მინუსი გაყოფილი მინუსზე იძლევა. უარყოფითი რიცხვების გამოკლება

1) რატომ არის მინუს ერთი გამრავლებული მინუს ერთი ტოლია პლუს ერთი?
2) რატომ არის მინუს ერთჯერ პლუს ერთი უდრის მინუს ერთი?

"ჩემი მტრის მტერი ჩემი მეგობარია."

უმარტივესი პასუხია: „რადგან ეს არის უარყოფითი რიცხვებით მუშაობის წესები“. წესები, რომლებსაც სკოლაში ვსწავლობთ და მთელი ცხოვრება ვიყენებთ. თუმცა, სახელმძღვანელოებში არ არის განმარტებული, რატომ არის წესები ასეთი. ამის გაგებას ჯერ არითმეტიკის განვითარების ისტორიიდან გამომდინარე შევეცდებით, შემდეგ კი ამ კითხვას თანამედროვე მათემატიკის თვალსაზრისით ვუპასუხებთ.

დიდი ხნის წინ ადამიანებმა იცოდნენ მხოლოდ ნატურალური რიცხვები: 1, 2, 3,... მათ იყენებდნენ ჭურჭლის, ნაძარცვის, მტრების დასათვლელად და ა.შ. მაგრამ თავად რიცხვები საკმაოდ გამოუსადეგარია - თქვენ უნდა შეძლოთ მათი მართვა. შეკრება ნათელი და გასაგებია და გარდა ამისა, ორი ნატურალური რიცხვის ჯამიც ნატურალური რიცხვია (მათემატიკოსი იტყვის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე დახურულია შეკრების მოქმედებით). გამრავლება არსებითად იგივეა რაც შეკრება, თუ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე. ცხოვრებაში ხშირად ვასრულებთ ამ ორ ოპერაციასთან დაკავშირებულ მოქმედებებს (მაგალითად, ვაჭრობისას ვამატებთ და ვამრავლებთ) და უცნაურია ვიფიქროთ, რომ ჩვენი წინაპრები მათ ნაკლებად ხვდებოდნენ - შეკრება და გამრავლება კაცობრიობამ ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში აითვისა. წინ. ხშირად გიწევთ ზოგიერთი სიდიდის სხვებზე გაყოფა, მაგრამ აქ შედეგი ყოველთვის არ არის გამოხატული როგორც ნატურალური რიცხვი - ასე გაჩნდა წილადი რიცხვები.

რა თქმა უნდა, გამოკლების გარეშეც არ შეგიძლია. მაგრამ პრაქტიკაში, ჩვენ ჩვეულებრივ ვაკლებთ პატარა რიცხვს უფრო დიდ რიცხვს და არ არის საჭირო უარყოფითი რიცხვების გამოყენება. (თუ მე მაქვს 5 კანფეტი და ჩემს დას 3 ვაჩუქებ, მაშინ დამრჩება 5 - 3 = 2 კანფეტი, მაგრამ მე არ შემიძლია მას 7 კანფეტი მივცე, თუნდაც მსურს.) დიდი დრო.

უარყოფითი რიცხვები ინდურ დოკუმენტებში VII საუკუნიდან გამოჩნდა; როგორც ჩანს, ჩინელებმა მათი გამოყენება ცოტა ადრე დაიწყეს. ისინი იყენებდნენ ვალების აღრიცხვას ან შუალედურ გამოთვლებში განტოლებების ამოხსნის გასამარტივებლად - ეს იყო მხოლოდ ინსტრუმენტი დადებითი პასუხის მისაღებად. იმ ფაქტმა, რომ უარყოფითი რიცხვები, განსხვავებით დადებითი რიცხვებისგან, არ გამოხატავს რაიმე ერთეულის არსებობას, გამოიწვია ძლიერი უნდობლობა. ადამიანები ფაქტიურად ერიდებოდნენ უარყოფით რიცხვებს: თუ პრობლემას უარყოფითი პასუხი ჰქონდა, მათ სჯეროდათ, რომ პასუხი საერთოდ არ იყო. ეს უნდობლობა გაგრძელდა ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში და დეკარტმაც კი - თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთმა "დამფუძნებელმა" - უწოდა მათ "ცრუ" (მე -17 საუკუნეში!).

განვიხილოთ, მაგალითად, განტოლება 7x – 17 = 2x – 2. ეს შეიძლება გადაწყდეს ასე: გადაიტანეთ ტერმინები უცნობით მარცხენა მხარეს, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ, გამოვა. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. ამ ამოხსნით ჩვენ არც კი შეგვხვდა უარყოფითი რიცხვები.

მაგრამ შესაძლებელი იყო შემთხვევით სხვაგვარად გაკეთება: გადაიტანეთ ტერმინები უცნობით მარჯვენა მხარეს და მიიღეთ 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. უცნობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი უარყოფითი რიცხვი მეორეზე: x = (–15)/(–5). მაგრამ სწორი პასუხი ცნობილია და ამის დასკვნა რჩება (–15)/(–5) = 3 .

რას აჩვენებს ეს მარტივი მაგალითი? პირველ რიგში, ნათელი ხდება ლოგიკა, რომელმაც განსაზღვრა უარყოფითი რიცხვებით მუშაობის წესები: ამ მოქმედებების შედეგები უნდა ემთხვეოდეს სხვა გზით მიღებულ პასუხებს, უარყოფითი რიცხვების გარეშე. მეორეც, უარყოფითი რიცხვების გამოყენების დაშვებით, ჩვენ თავიდან ავიცილებთ დამღლელი (თუ განტოლება უფრო რთული აღმოჩნდება, ტერმინების დიდი რაოდენობით) ძიებას, რომელშიც ყველა მოქმედება შესრულებულია მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებზე. უფრო მეტიც, შეიძლება ყოველ ჯერზე აღარ ვიფიქროთ ტრანსფორმირებული სიდიდეების მნიშვნელოვნებაზე - და ეს უკვე ნაბიჯია მათემატიკა აბსტრაქტულ მეცნიერებად გადაქცევისაკენ.

უარყოფით რიცხვებთან მუშაობის წესები დაუყოვნებლივ არ ჩამოყალიბდა, მაგრამ გახდა მრავალი მაგალითის განზოგადება, რომლებიც წარმოიშვა გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრისას. ზოგადად, მათემატიკის განვითარება შეიძლება დაიყოს ეტაპებად: ყოველი შემდეგი ეტაპი წინასაგან განსხვავდება აბსტრაქციის ახალი დონით ობიექტების შესწავლისას. ამრიგად, მე-19 საუკუნეში მათემატიკოსებმა გააცნობიერეს, რომ მთელ რიცხვებსა და მრავალწევრებს, მიუხედავად მათი გარეგანი განსხვავებისა, ბევრი საერთო აქვთ: ორივეს დამატება, გამოკლება და გამრავლება შესაძლებელია. ეს მოქმედებები ექვემდებარება ერთსა და იმავე კანონებს - როგორც რიცხვების, ასევე მრავალწევრების შემთხვევაში. მაგრამ მთელი რიცხვების ერთმანეთზე გაყოფა ისე, რომ შედეგი ისევ მთელი რიცხვები იყოს, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. იგივეა მრავალწევრებთან დაკავშირებით.

