ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავიხსენებთ რა არის ალგებრული გამოხატულება და როგორ ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა ცვლადების მნიშვნელობების გათვალისწინებით. მოდით გავარკვიოთ, რომელი ცვლადის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს არასწორი მოცემული გამოხატულებისთვის. ჩვენ ასევე ვისწავლით შესრულებას სხვადასხვა ქმედებებირიცხვითი და ალგებრული გამონათქვამებით.

განმარტება: ალგებრული გამოხატულება არის ნებისმიერი მნიშვნელოვანი ჩანაწერი, რომელიც შეიძლება შეიცავდეს მხოლოდ რიცხვებს, ასოებს, მოქმედების ნიშნებს და ფრჩხილებს. Მაგალითად, .

თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა ცვლადების მნიშვნელობების გათვალისწინებით, უბრალოდ ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა გამოხატულებაში და შეასრულეთ გამოთვლები. მაგალითად, როდესაც გამოხატვის მნიშვნელობაა: .

პრობლემა 1 . იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ზე.

გამოსავალი . მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობა გამოსახულებაში და ჩავატაროთ გამოთვლები:

უპასუხე: .

პრობლემა 1-ში შედეგი იყო გაყოფა 0-ზე. შეგიძლიათ სცადოთ 3-ის გაყოფა 0-ზე, მაგალითად, კალკულატორზე. თავად ნახეთ, რომ კალკულატორმა ვერ იპოვა ამ გამოთქმის მნიშვნელობა. არც ჩვენთვის გამოვა. 0-ზე დაყოფას არ აქვს მნიშვნელობა, განუსაზღვრელი.

რატომ არ არის განსაზღვრული გაყოფა ნულზე?

0 დაინერგა, როგორც უფრო დიდი მექანიზმის ნაწილი, რომელსაც ეწოდება მთელი რიცხვები, რათა მიუთითებდეს რაღაცის არარსებობაზე. 0 აადვილებს რიცხვების დათვლას და ჩაწერას, მაგრამ არ არის ნულოვანი რაოდენობა, თითით ვერ გაიშვირებ მასზე, ასე რომ, ვერ იტყვი რამდენი 0 არის სხვა რიცხვში.

3-ის 0-ზე გაყოფა ნიშნავს იმის თქმას, რამდენჯერ 3 არის არაფერი. უპასუხეთ კითხვას რამდენია ავტოფარეხში კვადრატული მეტრიშესაძლებელია, მაგრამ პასუხის გაცემა რამდენი სიცარიელეა მასში, არა.

თუ რაიმე მნიშვნელობა გამოიგონეს გამოთქმისთვის, ის ეწინააღმდეგება ზოგიერთ ცნობილ თვისებასა და განმარტებას, მაგალითად, გამრავლების თვისებებს, ამიტომ 0-ზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული.

თქვენ მაინც შეგიძლიათ სცადოთ 3-ის გაყოფა 0-ზე. გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული, ანუ, თუ .

მაგრამ როდესაც მრავლდება 0-ზე, შედეგი ყოველთვის არის 0, ე.ი. ეს უბრალოდ არ არსებობს.

განვიხილოთ 0-ის 0-ზე გაყოფის შემთხვევა, რომ არ იყოს განცდა, რომ ის განსაკუთრებულია და განსხვავდება 3-ის 0-ზე გაყოფისგან.

თანასწორობა ჭეშმარიტი იქნება ნებისმიერისთვის, რადგან მაგრამ გაყოფის შედეგი უნდა იყოს კონკრეტული რიცხვი. ისევ წინააღმდეგობას მივიღებთ.

ამიტომ მათემატიკაში 0-ზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული.

თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ნებისმიერი რიცხვი ალგებრულ გამოსახულებაში, მაგრამ ყოველთვის ვერ შეძლებთ მისი მნიშვნელობის გამოთვლას.

განმარტება: ცვლადის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოხატულება არ არის განსაზღვრული (მისი მნიშვნელობის გამოთვლა შეუძლებელია) ეწოდება არასწორი მნიშვნელობები.

ამ დროისთვის ჩვენ მხოლოდ ერთ ასეთ შემთხვევას ვიცნობთ. მაგალითად, თუ გამოხატულება შეიცავს წილადს ან გაყოფას, მაშინ ჩვენ არ შევცვლით გამოხატულებაში ცვლადის ისეთ მნიშვნელობებს, რომ მნიშვნელი გახდეს 0: .

არსებობს ცვლადის არასწორი მნიშვნელობების სხვა შემთხვევები, მაგრამ მათ შესახებ მოგვიანებით გავიგებთ, როდესაც შევისწავლით სხვადასხვა ფუნქციებს.

მოდით შევხედოთ გამონათქვამებში არასწორი ცვლადის მნიშვნელობების იდენტიფიცირების მაგალითებს.

მაგალითი 1

გამოსავალი . გამოხატულება არის წილადი, ამიტომ მისი მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს 0: .

ამრიგად, ცვლადის არასწორი მნიშვნელობა არის 0, ე.ი. გამოხატვა განისაზღვრება ნებისმიერისთვის.

უპასუხე: 0.

მაგალითი 2 . გამოთქმაში არასწორი ცვლადის მნიშვნელობების იდენტიფიცირება.

გამოსავალი . გამოხატულება არის წილადი, ამიტომ მისი მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს 0: .

ამრიგად, ცვლადის არასწორი მნიშვნელობა არის 5, ე.ი. გამოხატვა განისაზღვრება ნებისმიერისთვის.

უპასუხე: 5.

კიდევ სად შეგიძლიათ იპოვოთ გაყოფა ნულზე?

ეს დავამტკიცოთ. მოდით შემოვიტანოთ ცვლადები, მოდით.

ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას:

ჩვენ ვაწესრიგებთ პირობებს და ვიღებთ:

ტოლობის თითოეულ ნაწილში ფრჩხილებიდან ამოვიღოთ საერთო ფაქტორი:

გაყავით ტოლობის ორივე მხარე და მიიღეთ:

Გავიგე. რა არის დაჭერა? ფაქტია, რომ ჩვენს „მტკიცებულებაში“ შეცდომა შემოიჭრა: 0-ზე გაყოფა შესრულდა ტოლობის ორივე მხარის გამოსახულებით გაყოფისას (დაშვებით, ეს რიცხვები ტოლია: ).

