для начала выясним, что такое выражение в математике . Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений .

3+2 - это математическое выражение. с 2 - d 2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

5х + 2 = 12

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.

В общем виде термин "математическое выражение " применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!

Первый вариант ответа: "Это... м-м-м-м... такая штука... в которой... А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?"

Второй вариант ответа: "Обыкновенная дробь - это (бодро и радостно!) математическое выражение , которое состоит из числителя и знаменателя!"

Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)

Вот в этих целях фраза "математическое выражение " очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике .

Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

Здесь мы освоим (или - повторим, кому как...) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.

Числовые выражения.

Что такое числовое выражение ? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 - числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 - тоже числовое выражение.

И вот этот монстр:

тоже числовое выражение, да...

Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв - всё это числовые выражения.

Главный признак числового выражения - в нём нет букв . Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?

И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений . Но об этом чуть ниже.

Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция - ничего не делать) - выполняется, когда выражение не имеет смысла .

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа

то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков...

Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однако, это выражение тоже не имеет смысла ! По той простой причине, что во вторых скобочках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: "Выражение не имеет смысла!"

Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено... Ну тут уж ничего не поделаешь.

Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме - всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.

Итак, представление о том, что такое числовое выражение - получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла - осознали. Едем дальше.

Алгебраические выражения.

Если в числовом выражении появляются буквы - это выражение становится... Выражение становится... Да! Оно становится алгебраическим выражением . Например:

5а 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (а+b) 2 ; ...

Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с , к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка...)

Почему буквенное - понятно. Ну, раз буквы есть... Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными .

В выражении у+5 , например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная" , без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная .

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры . Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.

В арифметике можно записать, что

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:

а + b = b + a

мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

Когда алгебраическое выражение не имеет смысла?

Про числовое выражение всё понятно. Там на ноль делить нельзя. А с буквами, разве можно узнать, на что делим?!

Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:

2: (а - 5)

Имеет оно смысл? Да кто ж его знает? а - любое число...

Любое-то любое... Но есть одно значение а , при котором это выражение точно не имеет смысла! И что это за число? Да! Это 5! Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла , если а = 5 . Но при других-то значениях а смысл имеется? Другие числа подставлять-то можно?

Конечно. Просто в таких случаях говорят, что выражение

2: (а - 5)

имеет смысл для любых значений а , кроме а = 5 .

Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.

Как видите, ничего хитрого нет. Смотрим на выражение с переменными, да соображаем: при каком значении переменной получается запретная операция (деление на ноль)?

А потом обязательно смотрим на вопрос задания. Чего спрашивают-то?

не имеет смысла , наше запретное значение и будет ответом.

Если спрашивают, при каком значении переменной выражение имеет смысл (почувствуйте разницу!), ответом будут все остальные числа , кроме запретного.

Зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его... Какая разница?! Дело в том, что это понятие становится очень важным в старших классах. Крайне важным! Это основа для таких солидных понятий, как область допустимых значений или область определения функции. Без этого вы вообще не сможете решать серьёзные уравнения или неравенства. Вот так.

Преобразование выражений. Тождественные преобразования.

Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означает фраза "выражение не имеет смысла". Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений. Ответ прост, до безобразия.) Это любое действие с выражением. И всё. Вы эти преобразования делали с первого класса.

Возьмём крутое числовое выражение 3+5. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Посчитать:

Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

Тут мы вообще ничего не считали. Просто записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:

И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь.

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Нарушение этого правила неизбежно приводит к ошибкам. Вникаем?)

Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:

Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде, что здесь не так?

Всё не так.) Дело в том, что преобразования "как попало" математику не интересуют вообще.) Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.

Преобразования, не меняющие сути выражения называются тождественными.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.)

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

a(b+c) = ab + ac

Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac . И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.

Ещё пример. Одно из из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Подробнее можно по ссылке посмотреть, а здесь просто напомню правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:

Как вы, наверняка, догадались, эту цепочку можно продолжать до бесконечности...) Очень важное свойство. Именно оно позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей. С него и начнём. В следующем уроке.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Ответы:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;