შემდეგ აღმოაჩინეს მათემატიკური ობიექტების სხვა კომპლექტები, რომლებზეც შეიძლებოდა შესრულებულიყო ასეთი მოქმედებები: ფორმალური სიმძლავრის სერია, უწყვეტი ფუნქციები... ბოლოს მივიდა გაგება, რომ თუ თქვენ შეისწავლით თავად მოქმედებების თვისებებს, მაშინ შედეგები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ყველასთვის. ობიექტების ეს ნაკრები (ეს მიდგომა დამახასიათებელია ყველა თანამედროვე მათემატიკისთვის).

შედეგად, გაჩნდა ახალი კონცეფცია: ბეჭედი. ეს მხოლოდ ელემენტების ნაკრებია, პლუს მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მათზე. ფუნდამენტური წესები აქ არის წესები (მათ ე.წ აქსიომები), რომლებიც ექვემდებარება მოქმედებებს და არა კომპლექტის ელემენტების ბუნებას (აი, აბსტრაქციის ახალი დონე!). იმის ხაზგასასმელად, რომ აქსიომების შემოტანის შემდეგ წარმოქმნილი სტრუქტურა მნიშვნელოვანია, მათემატიკოსები ამბობენ: მთელი რიცხვების რგოლი, მრავალწევრების რგოლი და ა.შ. აქსიომებიდან დაწყებული, შეიძლება რგოლების სხვა თვისებების დადგენა.

ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ ბეჭდის აქსიომებს (რომლებიც, რა თქმა უნდა, მთელი რიცხვებით მუშაობის წესების მსგავსია) და შემდეგ დავამტკიცებთ, რომ ნებისმიერ რგოლში მინუს მინუსზე გამრავლება წარმოშობს პლუსს.

ბეჭედიარის ნაკრები ორი ორობითი მოქმედებით (ანუ თითოეული ოპერაცია მოიცავს ბეჭდის ორ ელემენტს), რომლებსაც ტრადიციულად უწოდებენ შეკრებას და გამრავლებას და შემდეგი აქსიომები:

ბეჭდის ელემენტების დამატება ექვემდებარება ცვლილებებს ( A + B = B + Aნებისმიერი ელემენტისთვის ადა ბ) და ასოციაციური ( A + (B + C) = (A + B) + C) კანონები; რგოლში არის სპეციალური ელემენტი 0 (ნეიტრალური ელემენტი მიმატებით) ისეთი, რომ A+0=Aდა ნებისმიერი ელემენტისთვის აარსებობს საპირისპირო ელემენტი (აღნიშნეს (–A)), Რა A + (–A) = 0 ;
გამრავლება ემორჩილება კომბინაციის კანონს: A·(B·C) = (A·B)·C ;
შეკრება და გამრავლება დაკავშირებულია ფრჩხილების გახსნის შემდეგი წესებით: (A + B) C = A C + B Cდა A (B + C) = A B + A C .

გაითვალისწინეთ, რომ რგოლები, ყველაზე ზოგად კონსტრუქციაში, არ საჭიროებენ არც გამრავლების ცვალებადობას, არც მის შექცევადობას (ანუ გაყოფა ყოველთვის არ შეიძლება გაკეთდეს), არც ერთეულის არსებობა - ნეიტრალური ელემენტი გამრავლებაში. თუ ამ აქსიომებს შემოვიტანთ, მივიღებთ სხვადასხვა ალგებრულ სტრუქტურას, მაგრამ მათში რგოლებისთვის დადასტურებული ყველა თეორემა ჭეშმარიტი იქნება.

ახლა ჩვენ ვამტკიცებთ ამას ნებისმიერი ელემენტისთვის ადა ბთვითნებური რგოლი მართალია, პირველ რიგში, (–A) B = –(A B)და მეორეც (–(–A)) = ა. განცხადებები ერთეულების შესახებ მარტივად გამომდინარეობს აქედან: (–1) 1 = –(1 1) = –1და (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

ამისათვის დაგვჭირდება რამდენიმე ფაქტის დადგენა. ჯერ ვამტკიცებთ, რომ თითოეულ ელემენტს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი საპირისპირო. ფაქტობრივად, ნება ელემენტს აარსებობს ორი საპირისპირო: ბდა თან. ანუ A + B = 0 = A + C. განვიხილოთ თანხა A+B+C. ასოციაციური და შემცვლელი კანონებისა და ნულის თვისების გამოყენებით მივიღებთ იმას, რომ, ერთი მხრივ, ჯამი უდრის ბ: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, და მეორე მხრივ, თანაბარია C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. ნიშნავს, B=C .

ახლავე აღვნიშნოთ ეს ა, და (–(–A))ერთი და იგივე ელემენტის საპირისპიროა (–A)ასე რომ, ისინი უნდა იყოს თანაბარი.

პირველი ფაქტი ასე გამოიყურება: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, ანუ (–A)·Bსაწინააღმდეგო A·B, რაც ნიშნავს რომ ის თანაბარია - (A B) .

მათემატიკურად მკაცრი რომ ვიყოთ, ასევე ავხსნათ რატომ 0·B = 0ნებისმიერი ელემენტისთვის ბ. Ნამდვილად, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. ანუ დამატება 0·ბთანხას არ ცვლის. ეს ნიშნავს, რომ ეს პროდუქტი ნულის ტოლია.

ხოლო იმას, რომ რგოლში ზუსტად ერთი ნულია (აქსიომები ხომ ამბობენ, რომ ასეთი ელემენტი არსებობს, მაგრამ მის უნიკალურობაზე არაფერია ნათქვამი!), მარტივ სავარჯიშოდ მკითხველს დავუტოვებთ.

უპასუხა: ევგენი ეპიფანოვი

კომენტარების ჩვენება (37)

კომენტარების ჩაკეცვა (37)

Კარგი პასუხი. მაგრამ საშუალო სკოლის პირველკურსელის დონისთვის. მეჩვენება, რომ მისი ახსნა უფრო მარტივად და ნათლად შეიძლება, ფორმულის "მანძილი = სიჩქარე * დრო" (2 კლასი) მაგალითის გამოყენებით.

დავუშვათ, რომ მივდივართ გზაზე, მანქანა გადაგვასწრებს და შორს იწყებს. დრო იზრდება - და მანძილი მასამდე იზრდება. ასეთი მანქანის სიჩქარეს მივიჩნევთ დადებითად, ეს შეიძლება იყოს, მაგალითად, 10 მეტრი წამში. სხვათა შორის, ეს რამდენი კილომეტრია საათში? 10/1000(კმ)*60(წმ)*60(წთ)= 10*3.6 = 36 კმ/სთ. Ცოტა. ალბათ გზა ცუდია...

მაგრამ ჩვენსკენ მომავალი მანქანა კი არ შორდება, არამედ უახლოვდება. ამიტომ მოსახერხებელია მისი სიჩქარე უარყოფითად მივიჩნიოთ. მაგალითად -10 მ/წმ. მანძილი მცირდება: 30, 20, 10 მეტრით მომავალ მანქანამდე. ყოველი წამი მინუს 10 მეტრია. ახლა გასაგებია, რატომ არის სიჩქარე მინუს? ასე რომ, ის გაფრინდა. რა მანძილია მასთან წამში? ასეა, -10 მეტრი, ე.ი. "10 მეტრი უკან."