ეგ არის მაგალითი მათემატიკური სოფისტიკა- განცხადებები მტკიცებულებებით, რომლებიც შეიცავს შეცდომებს. სოფისტიკა არ არის მხოლოდ მათემატიკური, მაგალითად, ფრაზა "შენ არ დაკარგე ის, რაც გაქვს. თქვენ არ დაკარგეთ რქები და კუდი. ეს ნიშნავს, რომ შენ გაქვს რქები და კუდი“ შეიცავს ლოგიკურ შეცდომას: პირველი ფრაზიდან არ გამომდინარეობს, რომ გაქვს ყველაფერი, რაც არ დაკარგე.

ყველაზე ცნობილი სოფიზმებია ზენონის აპორია. მათ შესახებ მეტი შეგიძლიათ გაიგოთ აქ ესბმული.

ჩვენ უკვე შეგვხვდა ეკვივალენტური გამონათქვამები, როდესაც წილადებს საერთო მნიშვნელამდე ვამცირებდით. ჩვენ დავწერეთ ეკვივალენტური წილადების ჯაჭვები და შევარჩიეთ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ჯაჭვები:

და

მაგალითად, ამ შემთხვევაში ეს იქნება წილადები: .

ექვივალენტური გამონათქვამები შეიძლება შეიცვალოს ერთმანეთით, ეს არ შეცვლის ჩანაწერის მნიშვნელობას და მნიშვნელობას.

მაგალითად, იყოს გამოხატულება. შეგიძლიათ გაამრავლოთ და მიიღოთ გამოხატულება. ორივე ეს რიცხვითი გამონათქვამი ტოლია და ექვივალენტურია.

თუ შეასრულებთ ყველა მოქმედებას რომელიმე რიცხვით გამოხატულებაში, მიიღებთ მის მნიშვნელობას: , ე.ი. - რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა. ყველა ნაბიჯის დასრულების შემდეგ, ჩვენ გავამარტივეთ რიცხვითი გამოხატულება.

ალგებრული გამონათქვამები შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა გზით, მაგრამ ნიშნავს იგივეს, მაგალითად: და .

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გამოთქმა გამარტივებულია? როგორც წესი, გამარტივება ნიშნავს ექვივალენტურ აღნიშვნას ისე, რომ გამოთქმის მნიშვნელობის გამოსათვლელად საჭიროა რაც შეიძლება ნაკლები ნაბიჯის შესრულება.

მაგალითად, გამოთქმის მნიშვნელობის შეფასება როცა დააყენეთ მნიშვნელობაცვლადი მოითხოვს 3 მოქმედებას, ხოლო გამოხატულება მოითხოვს ერთ მოქმედებას. რა თქმა უნდა, 2 მოქმედების სხვაობა მცირეა, მაგრამ თუ ასეთი ოპერაცია 50-ჯერ უნდა გაკეთდეს, მაშინ სხვაობა უკვე 100 ქმედება იქნება.

პრობლემა 2 . დაამტკიცეთ რომ გამოთქმა გამოთქმის ტოლფასია.

მტკიცებულება

ორჯერ გამოვიყენოთ განაწილების კანონი:

პრობლემა 3 . გაამარტივე გამოთქმა: .

გამოსავალი . მოდით გამოვიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა:

უპასუხე: .

მოდით შევადაროთ მოქმედებების რაოდენობა, რომელიც უნდა გაკეთდეს პირველი და მეორის გამოსათვლელად. პირველ შემთხვევაში საჭირო იყო 5 მოქმედების შესრულება, მეორეში კი მხოლოდ 1. ასეთ შემთხვევაში ამბობენ, რომ ჩვენ გამარტივებული ალგებრული გამოხატულება.

ცვლადის არასწორი მნიშვნელობები

მოდი ვიპოვოთ არასწორი ცვლადის მნიშვნელობები გამოსახულებისთვის: .

წილადის მნიშვნელი შეიცავს ცვლადებს, განვსაზღვროთ, როდის გახდება ის 0-ზე:

იმათ. არასწორი ცვლადის მნიშვნელობები იქნება საპირისპირო მნიშვნელობები. მაგალითად, თუ, მაშინ.

გამონათქვამების ეკვივალენტობა

გამოთქმები და არ არის ეკვივალენტური ნებისმიერი და, რადგან პირველი გამოხატულება არ არის განსაზღვრული, როდესაც, ხოლო მეორე გამოხატულება განისაზღვრება ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის და.

იმათ. ეს გამონათქვამები ექვივალენტური იქნება მხოლოდ მათთვის და რომლებიც არ არიან საპირისპირო რიცხვები.

პრობლემა 4 . გაამარტივე გამოთქმა: .

ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ რამდენიმე მათემატიკური გამოთქმა სხვადასხვა გზები. ჩვენი მიზნებიდან გამომდინარე, გვაქვს თუ არა საკმარისი მონაცემები და ა.შ. რიცხვითი და ალგებრული გამონათქვამებიისინი განსხვავდებიან იმით, რომ პირველებს ვწერთ მხოლოდ რიცხვების სახით, რომლებიც გაერთიანებულია არითმეტიკული ნიშნების (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) და ფრჩხილების გამოყენებით.

თუ რიცხვების ნაცვლად გამოსახულებაში შეიტანეთ ლათინური ასოები (ცვლადები), ის გახდება ალგებრული. ალგებრულ გამონათქვამებში გამოიყენება ასოები, რიცხვები, შეკრება და გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფესვის, ხარისხისა და ფრჩხილების ნიშანი.

ნებისმიერ შემთხვევაში, იქნება ეს გამოთქმა რიცხვითი თუ ალგებრული, ის არ შეიძლება იყოს მხოლოდ ნიშნების, რიცხვებისა და ასოების შემთხვევითი ნაკრები - მას უნდა ჰქონდეს მნიშვნელობა. ეს ნიშნავს, რომ ასოები, რიცხვები, ნიშნები უნდა იყოს დაკავშირებული რაიმე სახის ურთიერთობით. სწორი მაგალითი: 7x + 2: (y + 1). ცუდი მაგალითი) : + 7x - * 1.

სიტყვა "ცვლადი" ზემოთ იყო ნახსენები - რას ნიშნავს ეს? ეს არის ლათინური ასო, რომლის ნაცვლად შეგიძლიათ შეცვალოთ რიცხვი. და თუ ვსაუბრობთ ცვლადებზე, ამ შემთხვევაში ალგებრულ გამონათქვამებს შეიძლება ეწოდოს ალგებრული ფუნქცია.