აქ ჩვენ მივიღეთ პირველი განცხადება. (-10 მ/წმ) * (1 წმ) = -10 მ.
მინუსმა (უარყოფითი სიჩქარე) პლუსზე (დადებითი დრო) მისცა მინუს (უარყოფითი მანძილი, მანქანა ჩემს უკან არის).

ახლა კი ყურადღება - მინუს მინუს. სად იყო მომავალი მანქანა ერთი წამით, სანამ არ გაივლიდა? (-10 მ/წმ) * (- 1 წმ) = 10 მ.
მინუს (უარყოფითი სიჩქარე) მინუს (უარყოფითი დრო) = პლუს (პოზიტიური მანძილი, მანქანა 10 მეტრი იყო ჩემს ცხვირწინ).

ეს გასაგებია თუ ვინმემ იცის კიდევ უფრო მარტივი მაგალითი?

უპასუხე

დიახ, თქვენ შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ეს უფრო ადვილია! 5*2 გამოსახულია ორჯერ რიცხვით წრფეზე, in დადებითი მხარე, რიცხვი არის 5 და შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 10. თუ 2*(-5), მაშინ ორჯერ ვითვლით 5 რიცხვის მიხედვით, მაგრამ უარყოფითი მიმართულებით და მივიღებთ რიცხვს (-10), ახლა ჩვენ წარმოადგენენ 2*(-5) როგორც
2*5*(-1)=-10, პასუხს თავიდან ვწერთ წინა გაანგარიშება, და არ არის მიღებული ამაში, ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ როდესაც რიცხვი მრავლდება (-1-ზე), ხდება რიცხვითი ორპოლარული ღერძის ინვერსია, ე.ი. შებრუნებული პოლარობა. ის, რაც დადებით ნაწილში ჩავდეთ, გახდა უარყოფითი და პირიქით. ახლა (-2)*(-5), ჩვენ ვწერთ მას როგორც (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), გამოვყოფთ რიცხვს (-10) და ვცვლით პოლარობას. ღერძის, რადგან . გავამრავლოთ (-1-ზე), მივიღებთ +10, უბრალოდ არ ვიცი, უფრო ადვილი აღმოჩნდა თუ არა?

უპასუხე

Ვფიქრობ მართალი ხარ. უბრალოდ ვეცდები უფრო დეტალურად გაჩვენო შენი აზრი, რადგან... მე ვხედავ, რომ ეს ყველას არ ესმოდა.
მინუსი ნიშნავს წაღებას. თუ ერთხელ მოგართვეს 5 ვაშლი, ბოლოს 5 ვაშლი წაგართვეს, რაც პირობითად მინუსით არის მითითებული, ე.ი. – (+5). ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ უნდა როგორმე მიუთითოთ მოქმედება. თუ 1 ვაშლი შეირჩა 5-ჯერ, ბოლოს იგივე შეირჩა: – (+5). ამავე დროს, შერჩეული ვაშლი არ გახდა წარმოსახვითი, რადგან მატერიის კონსერვაციის კანონი არ გაუქმებულა. დადებითი ვაშლები უბრალოდ მიდიოდა მათთან, ვინც აიღო. ეს ნიშნავს, რომ არ არსებობს წარმოსახვითი რიცხვები, არის მატერიის ფარდობითი მოძრაობა + ან - ნიშნით. მაგრამ თუ ასეა, მაშინ აღნიშვნა: (-5) * (+1) = -5 ან (+5) * (-1) = -5 ზუსტად არ ასახავს რეალობას, მაგრამ აღნიშნავს მას მხოლოდ პირობითად. ვინაიდან არ არსებობს წარმოსახვითი რიცხვები, მთელი პროდუქტი ყოველთვის დადებითია → „+“ (5*1). შემდეგი, დადებითი პროდუქტი უარყოფილია, რაც ნიშნავს გამოკლებას → „- +“ (5*1). აქ მინუსი არ ანაზღაურებს პლიუსს, არამედ უარყოფს მას და იკავებს ადგილს. შემდეგ საბოლოოდ ვიღებთ: -(5*1) = -(+5).
ორი მინუსისთვის შეგიძლიათ დაწეროთ: „- -“ (5*1) = 5. ნიშანი „- -“ ნიშნავს „+“, ე.ი. ექსპროპრიატორების ექსპროპრიაცია. ჯერ ვაშლები მოგართვეს, მერე კი შენს დამნაშავეს. შედეგად, ყველა ვაშლი დარჩა დადებითი, მაგრამ შერჩევა არ მოხდა, რადგან მოხდა სოციალური რევოლუცია.
ზოგადად რომ ვთქვათ, ის ფაქტი, რომ უარყოფის უარყოფა გამორიცხავს უარყოფას და ყველაფერს, რასაც უარყოფა ეხება, ბავშვებისთვის ნათელია და ახსნა-განმარტების გარეშე, რადგან აშკარაა. თქვენ მხოლოდ უნდა აუხსნათ ბავშვებს, რაც უფროსებმა ხელოვნურად დააბნიეს, იმდენად, რომ თავად ვერ ხვდებიან. და დაბნეულობა მდგომარეობს იმაში, რომ მოქმედების უარყოფის ნაცვლად შემოიტანეს უარყოფითი რიცხვები, ე.ი. უარყოფითი საკითხი. ამიტომ ბავშვები გაკვირვებულები არიან, რატომ გამოდის უარყოფითი მატერიის შეკრებისას ჯამი, რაც სავსებით ლოგიკურია: (-5) + (-3) = -8, ხოლო ერთი და იგივე უარყოფითი მატერიის გამრავლებისას: (-5) * (-3) = 15 , ის მოულოდნელად მთავრდება დადებითი, რაც არ არის ლოგიკური! ყოველივე ამის შემდეგ, ნეგატიურ მატერიასთან ყველაფერი ისევე უნდა მოხდეს, როგორც პოზიტიურ მატერიასთან, მხოლოდ განსხვავებული ნიშნით. ამიტომ, ბავშვებს უფრო ლოგიკური ეჩვენებათ, რომ როცა მრავლდება უარყოფითი მატერია, ნეგატიური მატერია უნდა გამრავლდეს.
მაგრამ აქაც ყველაფერი არ არის გლუვი, რადგან უარყოფითი მატერიის გასამრავლებლად საკმარისია მხოლოდ ერთი რიცხვი იყოს უარყოფითი. ამ შემთხვევაში ერთ-ერთი ფაქტორი, რომელიც აღნიშნავს არა მატერიალურ შინაარსს, არამედ არჩეული მატერიის გამეორების დროს, ყოველთვის დადებითია, რადგან ჯერ არ შეიძლება იყოს უარყოფითი მაშინაც კი, თუ უარყოფითი (შერჩეული) მატერია განმეორდება. ამიტომ, გამრავლებისას (გაყოფისას) უფრო სწორია ნიშნების განთავსება მთელი ნაწარმოების (გაყოფის) წინ, რაც ზემოთ ვაჩვენეთ: „- +“ (5*1) ან „- -“ (5*1).
და იმისათვის, რომ მინუს ნიშანი აღიქმებოდეს არა წარმოსახვითი რიცხვის ნიშნად, ე.ი. ნეგატიური მატერია და როგორც ქმედება, პირველ რიგში მოზრდილები უნდა შეთანხმდნენ, რომ თუ მინუს ნიშანი არის რიცხვის წინ, ეს ნიშნავს უარყოფით მოქმედებას რიცხვთან, რომელიც ყოველთვის დადებითია და არა წარმოსახვითი. თუ მინუს ნიშანი სხვა ნიშნის წინ არის, მაშინ ეს ნიშნავს უარყოფით მოქმედებას პირველი ნიშნით, ე.ი. ცვლის საპირისპიროდ. მაშინ ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება ბუნებრივად. მაშინ ეს უნდა აუხსნათ ბავშვებს და ისინი მშვენივრად გაიგებენ და აითვისებენ უფროსების ასეთ გასაგებ წესს. ბოლოს და ბოლოს, ახლა დისკუსიის ყველა ზრდასრული მონაწილე რეალურად ცდილობს აუხსნას, რადგან... ამ საკითხს ფიზიკური ახსნა არ აქვს, ეს არის მხოლოდ კონვენცია, წესი. მაგრამ აბსტრაქციის აბსტრაქციის ახსნა ტავტოლოგიაა.
თუ მინუს ნიშანი უარყოფს რიცხვს, მაშინ ეს არის ფიზიკური მოქმედება, მაგრამ თუ ის უარყოფს თავად მოქმედებას, მაშინ ეს უბრალოდ პირობითი წესია. ანუ, მოზარდები უბრალოდ შეთანხმდნენ, რომ თუ შერჩევაზე უარი თქვეს, როგორც განსახილველ საკითხში, მაშინ არ არის შერჩევა, რამდენჯერაც არ უნდა იყოს! ამასთან, შენთან რჩება ყველაფერი, რაც გქონდა, იქნება ეს მხოლოდ რიცხვი, იქნება ეს რიცხვების ნამრავლი, ე.ი. შერჩევის მრავალი მცდელობა. Სულ ეს არის.
თუ ვინმე არ ეთანხმება, მშვიდად დაფიქრდით კიდევ ერთხელ. ყოველივე ამის შემდეგ, მანქანების მაგალითი, რომელშიც არის უარყოფითი სიჩქარე და უარყოფითი დრო შეხვედრამდე წამით ადრე, მხოლოდ პირობითი წესია, რომელიც დაკავშირებულია საცნობარო სისტემასთან. სხვა საცნობარო ჩარჩოში, იგივე სიჩქარე და იგივე დრო პოზიტიური გახდება. შუშის მაგალითი კი დაკავშირებულია ზღაპრის წესთან, რომლის დროსაც სარკეში მინუსი მხოლოდ პირობითად, მაგრამ არა ფიზიკურად, პლიუსად იქცევა.

უპასუხე

ყველაფერი ნათელია მათემატიკური მინუსებით. მაგრამ ენაზე, როცა სვამენ უარყოფით კითხვას, როგორ უპასუხებ მას? მაგალითად, მე ყოველთვის მაწუხებდა ეს კითხვა: „ჩაის გინდა?“ როგორ ვუპასუხო ამას, თუ ჩაი მინდა? როგორც ჩანს, თუ "დიახ" იტყვი, მაშინ ჩაის არ მოგცემენ (ეს არის + და -), თუ არა, მაშინ უნდა მოგცენ (- და -), ხოლო თუ "არა, არ მინდა. ”???

უპასუხე

ასეთ ბავშვურ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჯერ უნდა უპასუხოთ რამდენიმე ზრდასრულ კითხვას: "რა არის მინუსი მათემატიკაში?" და "რა არის გამრავლება და გაყოფა?" რამდენადაც მე მესმის, სწორედ აქედან იწყება პრობლემები, რაც საბოლოოდ იწვევს ბეჭდებს და სხვა სისულელეებს ასეთ მარტივ ბავშვურ კითხვაზე პასუხის გაცემისას.

უპასუხე

პასუხი აშკარად არ არის ჩვეულებრივი სკოლის მოსწავლეებისთვის!
დაწყებით სკოლაში წავიკითხე მშვენიერი წიგნი - ჯუჯა და ალ-ჯებრა, და შესაძლოა მათემატიკის კლუბში მაგალითი მოიტანეს - ტოლობის ნიშნის მოპირდაპირე მხარეს დააყენეს ორი ადამიანი სხვადასხვა ფერის ვაშლებით და შესთავაზეს გაცემა. ვაშლები ერთმანეთს. შემდეგ თამაშის მონაწილეებს შორის სხვა ნიშნები განთავსდა - პლუს, მინუს, მეტი, ნაკლები.

უპასუხე

ბავშვური პასუხი ხო??))
შეიძლება სასტიკად ჟღერდეს, მაგრამ თავად ავტორს არ ესმის, რატომ აძლევს მინუს მინუსზე პლიუსს :-)
სამყაროში ყველაფერი ვიზუალურად შეიძლება აიხსნას, რადგან აბსტრაქციები მხოლოდ სამყაროს ასახსნელად არის საჭირო. ისინი მიბმული არიან რეალობასთან და არ ცხოვრობენ თავისთავად ბოდვითი სახელმძღვანელოებში.
მიუხედავად იმისა, რომ ახსნა-განმარტებისთვის საჭიროა მინიმუმ იცოდეთ ფიზიკა და ზოგჯერ ბიოლოგია, ადამიანის ნეიროფიზიოლოგიის საფუძვლებთან ერთად.

მაგრამ მიუხედავად ამისა, პირველმა ნაწილმა გააზრების იმედი მისცა და ძალიან ნათლად ახსნა უარყოფითი რიცხვების საჭიროება.
მაგრამ მეორე ტრადიციულად შიზოფრენიაში ჩავარდა. A და B - ეს უნდა იყოს რეალური ობიექტები! ასე რომ, რატომ დაუძახეთ მათ ამ ასოებით, როდესაც შეგიძლიათ, მაგალითად, პურის ან ვაშლის წაღება
თუ.. თუ შესაძლებელი იყო... კი?)))))))

და... თუნდაც პირველი ნაწილიდან სწორი საფუძვლის გამოყენებით (რომ გამრავლება იგივეა რაც შეკრება) - მინუსებით ვიღებთ წინააღმდეგობას))
-2 + -2 = -4
მაგრამ
-2 * -2 =+4))))
და თუნდაც გავითვალისწინოთ, რომ ეს არის მინუს ორი, აღებული მინუს ორჯერ, გამოვა
-2 -(-2) -(-2) = +2

უბრალოდ ღირდა იმის აღიარება, რომ რადგან რიცხვები ვირტუალურია, მაშინ შედარებით სწორი აღრიცხვისთვის ვირტუალური წესების მოფიქრება მოგვიწია.
და ეს იქნება ჭეშმარიტება და არა აჟიტირებული სისულელე.