ცვლადს შეუძლია მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობები. და მის ადგილას რაღაც რიცხვის ჩანაცვლებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა ცვლადის ამ კონკრეტული მნიშვნელობისთვის. როდესაც ცვლადის მნიშვნელობა განსხვავებულია, გამოხატვის მნიშვნელობა განსხვავებული იქნება.

როგორ ამოხსნათ ალგებრული გამონათქვამები?

მნიშვნელობების გამოსათვლელად თქვენ უნდა გააკეთოთ ალგებრული გამონათქვამების გარდაქმნა. და ამისათვის ჯერ კიდევ უნდა გაითვალისწინოთ რამდენიმე წესი.

პირველი: ალგებრული გამონათქვამების ფარგლები არის ყველა შესაძლო ღირებულებებიცვლადები, რომლებისთვისაც ამ გამოთქმას შეიძლება ჰქონდეს აზრი. რა იგულისხმება? მაგალითად, თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ მნიშვნელობა ცვლადისთვის, რომელიც მოგთხოვთ ნულზე გაყოფას. გამოთქმაში 1/(x – 2), 2 უნდა გამოირიცხოს განმარტების სფეროდან.

მეორეც, დაიმახსოვრეთ როგორ გაამარტივოთ გამონათქვამები: აკრიფეთ ისინი, მოათავსეთ იდენტური ცვლადები ფრჩხილებიდან და ა.შ. მაგალითად: თუ ტერმინებს გაცვლით, ჯამი არ შეიცვლება (y + x = x + y). ანალოგიურად, პროდუქტი არ შეიცვლება, თუ ფაქტორები შეიცვლება (x*y = y*x).

ზოგადად, ისინი შესანიშნავია ალგებრული გამონათქვამების გასამარტივებლად. შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ვისაც ჯერ არ უსწავლია, აუცილებლად უნდა მოიქცეს - ისინი მაინც გამოგადგებათ არაერთხელ:

ვპოულობთ განსხვავებას ცვლადებს შორის კვადრატში: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);

ვპოულობთ ჯამს კვადრატში: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;

ვიანგარიშებთ სხვაობას კვადრატში: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;

კუბური ჯამი: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ან (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

კუბი განსხვავება: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 ან (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);

ვპოულობთ ცვლადების ჯამს კუბებად: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);

ჩვენ ვიანგარიშებთ განსხვავებას ცვლადებს შორის კუბურებად: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);

ვიყენებთ ფესვებს: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2) და 1 და a 2 არის xa 2 + ua + z გამოთქმის ფესვები.

თქვენ ასევე უნდა გესმოდეთ ალგებრული გამონათქვამების ტიპები. Ისინი არიან:

რაციონალური, და ისინი თავის მხრივ იყოფა:

მთელი რიცხვები (არ არის დაყოფა ცვლადებად, არ არის ფესვების ამოღება ცვლადებიდან და არ არის ამაღლება წილადებზე): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b). ;

წილადი (გარდა სხვა მათემატიკური ოპერაციებისა, როგორიცაა შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, ამ გამოსახულებებში ისინი იყოფა ცვლადზე და ამაღლებულია სიმძლავრემდე (ბუნებრივი მაჩვენებლით): (2/b - 3/a + c/4) 2. განმარტების დომენი - ყველა მნიშვნელობის ცვლადი, რომლებისთვისაც გამოხატულება არ არის ნულის ტოლი;

ირაციონალური - იმისთვის, რომ ალგებრული გამოხატულება ჩაითვალოს ასეთად, ის უნდა მოიცავდეს ცვლადების ხარისხზე ასვლას წილადის მაჩვენებლით და/ან ფესვების ამოღება ცვლადებიდან: √a + b 3/4. განმარტების დომენი არის ცვლადების ყველა მნიშვნელობა, გარდა იმ მნიშვნელობებისა, რომლებისთვისაც გამოხატულება ლუწი სიმძლავრის ფესვის ქვეშ ან წილადი სიმძლავრის ქვეშ ხდება უარყოფითი რიცხვი.

ალგებრული გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნებიარის კიდევ ერთი სასარგებლო ტექნიკა მათი გადასაჭრელად. იდენტობა არის გამოხატულება, რომელიც იქნება ჭეშმარიტი ნებისმიერი ცვლადისთვის, რომელიც შედის განსაზღვრების დომენში, რომელიც ჩანაცვლებულია მასში.

გამონათქვამი, რომელიც დამოკიდებულია ზოგიერთ ცვლადზე, შეიძლება იდენტურად იყოს სხვა გამოსახულების ტოლი, თუ ეს დამოკიდებულია ერთსა და იმავე ცვლადებზე და თუ ორივე გამონათქვამის მნიშვნელობები ტოლია, მიუხედავად ცვლადის რომელი მნიშვნელობებია არჩეული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ გამონათქვამი შეიძლება გამოითქვას ორი განსხვავებული გზით (გამონათქვამები), რომელთა მნიშვნელობებიც იგივეა, ეს გამონათქვამები იდენტურად ტოლია. მაგალითად: y + y = 2y, ან x 7 = x 4 * x 3, ან x + y + z = z + x + y.

ალგებრული გამონათქვამებით დავალებების შესრულებისას, იდენტობის ტრანსფორმაცია ემსახურება ისე, რომ ერთი გამონათქვამი შეიძლება შეიცვალოს მეორის იდენტური გამოსახულებით. მაგალითად, შეცვალეთ x 9 პროდუქტით x 5 * x 4.

გადაწყვეტილებების მაგალითები

უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს. ალგებრული გამონათქვამების გარდაქმნები. ამ დონის ამოცანები შეგიძლიათ იხილოთ KIM-ებში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის.

ამოცანა 1: იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).

ამოხსნა: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.

დავალება 2: იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).

ამოხსნა: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3) ) (2x + 3) = 6.

დასკვნა

სასკოლო ტესტებისთვის, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდებისთვის და სახელმწიფო გამოცდებისთვის მომზადებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მასალა მინიშნებად. გაითვალისწინეთ, რომ ალგებრული გამოხატულება არის ლათინური ასოებით გამოხატული რიცხვებისა და ცვლადების ერთობლიობა. და ასევე არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნები (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა), ფრჩხილები, ხარისხები, ფესვები.

გამოიყენეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები და იდენტობების ცოდნა ალგებრული გამონათქვამების გარდაქმნისთვის.

დაწერეთ თქვენი კომენტარები და სურვილები კომენტარებში - ჩვენთვის მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, რომ თქვენ კითხულობთ.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ალგებრული გამოხატულება- ეს არის ასოების, რიცხვების, არითმეტიკული ნიშნებისა და ფრჩხილების ნებისმიერი ჩანაწერი, შედგენილი მნიშვნელობით. არსებითად, ალგებრული გამოხატულება არის რიცხვითი გამონათქვამი, რომელშიც რიცხვების გარდა, ასოებიც გამოიყენება. მაშასადამე, ალგებრულ გამონათქვამებს ლიტერატურულ გამონათქვამებსაც უწოდებენ.

ძირითადად ლათინური ანბანის ასოები გამოიყენება ანბანურ გამონათქვამებში. რისთვის არის ეს წერილები? ჩვენ შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ სხვადასხვა რიცხვები. ამიტომ ამ ასოებს ცვლადები ეწოდება. ანუ მათ შეუძლიათ შეცვალონ მნიშვნელობა.

ალგებრული გამონათქვამების მაგალითები.

$\begin(გასწორება) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \ბოლო (გასწორება)$

თუ, მაგალითად, x + 5 გამოხატულებაში ჩავანაცვლებთ x ცვლადის ნაცვლად რაიმე რიცხვს, მივიღებთ რიცხვით გამოსახულებას. ამ შემთხვევაში, ამ რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა იქნება ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა x + 5 ცვლადის მოცემული მნიშვნელობისთვის. ანუ x = 10-ისთვის x + 5 = 10 + 5 = 15. ხოლო x = 2-ისთვის x + 5 = 2 + 5 = 7.

არსებობს ცვლადის მნიშვნელობები, რომლებზეც ალგებრული გამოთქმა კარგავს თავის მნიშვნელობას. ეს მოხდება, მაგალითად, თუ გამონათქვამში 1:x ჩავანაცვლებთ მნიშვნელობას x-ის ნაცვლად 0.
იმიტომ რომ ნულზე ვერ გაყოფ.

ალგებრული გამოხატვის განსაზღვრის დომენი.

ცვლადის მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომლისთვისაც გამოხატულება არ კარგავს მნიშვნელობას, ეწოდება განმარტების სფეროეს გამოთქმა. ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გამოხატვის დომენი არის ცვლადის ყველა მოქმედი მნიშვნელობის ნაკრები.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

1. y+5 – განმარტების დომენი იქნება y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა.
2. 1:x - გამოხატულება იქნება აზრი x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, გარდა 0-ისა. ამიტომ, განმარტების დომენი იქნება x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის გარდა.
3. (x+y): (x-y) – განსაზღვრების დომენი – x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც x ≠ y.

ალგებრული გამონათქვამების სახეები.

რაციონალური ალგებრული გამონათქვამებიარის მთელი და წილადი ალგებრული გამონათქვამები.

1. მთლიანი ალგებრული გამოხატულება - არ შეიცავს წილადის მაჩვენებლით გაძლიერებას, ცვლადის ფესვის აღებას ან ცვლადზე დაყოფას. მთელი რიცხვების ალგებრულ გამონათქვამებში, ყველა ცვლადი მნიშვნელობა მოქმედებს. მაგალითად, ax + bx + c არის მთელი რიცხვითი ალგებრული გამოხატულება.
2. წილადი - შეიცავს ცვლადზე გაყოფას. $\frac(1)(a)+bx+c$ არის წილადი ალგებრული გამოხატულება. წილადის ალგებრულ გამონათქვამებში მოქმედებს ყველა ცვლადი მნიშვნელობა, რომელიც არ იყოფა ნულზე.

ირაციონალური ალგებრული გამონათქვამებიშეიცავს ცვლადის ფესვის აღებას ან ცვლადის წილადის ხარისხზე აყვანას.

$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((ბ)^(\frac(1)(3)));$- ირაციონალური ალგებრული გამონათქვამები. ირაციონალურ ალგებრულ გამონათქვამებში მოქმედებს ცვლადის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ლუწი ფესვის ნიშნის ქვეშ გამოხატული არ არის უარყოფითი.

რიცხვითი და ალგებრული გამონათქვამები. გამონათქვამების კონვერტაცია.

რა არის გამოთქმა მათემატიკაში? რატომ გვჭირდება გამოხატვის კონვერტაცია?

კითხვა, როგორც ამბობენ, საინტერესოა... ფაქტია, რომ ეს ცნებები ყველა მათემატიკის საფუძველია. ყველა მათემატიკა შედგება გამონათქვამებისგან და მათი გარდაქმნებისაგან. არ არის ძალიან ნათელი? Ნება მომეცი აგიხსნა.

ვთქვათ, თქვენ გაქვთ ბოროტი მაგალითი თქვენს წინაშე. ძალიან დიდი და ძალიან რთული. ვთქვათ, მათემატიკაში კარგად ხარ და არაფრის არ გეშინია! შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გასცეთ პასუხი?

მოგიწევთ გადაწყვიტოსეს მაგალითი. თანმიმდევრულად, ეტაპობრივად, ეს მაგალითი გაამარტივებს. გარკვეული წესების მიხედვით, რა თქმა უნდა. იმათ. კეთება გამოხატვის კონვერტაცია. რაც უფრო წარმატებით ახორციელებთ ამ გარდაქმნებს, მით უფრო ძლიერი ხართ მათემატიკაში. თუ არ იცით როგორ გააკეთოთ სწორი გარდაქმნები, მათ მათემატიკაში ვერ შეძლებთ. არაფერი...

ასეთი არასასიამოვნო მომავლის (ან აწმყოს...) თავიდან აცილების მიზნით, ამ თემის გაგება არაფერ შუაშია.)

ჯერ გავარკვიოთ რა არის გამოხატულება მათემატიკაში. Რა მოხდა რიცხვითი გამოხატულებადა რა არის ალგებრული გამოხატულება.

რა არის გამოთქმა მათემატიკაში?

გამოხატვა მათემატიკაში- ეს ძალიან ფართო ცნებაა. თითქმის ყველაფერი, რასთან გვაქვს საქმე მათემატიკაში, არის მათემატიკური გამონათქვამების ნაკრები. ნებისმიერი მაგალითი, ფორმულა, წილადი, განტოლება და ასე შემდეგ - ეს ყველაფერი შედგება მათემატიკური გამონათქვამები.

3+2 არის მათემატიკური გამოხატულება. s 2 - d 2- ესეც მათემატიკური გამოთქმაა. ჯანსაღი წილადიც და ლუწი ერთი რიცხვიც მათემატიკური გამოსახულებებია. მაგალითად, განტოლება არის:

5x + 2 = 12

შედგება ორი მათემატიკური გამოსახულებისგან, რომლებიც დაკავშირებულია ტოლობის ნიშნით. ერთი გამონათქვამი არის მარცხნივ, მეორე მარჯვნივ.

ზოგადად, ტერმინი " მათემატიკური გამოხატულება"გამოიყენება, ყველაზე ხშირად, ზუზუნის თავიდან ასაცილებლად. გკითხავენ, მაგალითად, რა არის ჩვეულებრივი წილადი? და როგორ გიპასუხოთ?!

პირველი პასუხი: "ეს არის... მმმმმ... ასეთი რამ... რომელშიც... წილადი უკეთ დავწერო? Რომელი გინდა?"

მეორე პასუხი: ”ჩვეულებრივი ფრაქცია არის (მხიარულად და მხიარულად!) მათემატიკური გამოხატულება , რომელიც შედგება მრიცხველისა და მნიშვნელისაგან!"

მეორე ვარიანტი უფრო შთამბეჭდავი იქნება, არა?)

ეს არის ფრაზის მიზანი " მათემატიკური გამოხატულება "ძალიან კარგი. სწორიც და მყარიც. მაგრამ პრაქტიკული გამოყენებისთვის კარგად უნდა გესმოდეთ მათემატიკაში გამოთქმების კონკრეტული ტიპები .

კონკრეტული ტიპი სხვა საკითხია. ეს სულ სხვა საქმეა!მათემატიკური გამოხატვის თითოეულ ტიპს აქვს ჩემიწესებისა და ტექნიკის ნაკრები, რომელიც უნდა იქნას გამოყენებული გადაწყვეტილების მიღებისას. წილადებთან მუშაობისთვის - ერთი კომპლექტი. ტრიგონომეტრიულ გამოსახულებებთან მუშაობისთვის - მეორე. ლოგარითმებთან მუშაობისთვის - მესამე. Და ასე შემდეგ. სადღაც ეს წესები ემთხვევა, სადღაც მკვეთრად განსხვავდება. მაგრამ ნუ შეგეშინდებათ ამ საშინელი სიტყვების. ჩვენ დავეუფლებით ლოგარითმებს, ტრიგონომეტრიას და სხვა იდუმალ ნივთებს შესაბამის მონაკვეთებში.

აქ დავეუფლებით (ან - ვიმეორებთ, იმისდა მიხედვით თუ ვინ...) მათემატიკური გამონათქვამების ორ ძირითად ტიპს. რიცხვითი გამონათქვამები და ალგებრული გამოსახულებები.

რიცხვითი გამონათქვამები.

Რა მოხდა რიცხვითი გამოხატულება? ეს ძალიან მარტივი კონცეფციაა. თავად სახელი მიანიშნებს, რომ ეს არის გამოთქმა რიცხვებით. ასეც არის. რიცხვების, ფრჩხილებისა და არითმეტიკული სიმბოლოებისგან შედგენილ მათემატიკურ გამოსახულებას რიცხვითი გამოხატულება ეწოდება.

7-3 არის რიცხვითი გამოხატულება.

(8+3.2) 5.4 ასევე რიცხვითი გამოხატულებაა.

და ეს მონსტრი:

ასევე რიცხვითი გამოხატულება, დიახ...

ჩვეულებრივი რიცხვი, წილადი, გაანგარიშების ნებისმიერი მაგალითი X-ის და სხვა ასოების გარეშე - ეს ყველაფერი რიცხვითი გამონათქვამებია.

მთავარი ნიშანი რიცხვითიგამონათქვამები - მასში ასოების გარეშე. არცერთი. მხოლოდ რიცხვები და მათემატიკური სიმბოლოები (საჭიროების შემთხვევაში). მარტივია, არა?

და რა შეგიძლიათ გააკეთოთ რიცხვითი გამონათქვამებით? რიცხვითი გამონათქვამები ჩვეულებრივ შეიძლება დაითვალოს. ამისთვის ხდება ისე, რომ ფრჩხილების გახსნა, ნიშნების შეცვლა, შემოკლება, ტერმინების შეცვლა - ე.ი. კეთება გამოხატვის კონვერტაციები. მაგრამ უფრო მეტი ამის შესახებ ქვემოთ.

აქ საქმე გვაქვს ისეთ სასაცილო შემთხვევასთან, როდესაც რიცხვითი გამოსახულებით არაფრის გაკეთება არ გჭირდებათ.ისე, საერთოდ არაფერი! ეს სასიამოვნო ოპერაცია - არაფრის გაკეთება)- სრულდება გამოხატვისას აზრი არ აქვს.

როდის აქვს რიცხვითი გამოთქმა აზრი არ აქვს?

გასაგებია, რომ თუ ჩვენ თვალწინ დავინახავთ რაიმე სახის აბრაკადაბრას, როგორც

მაშინ ჩვენ არაფერს გავაკეთებთ. რადგან გაუგებარია რა უნდა გააკეთოს ამის შესახებ. რაღაც სისულელეა. იქნებ დაითვალოთ პლიუსების რაოდენობა...

მაგრამ არის გარეგნულად საკმაოდ წესიერი გამონათქვამები. მაგალითად ეს:

(2+3) : (16 - 2 8)

თუმცა ეს გამოთქმაც აზრი არ აქვს! იმ მარტივი მიზეზის გამო, რომ მეორე ფრჩხილებში - თუ დათვლით - მიიღებთ ნულს. მაგრამ ნულზე ვერ გაყოფ! ეს არის აკრძალული ოპერაცია მათემატიკაში. ამიტომ არც ამ გამოთქმასთან არის საჭირო არაფრის გაკეთება. ნებისმიერი ამოცანისთვის ასეთი გამონათქვამით, პასუხი ყოველთვის იგივე იქნება: "გამოთქმას აზრი არ აქვს!"