უპასუხე

თავის მაგალითში აკადემონმა შეცდომა დაუშვა:
სინამდვილეში, (-2)+(-2) = (-4) არის 2-ჯერ (-2), ე.ი. (-2) * 2 = (-4).
რაც შეეხება ორი უარყოფითი რიცხვის გამრავლებას, წინააღმდეგობის გარეშე, ეს არის იგივე მიმატება, მხოლოდ რიცხვთა ხაზის „0“-ის მეორე მხარეს. კერძოდ:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. ასე რომ, ეს ყველაფერი გროვდება.
კარგი, რაც შეეხება ნეგატიური რიცხვების რეალობას, როგორ მოგწონთ ეს მაგალითი?
თუ მე მაქვს, ვთქვათ, 1000 დოლარი ჯიბეში, ჩემს განწყობას შეიძლება ეწოდოს "პოზიტიური".
თუ $0, მაშინ მდგომარეობა იქნება "არცერთი".
რა მოხდება, თუ (-1000)$ არის ვალი, რომელიც უნდა დაიფაროს, მაგრამ ფული არ არის...?

უპასუხე

მინუს მინუს - ყოველთვის იქნება პლუსი,
რატომ ხდება ეს, ვერ გეტყვით.

რატომ დამაბნია -ნა-=+ სკოლაში, მე-7 კლასში (1961 წ.). შევეცადე სხვა, უფრო „სამართლიანი“ ალგებრა გამომეგონა, სადაც +na+=+ და -na-=-. მეჩვენებოდა, რომ ეს უფრო გულწრფელი იქნებოდა. მაგრამ რა ვუყოთ შემდეგ +na-ს და -na+-ს? არ მინდოდა xy=yx-ის კომუტატიურობის დაკარგვა, მაგრამ სხვა გზა არ მაქვს.
რა მოხდება, თუ აიღებთ არა 2 ნიშანს, არამედ სამს, მაგალითად +, - და *. თანაბარი და სიმეტრიული.

დამატება
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) არ შეკრება(!), როგორც რთული რიცხვის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები.
მაგრამ ამისთვის (+a)+(-a)+(*a)=0.

მაგალითად, რის ტოლია (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
ეს არ არის ადვილი, მაგრამ შეგიძლიათ შეეგუოთ.

ახლა MULTIPLICATION.
მოდით გამოვთქვათ პოსტულაცია:
+na+=+ -na-=- *na*=* (სამართლიანი?)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (სამართლიანი!)
როგორც ჩანს, ყველაფერი კარგადაა, მაგრამ გამრავლება არ არის ასოციაციური, ე.ი.
a(bc) არ უდრის (ab)c-ს.

და თუ ასეა
+on+=+ -on-=* *on*=-
+ნა-=-ნა+=- +ნა*=*ნა+=* -ნა*=*ნა-=+
ისევ უსამართლო, + გამორჩეული, როგორც განსაკუთრებული. მაგრამ დაიბადა ახალი ალგებრა სამი ნიშნით. კომუტაციური, ასოციაციური და გამანაწილებელი. მას აქვს გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. ის იზომორფულია რთული რიცხვების მიმართ. მისი გაფართოება შესაძლებელია: ოთხი სიმბოლო, ხუთი...
ეს აქამდე არ მომხდარა. აიღეთ, ხალხო, გამოიყენეთ.

უპასუხე

ბავშვის კითხვა ზოგადად ბავშვის პასუხია.
არის ჩვენი სამყარო, სადაც ყველაფერი "პლუს" არის: ვაშლი, სათამაშოები, კატები და ძაღლები, ისინი რეალურია. შეგიძლიათ ვაშლის ჭამა, კატას მოფერება. და ასევე არის წარმოსახვითი სამყარო, სათვალე. იქვე არის ვაშლები და სათამაშოები, სათვალთვალო შუშის მეშვეობით, ჩვენ წარმოვიდგენთ, მაგრამ ვერ შევეხებით - ისინი შედგენილია. ჩვენ შეგვიძლია ერთი სამყაროდან მეორეში გადასვლა მინუს ნიშნის გამოყენებით. თუ გვაქვს ორი ნამდვილი ვაშლი (2 ვაშლი) და დავსვამთ მინუს ნიშანს (-2 ვაშლი), მინაში მივიღებთ ორ წარმოსახვით ვაშლს. მინუს ნიშანი მიგვიყვანს ერთი სამყაროდან მეორეში, წინ და უკან. ჩვენს სამყაროში არ არსებობს სარკის ვაშლი. ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ მათი მთელი თაიგული, თუნდაც მილიონი (მინუს მილიონი ვაშლი). მაგრამ თქვენ ვერ შეძლებთ მათ ჭამას, რადგან ჩვენ არ გვაქვს მინუს ვაშლი, ჩვენს მაღაზიებში ყველა ვაშლი არის პლუს ვაშლი.
გამრავლება ნიშნავს ზოგიერთი საგნის მართკუთხედის სახით მოწყობას. ავიღოთ ორი წერტილი ":" და გავამრავლოთ სამზე, მივიღებთ: ": : :" - სულ ექვს წერტილს. შეგიძლიათ აიღოთ ნამდვილი ვაშლი (+I) და გაამრავლოთ სამზე, მივიღებთ: „+YAYA“ - სამი ნამდვილი ვაშლი.
ახლა გავამრავლოთ ვაშლი მინუს სამზე. ჩვენ კვლავ მივიღებთ სამ ვაშლს "+YAYA", მაგრამ მინუს ნიშანი მიგვიყვანს სათვალე მინისკენ და გვექნება სამი სათვალე ვაშლი (მინუს სამი ვაშლი -YAYA).
ახლა გავამრავლოთ მინუს ვაშლი (-I) მინუს სამზე. ანუ ვაშლს ვიღებთ და თუ წინ მინუსია, სათვალთვალო მინაზე გადაგვაქვს. იქ ვამრავლებთ სამზე. ახლა ჩვენ გვაქვს სამი შუშის ვაშლი! მაგრამ არის კიდევ ერთი ნაკლი. მიღებულ ვაშლებს ის ჩვენს სამყაროში გადააბრუნებს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სამ ნამდვილ გემრიელ ვაშლს + YAYA, რომლებიც შეგიძლიათ წაიღოთ.

უპასუხე

ყველაფერი კარგადაა ბოლო ნაბიჯამდე. სამი სარკის ვაშლის მინუს ერთზე გამრავლებისას ეს ვაშლები სხვა სარკეში უნდა აირეკლოს. მათი ადგილმდებარეობა რეალურს დაემთხვევა, მაგრამ ისინი იქნება ისეთივე წარმოსახვითი, როგორც პირველი სარკეები და ისეთივე უჭმელი. ანუ (-1)*(-1)= --1<> 1.
სინამდვილეში, მე დამაბნევა კიდევ ერთი წერტილი, რომელიც დაკავშირებულია უარყოფითი რიცხვების გამრავლებასთან, კერძოდ:
მართალია თუ არა თანასწორობა:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
ეს კითხვა წარმოიშვა y=x^n ფუნქციის გრაფიკის ქცევის გაგების მცდელობიდან, სადაც x და n რეალური რიცხვებია.
გამოდის, რომ ფუნქციის გრაფიკი ყოველთვის განთავსდება პირველ და მე-3 კვარტალში, გარდა იმ შემთხვევებისა, როცა n ლუწია. ამ შემთხვევაში იცვლება გრაფიკის მხოლოდ მრუდი. მაგრამ პარიტეტი n არის ფარდობითი მნიშვნელობა, რადგან ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ სხვა საცნობარო სისტემა, რომელშიც n = 1.1*k, შემდეგ მივიღებთ
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
და აქ პარიტეტი განსხვავებული იქნება...
გარდა ამისა, მე ვთავაზობ არგუმენტს დავამატოთ ის, რაც ემართება y = x^(1/n) ფუნქციის გრაფიკს. ვვარაუდობ, უმიზეზოდ, რომ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიული უნდა იყოს y = x^n გრაფიკის მიმართ y = x ფუნქციის გრაფიკის მიმართ.