ასეთი პასუხის გასაცემად, რა თქმა უნდა, უნდა გამომეანგარიშებინა, რა იქნებოდა ფრჩხილებში. და ზოგჯერ ფრჩხილებში ბევრი რამ დევს... ისე, ვერაფერს გააკეთებ.

მათემატიკაში არც ისე ბევრი აკრძალული ოპერაციაა. ამ თემაში მხოლოდ ერთია. გაყოფა ნულზე. ფესვებსა და ლოგარითმებში წარმოქმნილი დამატებითი შეზღუდვები განხილულია შესაბამის თემებში.

ასე რომ, წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რა არის ეს რიცხვითი გამოხატულება- მიიღო. Შინაარსი რიცხვითი გამოთქმა აზრი არ აქვს- მიხვდა. მოდით გადავიდეთ.

ალგებრული გამონათქვამები.

თუ ასოები ჩნდება რიცხვით გამოსახულებაში, ეს გამოთქმა ხდება... გამოთქმა ხდება... დიახ! ხდება ალგებრული გამოხატულება. Მაგალითად:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4მ/ნ; x 2 +4x-4; (ა+ბ) 2; ...

ასეთ გამონათქვამებსაც ეძახიან პირდაპირი გამონათქვამები.ან გამონათქვამები ცვლადებით.პრაქტიკულად იგივეა. გამოხატულება 5a +c, მაგალითად - როგორც ლიტერალური, ასევე ალგებრული და გამოხატულება ცვლადებით.

Შინაარსი ალგებრული გამოთქმა -უფრო ფართო ვიდრე რიცხვითი. ის მოიცავსდა ყველა რიცხვითი გამონათქვამი. იმათ. რიცხვითი გამოთქმა ასევე ალგებრული გამოხატულებაა, მხოლოდ ასოების გარეშე. ყველა ქაშაყი თევზია, მაგრამ ყველა თევზი არ არის ქაშაყი...)

რატომ ანბანური- Ნათელია. ისე, რადგან ასოებია... ფრაზა გამოხატვა ცვლადებითის ასევე არ არის ძალიან დამაბნეველი. თუ გესმით, რომ რიცხვები იმალება ასოების ქვეშ. ყველანაირი რიცხვი შეიძლება დაიმალოს ასოების ქვეშ... და 5, და -18 და რაც გინდა. ანუ ასო შეიძლება იყოს ჩანაცვლებასხვადასხვა ნომრისთვის. ამიტომაც ეძახიან ასოებს ცვლადები.

გამოხატვისას y+5, Მაგალითად, ზე- ცვლადი მნიშვნელობა. ან უბრალოდ ამბობენ " ცვლადი", სიტყვის "მაგნიტუდის" გარეშე. ხუთისგან განსხვავებით, რომელიც მუდმივი მნიშვნელობაა. ან უბრალოდ - მუდმივი.

ვადა ალგებრული გამოხატულებანიშნავს, რომ ამ გამონათქვამთან მუშაობისთვის საჭიროა კანონებისა და წესების გამოყენება ალგებრა. თუ არითმეტიკამუშაობს კონკრეტულ ნომრებთან, მაშინ ალგებრა- ყველა ნომრით ერთდროულად. მარტივი მაგალითი გარკვევისთვის.

არითმეტიკაში შეგვიძლია ეს დავწეროთ

მაგრამ თუ ასეთ თანასწორობას დავწერთ ალგებრული გამონათქვამების საშუალებით:

a + b = b + a

ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავწყვეტთ ყველაკითხვები. ამისთვის ყველა ნომერიინსულტი. ყველაფრისთვის უსასრულო. რადგან ასოების ქვეშ ადა ბნაგულისხმევი ყველანომრები. და არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ სხვა მათემატიკური გამონათქვამებიც კი. ასე მუშაობს ალგებრა.

როდის არ აქვს აზრი ალგებრულ გამონათქვამს?

რიცხვითი გამოხატვის შესახებ ყველაფერი ნათელია. იქ ნულზე ვერ გაყოფ. ასოებით კი შეიძლება იმის გარკვევა, რაზე ვყოფთ?!

მაგალითად ავიღოთ ეს გამონათქვამი ცვლადებით:

2: (ა - 5)

აზრი აქვს? Ვინ იცის? ა- ნებისმიერი ნომერი...

ნებისმიერი, ნებისმიერი... მაგრამ არის ერთი მნიშვნელობა ა, რისთვისაც ეს გამოთქმა ზუსტადაზრი არ აქვს! და რა არის ეს ნომერი? დიახ! ეს არის 5! თუ ცვლადი აშეცვალეთ (ამბობენ „შემცვლელი“) ნომრით 5, ფრჩხილებში მიიღებთ ნულს. რომლის გაყოფა შეუძლებელია. ასე რომ, გამოდის, რომ ჩვენი გამოხატულება აზრი არ აქვს, თუ a = 5. მაგრამ სხვა ღირებულებებისთვის ააქვს აზრი? შეგიძლიათ სხვა ნომრების ჩანაცვლება?

Რა თქმა უნდა. ასეთ შემთხვევებში ისინი უბრალოდ ამბობენ, რომ გამოხატულება

2: (ა - 5)

აზრი აქვს ნებისმიერ ღირებულებებს ა, გარდა a = 5 .

რიცხვების მთელი ნაკრები რომ შეუძლიამოცემულ გამოსახულებაში ჩანაცვლება ეწოდება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონიეს გამოთქმა.

როგორც ხედავთ, სახიფათო არაფერია. გადავხედოთ გამონათქვამს ცვლადებით და გავარკვიოთ: ცვლადის რომელ მნიშვნელობით არის მიღებული აკრძალული ოპერაცია (გაყოფა ნულზე)?

და შემდეგ აუცილებლად გადახედეთ დავალების კითხვას. რას ეკითხებიან?

აზრი არ აქვს, ჩვენი აკრძალული მნიშვნელობა იქნება პასუხი.

თუ იკითხავთ ცვლადის რა მნიშვნელობით გამოსახულია აქვს მნიშვნელობა(იგრძენი განსხვავება!), პასუხი იქნება ყველა სხვა ნომერიგარდა აკრძალულისა.