უპასუხე

არსებობს რამდენიმე გზა ახსნას წესი "მინუს მინუს იძლევა პლუსს." ნატურებით გამრავლება. რიცხვი n არის სეგმენტის გაჭიმვა (მდებარეობს რიცხვთა ღერძზე) n-ჯერ. -1-ზე გამრავლება არის სეგმენტის ასახვა საწყისთან მიმართებაში. როგორც ყველაზე მოკლე ახსნა იმის შესახებ, თუ რატომ არის (-1)*(-1) = +1, ეს მეთოდი ამ მიდგომის მინუსი არის ის, რომ აუცილებელია ცალკე განისაზღვროს ასეთი ოპერატორების ჯამი.

უპასუხე

რთული რიცხვებიდან ახსნისას შეგიძლიათ წასვლა
როგორც რიცხვების წარმოდგენის უფრო ზოგადი ფორმა
რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა
ეილერის ფორმულა
ნიშანი ამ შემთხვევაში მხოლოდ არგუმენტია (ბრუნის კუთხე)
გამრავლებისას ემატება კუთხეები
0 გრადუსი შეესაბამება +
180 გრადუსი შეესაბამება -
-ზე გამრავლება უდრის 180+180=360=0-ს

უპასუხე

იმუშავებს ეს?

უარყოფა საპირისპიროა. სიმარტივისთვის, მინუსებს დროებით რომ მოვშორდეთ, ჩვენ შევცვლით განცხადებებს და სასტარტო წერტილს უფრო დიდს გავხდით. დავიწყოთ დათვლა არა ნულიდან, არამედ 1000-დან.

დავუშვათ, რომ ორ ადამიანს აქვს ჩემი ვალი ორი მანეთი: 2_ადამიანი*2_რუბლი=4_რუბლი მაქვს მთლიანობაში. (ჩემი ბალანსი არის 1004)

ახლა ინვერსიები (უარყოფითი რიცხვები, მაგრამ შებრუნებული/დადებითი განცხადებები):

მინუს 2 ადამიანი = ეს ნიშნავს, რომ მათ არ აქვთ ჩემი ვალი, მაგრამ მე ვალში ვარ (უფრო მეტი ადამიანის ვალი მაქვს, ვიდრე მათ მევალებათ). მაგალითად, მე მაქვს 10 ადამიანის ვალი, მაგრამ მხოლოდ 8. ურთიერთგამოთვლები შეიძლება შემცირდეს და არ იქნას გათვალისწინებული, მაგრამ შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ ეს, თუ უფრო მოსახერხებელია დადებით რიცხვებთან მუშაობა. ანუ ყველა ერთმანეთს აძლევს ფულს.

მინუს 2 მანეთი = მსგავსი პრინციპი - უნდა აიღოთ იმაზე მეტი, ვიდრე გასცემთ. ამიტომ ყველას ორი მანეთი მმართებს.

-(2_ადამიანი)*2_რუბლი=მე_2_თითოეულს_=-4 ჩემგან. ჩემი ბალანსი არის 996 რუბლი.

2_ადამიანი*(-2_რუბლი) = ორმა_უნდა_აიღოს_2_რუბლი_ჩემგან=- 4 ჩემგან. ჩემი ბალანსი არის 996 რუბლი.

-(2_ადამიანი)*(-2_რუბლი) = ყველამ_უნდა_აიღოს_ჩემგან_ნაკლები_ვიდრე_უნდა_მიცეს_2_რუბლით

ზოგადად, თუ წარმოიდგინეთ, რომ ყველაფერი ტრიალებს არა 0-ის, არამედ, მაგალითად, 1000-ის გარშემო, და ისინი გასცემენ ფულს 10 ნამატით, წაართმევენ 8-ს, მაშინ შეგიძლიათ თანმიმდევრულად შეასრულოთ ფულის მიცემის ყველა ოპერაცია ან წაართმევს და მიდი დასკვნამდე, რომ თუ ზედმეტი ორი (დანარჩენს შევამცირებთ ურთიერთ ოფსეტურით) ჩემგან ორ რუბლს ნაკლებს წაართმევს, ვიდრე დაბრუნდებიან, მაშინ ჩემი კეთილდღეობა გაიზრდება დადებითი ფიგურა 4-ით.

უპასუხე

მარტივი (ბავშვისთვის გასაგები) პასუხის ძიებაში დასმულ კითხვაზე („რატომ იძლევა მინუს მინუსზე პლიუსს“), ყურადღებით წავიკითხე როგორც ავტორის მიერ შემოთავაზებული სტატია, ასევე ყველა კომენტარი. ყველაზე წარმატებულ პასუხად მიმაჩნია ეპიგრაფში შეტანილი პასუხი: „ჩემი მტრის მტერი ჩემი მეგობარია“. ბევრად უფრო ნათელი! მარტივი და ბრწყინვალე!

გარკვეული მოგზაური ჩადის კუნძულზე, რომლის მკვიდრთა შესახებ მან მხოლოდ ერთი რამ იცის: ზოგი მათგანი მხოლოდ სიმართლეს ამბობს, ზოგი მხოლოდ ტყუილს. გარეგნულად შეუძლებელია მათი გარჩევა. მოგზაური ნაპირზე ეშვება და გზას ხედავს. მას სურს გაარკვიოს, მიდის თუ არა ეს გზა ქალაქში. გზაზე ადგილობრივი მაცხოვრებლის დანახვისას, ის მას მხოლოდ ერთ კითხვას სვამს, რაც საშუალებას აძლევს მას გაარკვიოს, რომ გზა ქალაქამდე მიდის. როგორ ჰკითხა მან ეს?

გამოსავალი არის სამი სტრიქონი ქვემოთ (მხოლოდ იმისთვის, რომ შეაჩეროთ და მოგცეთ უფროსებს საშუალება, შეაჩერონ და იფიქრონ ამ მშვენიერ პრობლემაზე!) ჩემმა მესამეკლასელმა შვილიშვილმა ეს პრობლემა ჯერ კიდევ ცოტათი ზედმეტად მიიჩნია, მაგრამ პასუხის გაგებამ უდავოდ მოუტანა მას. უფრო ახლოს არის მომავალი მათემატიკური სიბრძნის გაგება, როგორიცაა "მინუს მინუს იძლევა პლუსს".

ასე რომ პასუხი არის:

"რომ გკითხო, ეს გზა ქალაქამდე მიდის, რას მეტყვი?"

„ალგებრულმა“ ახსნამ ვერ შეარყია არც მამაჩემისადმი მხურვალე სიყვარული და არც ჩემი ღრმა პატივისცემა მისი მეცნიერების მიმართ. მაგრამ მე სამუდამოდ მძულდა აქსიომური მეთოდი თავისი არამოტივირებული განმარტებებით.

საინტერესოა, რომ I.V. არნოლდის ეს პასუხი ბავშვის კითხვაზე პრაქტიკულად დაემთხვა მისი წიგნის "უარყოფითი რიცხვები ალგებრის კურსში" გამოქვეყნებას. იქ (მე-7 თავში) სულ სხვა პასუხია გაცემული, ჩემი აზრით, ძალიან მკაფიო. წიგნი ხელმისაწვდომია ელექტრონულ ფორმატში http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

უპასუხე

თუ არსებობს პარადოქსი, თქვენ უნდა მოძებნოთ შეცდომები საფუძვლებში. გამრავლების ფორმულირებაში სამი შეცდომაა. სწორედ აქედან მოდის "პარადოქსი". თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ნული.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

გამრავლება არის ნულის დამატება (ან გამოკლება) ისევ და ისევ.

მულტიპლიკატორი (4) აჩვენებს შეკრების ან გამოკლების მოქმედებების რაოდენობას (მინუს ან პლუს ნიშნების რაოდენობას გამრავლების შეკრებად დაშლისას).

მინუს და პლიუს ნიშნები მულტიპლიკატორისთვის (4) მიუთითებს გამრავლების ნულიდან გამოკლებას ან ნულზე გამრავლების დამატებას.

ამ კონკრეტულ მაგალითში, (-4) მიუთითებს, რომ თქვენ უნდა გამოაკლოთ ("-") ნულიდან მრავლობითი (-3) ოთხჯერ (4).

შეასწორეთ ფორმულირება (სამი ლოგიკური შეცდომა). უბრალოდ დაამატეთ ნული. არითმეტიკის წესები ამის გამო არ შეიცვლება.

დაწვრილებითი ინფორმაცია ამ თემაზე აქ:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

რა არის სახელმძღვანელოების მექანიკურად დაჯერების ჩვევა? თქვენ ასევე უნდა გქონდეთ საკუთარი ტვინი. მით უმეტეს, თუ არის პარადოქსები, ბრმა წერტილები, აშკარა წინააღმდეგობები. ეს ყველაფერი თეორიული შეცდომების შედეგია.

შეუძლებელია ორი უარყოფითი რიცხვის ნამრავლის ნაწილებად დაშლა, გამრავლების ამჟამინდელი ფორმულირების მიხედვით (ნულის გარეშე). ეს ვინმეს არ აწუხებს?

რა სახის გამრავლების ფორმულირებაა ეს, რომელიც შეუძლებელს ხდის გამრავლების შესრულებას? :)

პრობლემაც წმინდა ფსიქოლოგიურია. ავტორიტეტების ბრმა ნდობა, საკუთარი თავის ფიქრის სურვილი. თუ სახელმძღვანელოები ასე წერენ, თუ ასე ასწავლიან სკოლაში, მაშინ ეს არის საბოლოო ჭეშმარიტება. ყველაფერი იცვლება, მათ შორის მეცნიერებაც. წინააღმდეგ შემთხვევაში ცივილიზაციის განვითარება არ იქნებოდა.

გაასწორეთ გამრავლების ფორმულირება ყველა სახელმძღვანელოში! არითმეტიკის წესები ამის გამო არ შეიცვლება.

უფრო მეტიც, როგორც ზემოთ მოცემული სტატიიდან ჩანს, გამრავლების შესწორებული ფორმულირება იქნება რიცხვის ხარისხამდე აყვანის ფორმულირების მსგავსი. იქაც აწყობისას არ იწერენ ბლოკს დადებითი ხარისხი. თუმცა, ერთი იწერება რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანისას.

მათემატიკოსო ბატონებო, დედათქვენი, ყოველთვის უნდა ჩაწეროთ ნული და ერთი, თუნდაც შედეგი არ შეიცვალოს მათი არყოფნის გამო.

შემოკლებული ჩანაწერების მნიშვნელობა იცვლება (ან თუნდაც ქრება). სკოლის მოსწავლეებს კი გაგებასთან დაკავშირებული პრობლემები აქვთ.

უპასუხე

Დაწერე კომენტარი

სწორად გვესმის გამრავლება?

„- მილზე ისხდნენ A და B, A დაეცა, B გაქრა, რა დარჩა მილზე?
"შენი წერილი მე რჩება."

(ფილმიდან "ახალგაზრდები სამყაროში")

რატომ ხდება რიცხვის ნულზე გამრავლება ნულამდე?

7 * 0 = 0

რატომ წარმოიქმნება ორი უარყოფითი რიცხვის გამრავლება დადებითი რიცხვი?

7 * (-3) = + 21

მასწავლებლები ყველაფერს აკეთებენ ამ ორ კითხვაზე პასუხის გასაცემად.

მაგრამ არავის აქვს გამბედაობა აღიაროს, რომ გამრავლების ფორმულირებაში სამი სემანტიკური შეცდომაა!

შესაძლებელია თუ არა შეცდომები საბაზისო არითმეტიკაში? ბოლოს და ბოლოს, მათემატიკა პოზიციონირებს როგორც ზუსტ მეცნიერებას...

სასკოლო მათემატიკის სახელმძღვანელოები ამ კითხვებზე პასუხებს არ იძლევა, ახსნა-განმარტებებს ცვლის წესების ნაკრებით, რომლებიც უნდა დაიმახსოვროთ. ალბათ ეს თემა რთულად ასახსნელად ითვლება საშუალო სკოლაში? შევეცადოთ გავიგოთ ეს საკითხები.

7 არის მრავლობითი. 3 არის მულტიპლიკატორი. 21-სამუშაო.

ოფიციალური ფორმულირებით:

რიცხვის სხვა რიცხვზე გამრავლება ნიშნავს იმდენი გამრავლების დამატებას, რამდენსაც მულტიპლიკატორი განსაზღვრავს.

მიღებული ფორმულირების მიხედვით, ფაქტორი 3 გვეუბნება, რომ ტოლობის მარჯვენა მხარეს სამი შვიდეული უნდა იყოს.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

მაგრამ გამრავლების ეს ფორმულირება ვერ ხსნის ზემოთ დასმულ კითხვებს.

გავასწოროთ გამრავლების ფორმულირება

ჩვეულებრივ მათემატიკაში ბევრი რამ იგულისხმება, მაგრამ ამაზე არ არის საუბარი და არც ჩაწერილი.

ეს ეხება პლუს ნიშანს განტოლების მარჯვენა მხარეს პირველი შვიდის წინ. მოდით ჩავწეროთ ეს პლუსი.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

მაგრამ რას ემატება პირველი შვიდი? ეს ნიშნავს ნულს, რა თქმა უნდა. დავწეროთ ნული.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

რა მოხდება, თუ გავამრავლებთ სამზე გამოკლებული შვიდი?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

ჩვენ ვწერთ ნამრავლის მიმატებას -7, მაგრამ სინამდვილეში ნულს ვაკლებთ მრავალჯერ. გავხსნათ ფრჩხილები.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ გამრავლების დახვეწილი ფორმულირება.