რატომ გვჭირდება გამოთქმის მნიშვნელობა? ის არის, ის არ არის... რა განსხვავებაა?! საქმე იმაშია, რომ ეს კონცეფცია უმაღლეს სასწავლებელში ძალიან მნიშვნელოვანი ხდება. Უაღრესად მნიშვნელოვანი! ეს არის საფუძველი ისეთი მყარი ცნებებისთვის, როგორიცაა მისაღები მნიშვნელობების სფერო ან ფუნქციის სფერო. ამის გარეშე თქვენ საერთოდ ვერ ამოხსნით სერიოზულ განტოლებებს ან უტოლობას. Ამგვარად.

გამონათქვამების კონვერტაცია. იდენტობის გარდაქმნები.

გავეცანით რიცხვით და ალგებრულ გამონათქვამებს. ჩვენ გავიგეთ, რას ნიშნავს ფრაზა "გამოხატვას აზრი არ აქვს". ახლა ჩვენ უნდა გავარკვიოთ რა არის ეს გამონათქვამების ტრანსფორმაცია.პასუხი მარტივია, სამარცხვინომდე.) ეს არის ნებისმიერი ქმედება გამოხატვით. Სულ ეს არის. ამ გარდაქმნებს პირველი კლასიდან აკეთებთ.

ავიღოთ მაგარი რიცხვითი გამოხატულება 3+5. როგორ შეიძლება მისი გარდაქმნა? დიახ, ძალიან მარტივია! გამოთვალეთ:

ეს გაანგარიშება იქნება გამოხატვის ტრანსფორმაცია. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ იგივე გამოთქმა სხვაგვარად:

აქ ჩვენ საერთოდ არაფერი დავთვალეთ. უბრალოდ დაწერე გამოთქმა განსხვავებული ფორმით.ეს ასევე იქნება გამოხატვის ტრანსფორმაცია. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

და ესეც გამოხატვის ტრანსფორმაციაა. თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ იმდენი ასეთი ტრანსფორმაცია, რამდენიც გსურთ.

ნებისმიერიმოქმედება გამოხატვაზე ნებისმიერიმის სხვა ფორმით დაწერას გამონათქვამის გარდაქმნა ეწოდება. Და სულ ეს არის. ყველაფერი ძალიან მარტივია. მაგრამ აქ არის ერთი რამ ძალიან მნიშვნელოვანი წესი.იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ მას უსაფრთხოდ შეიძლება ეწოდოს მთავარი წესიყველა მათემატიკა. ამ წესის დარღვევა გარდაუვალადიწვევს შეცდომებს. შევდივართ მასში?)

დავუშვათ, რომ ჩვენი გამოთქმა შემთხვევით გადავცვალეთ, ასე:

კონვერტაცია? Რა თქმა უნდა. ჩვენ სხვა ფორმით დავწერეთ გამოთქმა, რისი ბრალია აქ?

ასე არ არის.) საქმე იმაშია, რომ გარდაქმნები "შემთხვევითი"მათემატიკა საერთოდ არ აინტერესებს.) ყველა მათემატიკა აგებულია გარდაქმნებზე, რომლებშიც გარეგნობა, მაგრამ გამოთქმის არსი არ იცვლება.სამს პლუს ხუთი შეიძლება ჩაიწეროს ნებისმიერი ფორმით, მაგრამ ეს უნდა იყოს რვა.

გარდაქმნები, გამონათქვამები, რომლებიც არ ცვლის არსსუწოდებენ იდენტური.

ზუსტად იდენტობის გარდაქმნებიდა საშუალებას მოგვცემს, ეტაპობრივად, გარდაქმნას რთული მაგალითიმარტივ გამოთქმაში, შენახვა მაგალითის არსი.თუ ჩვენ დავუშვებთ შეცდომას გარდაქმნების ჯაჭვში, ჩვენ ვაკეთებთ არა იდენტურ ტრანსფორმაციას, მაშინ ჩვენ გადავწყვეტთ სხვამაგალითი. სხვა პასუხებით, რომლებიც არ არის დაკავშირებული სწორ პასუხებთან.)

ეს არის ნებისმიერი ამოცანის გადაჭრის მთავარი წესი: გარდაქმნების იდენტურობის შენარჩუნება.

სიცხადისთვის მაგალითი მოვიყვანე რიცხვითი გამოსახულებით 3+5. ალგებრულ გამონათქვამებში იდენტობის გარდაქმნები მოცემულია ფორმულებითა და წესებით. ვთქვათ ალგებრაში არის ფორმულა:

a(b+c) = ab + ac

ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერ მაგალითში შეგვიძლია გამონათქვამის ნაცვლად a(b+c)თავისუფლად დაწერე გამოთქმა ab + ac. და პირიქით. ეს იდენტური ტრანსფორმაცია.მათემატიკა გვაძლევს არჩევანს ამ ორ გამონათქვამს შორის. და რომელი დავწეროთ დამოკიდებულია კონკრეტულ მაგალითზე.

Სხვა მაგალითი. ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი და აუცილებელი გარდაქმნა არის წილადის ძირითადი თვისება. მეტი დეტალი შეგიძლიათ ნახოთ ბმულზე, მაგრამ აქ მხოლოდ წესს შეგახსენებთ: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (გაიყოფა) იმავე რიცხვზე, ან გამოსახულებაში, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, წილადი არ შეიცვლება.აქ მოცემულია იდენტობის გარდაქმნების მაგალითი ამ თვისების გამოყენებით:

როგორც ალბათ მიხვდით, ეს ჯაჭვი უსასრულოდ შეიძლება გაგრძელდეს...) ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება. ეს არის ის, რაც საშუალებას გაძლევთ გადააქციოთ ყველა სახის მაგალითი მონსტრები თეთრად და ფუმფულად.)

არსებობს მრავალი ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს იდენტურ გარდაქმნებს. მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი საკმაოდ გონივრული რიცხვია. ერთ-ერთი ძირითადი ტრანსფორმაცია არის ფაქტორიზაცია. იგი გამოიყენება ყველა მათემატიკაში - დაწყებითიდან მაღალ დონეზე. დავიწყოთ მასთან. შემდეგ გაკვეთილზე.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას, არის ოპერაცია „მასტერ“.

ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვექნება ნამრავლი (გამოხატვა არის ფაქტორიზებული).

თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორიზებული (და შესაბამისად, შეუძლებელია მისი შემცირება).

ამის გასამყარებლად, თავად გადაწყვიტეთ რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე.

ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება ნაცნობი ოპერაციაა: ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს.

გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და შედარებით მარტივია, ანუ საერთო ფაქტორები არ აქვთ. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ, უპირველეს ყოვლისა, ვაქცევთ შერეულ წილადებს არასწორად, შემდეგ კი ჩვეულებრივი სქემით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ რაღაც მარტივით:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მიუთითოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში და აკრიფეთ ისინი:

თავად სცადე:

პასუხები:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

· პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

· შემდეგ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს სათითაოდ;

· და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა არასაერთო ფაქტორზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, პირველ რიგში ვაქცევთ მათ პირველ ფაქტორებად:

ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა მოდით, სათითაოდ ჩამოვწეროთ საერთო ფაქტორები და დავუმატოთ ყველა არაჩვეულებრივი (ხაზგასმული) ფაქტორი:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იგივე გზით:

· მნიშვნელების ფაქტორები;

· საერთო (იდენტური) ფაქტორების განსაზღვრა;

· ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

· გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა არასაერთო ფაქტორზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) შეაფასეთ მნიშვნელები:

2) დაადგინეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, აქ არის საერთო მნიშვნელი. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველა განსხვავებული მაჩვენებლით. საერთო მნიშვნელი იქნება:

ხარისხით

ხარისხით

ხარისხით

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გამოვყოთ წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად არ წერია, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ სიმართლე არ არის!

იხილეთ თქვენთვის: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . Რა ისწავლე?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როდესაც წილადებს ამცირებთ საერთო მნიშვნელამდე, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რაზე უნდა გავამრავლოთ, რომ მიიღოთ?

ასე რომ გავამრავლოთ. და გავამრავლოთ:

ჩვენ დავარქმევთ გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია "ელემენტარული ფაქტორები".

მაგალითად, - ეს ელემენტარული ფაქტორია. - იგივე. მაგრამ არა: მისი ფაქტორიზაცია შესაძლებელია.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზებული:

(თქვენ უკვე წაიკითხეთ ფაქტორიზაციის შესახებ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის იმ მარტივი ფაქტორების ანალოგი, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენ მათთანაც ასე მოვიქცევით.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს მამრავლი. ის მიდის საერთო მნიშვნელამდე ხარისხით (გახსოვთ რატომ?).

ფაქტორი ელემენტარულია და მათ არ აქვთ საერთო კოეფიციენტი, რაც იმას ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გამოსავალი:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკურად გაამრავლებ, უნდა იფიქრო, როგორ მოახდინო ისინი? ორივე წარმოადგენს:

დიდი! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გამოსავალი:

ჩვეულებისამებრ, მოდით მნიშვნელების ფაქტორიზირება. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ დააკვირდებით, ისინი ჰგვანან... და ეს მართალია:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე:

Გავიგე? ახლავე შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ კიდევ ერთი რამ უნდა გვახსოვდეს - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება: .

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი ორმაგი ნამრავლი. ჯამის ნაწილობრივი კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა უნდა გააკეთოს, თუ უკვე სამი წილადია?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ მნიშვნელებში ფაქტორების მაქსიმალური რაოდენობა იგივეა:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, წილადის წინ ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ პირიქით იცვლება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

ჩვენ ვწერთ მთელ პირველ მნიშვნელს საერთო მნიშვნელში და შემდეგ ვუმატებთ მას ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ არის დაწერილი, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ გამოდის ასე:

ჰმ... გასაგებია, რა ვუყოთ წილადებს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? მაშ ასე, ორი უნდა გავხადოთ წილადი! გავიხსენოთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის ყველაზე მარტივი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია რიცხვითი გამოხატვის გამოთვლის პროცედურა? დაიმახსოვრეთ ამ გამოთქმის მნიშვნელობის გამოთვლით:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

მაშ ასე, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად რამდენიმე გამრავლება და გაყოფაა, ისინი შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოთქმა ფასდება რიგგარეშე!

თუ რამდენიმე ფრჩხილები გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ გამოვთვალოთ გამოხატულება თითოეულ ფრჩხილში, შემდეგ კი ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში მეტი ფრჩხილებია? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. გამოხატვის გამოთვლისას რა უნდა გააკეთოთ პირველ რიგში? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოთ მოცემული გამოთქმის პროცედურა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება ხაზგასმულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ეს ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს იგივე არ არის, რაც ასოებით გამოხატვა?

არა, იგივეა! მხოლოდ არითმეტიკული ოპერაციების ნაცვლად, თქვენ უნდა გააკეთოთ ალგებრული, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი მოქმედებები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ამას ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ I ან უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოაყოლოთ საერთო ფაქტორი.

ჩვეულებრივ, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება პროდუქტის ან კოეფიციენტის სახით.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) პირველ რიგში, ჩვენ ვამარტივებთ გამოხატვას ფრჩხილებში. იქ ჩვენ გვაქვს წილადთა სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლად ან კოეფიციენტად. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის კიდევ უფრო გამარტივება შეუძლებელია აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ ეს რას ნიშნავს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო მარტივი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

კარგი, ახლა ყველაფერი დასრულდა. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

გამოსავალი:

პირველ რიგში განვსაზღვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა.

ჯერ მივუმატოთ წილადები ფრჩხილებში, ანუ ორი წილადის ნაცვლად მივიღოთ ერთი.

შემდეგ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგი, დავამატოთ შედეგი ბოლო წილადით.

ნაბიჯებს სქემატურად დავთვლი:

ახლა მე გაჩვენებთ პროცესს, მიმდინარე მოქმედების წითლად შეფერვით:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რაც არ უნდა მოხდეს მსგავსი მსგავსი ჩვენს ქვეყანაში, მიზანშეწონილია მათი დაუყოვნებლივ აღზრდა.

2. იგივე ეხება შემცირების წილადებს: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა ისარგებლოს. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც დაამატებთ ან აკლებთ: თუ მათ ახლა აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება უნდა დარჩეს მოგვიანებით.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და რაც დაპირდა თავიდანვე:

პასუხები:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ თქვენ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამონათქვამების კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულები

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• წილადის შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთი და იგივე არანულოვანი რიცხვით, რაც არ ცვლის წილადის მნიშვნელობას.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ მრიცხველს და მნიშვნელს აქვთ საერთო ფაქტორები, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;