გამრავლება არის პროცესი, რომლის განმეორებითაც ხდება (-7) მამრავლის (-7) დამატების (ან გამოკლების) იმდენჯერ, რამდენჯერაც მამრავლი მიუთითებს. მამრავლი (3) და მისი ნიშანი (+ ან -) მიუთითებს იმ ოპერაციების რაოდენობას, რომლებიც დაემატება ან აკლდება ნულს.

გამრავლების ამ დახვეწილი და ოდნავ მოდიფიცირებული ფორმულირების გამოყენებით, ადვილად აიხსნება გამრავლების „ნიშნის წესები“, როდესაც მულტიპლიკატორი უარყოფითია.

7 * (-3) - ნულის შემდეგ უნდა იყოს სამი მინუს ნიშანი = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - ისევ უნდა იყოს სამი მინუს ნიშანი ნულის =-ის შემდეგ

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

გავამრავლოთ ნულზე

7 * 0 = 0 + ... ნულოვანი ოპერაციების დამატება.

თუ გამრავლება არის ნულის დამატება და მულტიპლიკატორი აჩვენებს ნულის მიმატების მოქმედებების რაოდენობას, მაშინ ნულის გამრავლება აჩვენებს, რომ ნულს არაფერი ემატება. ამიტომაც რჩება ნული.

ასე რომ, გამრავლების არსებულ ფორმულირებაში აღმოვაჩინეთ სამი სემანტიკური შეცდომა, რომლებიც ბლოკავს ორი „ნიშნის წესის“ გაგებას (როდესაც მამრავლი უარყოფითია) და რიცხვის ნულზე გამრავლებას.

თქვენ არ გჭირდებათ მამრავლის დამატება, მაგრამ დაამატეთ იგი ნულამდე.
გამრავლება არის არა მხოლოდ ნულის დამატება, არამედ ნულის გამოკლებაც.
მამრავლი და მისი ნიშანი არ აჩვენებს წევრთა რაოდენობას, არამედ პლიუს ან მინუს ნიშნების რაოდენობას გამრავლების წევრებად (ან გამოკლებულებად) დაშლისას.

რამდენადმე დავაზუსტეთ ფორმულირება, ჩვენ შევძელით ავხსნათ გამრავლების ნიშნების წესები და რიცხვის ნულზე გამრავლება გამრავლების შემცვლელი კანონის გარეშე, გამანაწილებელი კანონის გარეშე, რიცხვით წრფესთან ანალოგიების ჩართვის გარეშე, განტოლებების გარეშე. , საპირისპირო მტკიცებულების გარეშე და ა.შ.

გამრავლების დახვეწილი ფორმულირების ნიშნების წესები ძალიან მარტივად არის მიღებული.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

მამრავლი და მისი ნიშანი (+3 ან -3) მიუთითებს განტოლების მარჯვენა მხარეს "+" ან "-" ნიშნების რაოდენობას.

გამრავლების შეცვლილი ფორმულირება შეესაბამება რიცხვის ხარისხამდე აყვანის ოპერაციას.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (ერთი არ მრავლდება და არ იყოფა არაფერზე, ამიტომ რჩება ერთი)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

მათემატიკოსები თანხმდებიან, რომ რიცხვის დადებით ხარისხზე აყვანა არის ერთის მრავალჯერ გამრავლება. და რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანა არის ერთის მრავალჯერ გაყოფა.

გამრავლების ოპერაცია უნდა იყოს გაძლიერების ოპერაციის მსგავსი.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (ნულს არაფერი ემატება და ნულს არაფერი აკლდება)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

გამრავლების შეცვლილი ფორმულირება არაფერს ცვლის მათემატიკაში, მაგრამ აბრუნებს გამრავლების მოქმედების თავდაპირველ მნიშვნელობას, განმარტავს „ნიშანთა წესებს“, რიცხვის ნულზე გამრავლებას და გამრავლების შეჯერებას ხარისხთან.

მოდით შევამოწმოთ, შეესაბამება თუ არა გამრავლების ჩვენი ფორმულირება გაყოფის ოპერაციას.

15: 5 = 3 (გამრავლების შებრუნებული 5 * 3 = 15)

კოეფიციენტი (3) შეესაბამება გამრავლებისას ნულის მიმატების მოქმედებების რაოდენობას (+3).

რიცხვი 15 5-ზე გაყოფა ნიშნავს იმის პოვნას, რამდენჯერ უნდა გამოაკლო 5 15-ს. ეს კეთდება თანმიმდევრული გამოკლებით, სანამ არ მიიღება ნულოვანი შედეგი.

გაყოფის შედეგის მოსაძებნად, თქვენ უნდა დაითვალოთ მინუს ნიშნების რაოდენობა. სამი მათგანია.

15: 5 = 15-დან ხუთის გამოკლების 3 ოპერაცია ნულის მისაღებად.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (დივიზიონი 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (გამრავლება 5 * 3)

გაყოფა ნაშთით.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 და 2 დარჩენილი

თუ არის ნაშთით გაყოფა, რატომ არ გამრავლება დანამატით?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

მოდით შევხედოთ განსხვავებას ფორმულირებაში კალკულატორზე

გამრავლების არსებული ფორმულირება (სამი წევრი).

10 + 10 + 10 = 30

შესწორებული გამრავლების ფორმულირება (სამი დამატება ნულოვანი ოპერაციებისთვის).

0 + 10 = = = 30

(დააჭირეთ „უდრის“ სამჯერ.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3-ის გამრავლება მიუთითებს, რომ მამრავლი 10 უნდა დაემატოს ნულს სამჯერ.

სცადეთ გაამრავლოთ (-10) * (-3) ტერმინის (-10) მინუს სამჯერ დამატებით!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

რას ნიშნავს მინუს ნიშანი სამზე? იქნებ ასეა?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

ოპ... მე არ შემიძლია პროდუქციის დაშლა ტერმინების ჯამად (ან სხვაობად) (-10).

შესწორებული ფორმულირება ამას სწორად აკეთებს.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

მამრავლი (-3) მიუთითებს, რომ მამრავლი (-10) უნდა გამოკლდეს ნულს სამჯერ.

მოაწერეთ შეკრების და გამოკლების წესები

ზემოთ ჩვენ ვაჩვენეთ გამრავლების ნიშნების წესების გამოყვანის მარტივი გზა გამრავლების ფორმულირების მნიშვნელობის შეცვლით.

მაგრამ დასკვნისთვის გამოვიყენეთ შეკრებისა და გამოკლების ნიშნების წესები. ისინი თითქმის იგივეა, რაც გამრავლებისთვის. შევქმნათ შეკრებისა და გამოკლების ნიშნების წესების ვიზუალიზაცია, რათა პირველკლასელმაც კი შეძლოს ამის გაგება.

რა არის "მინუსი", "უარყოფითი"?

ბუნებაში უარყოფითი არაფერია. არ არსებობს უარყოფითი ტემპერატურა, უარყოფითი მიმართულება, უარყოფითი მასა, უარყოფითი მუხტები... სინუსიც კი თავისი ბუნებით მხოლოდ დადებითი შეიძლება იყოს.

მაგრამ მათემატიკოსებმა უარყოფითი რიცხვები გამოიტანეს. Რისთვის? რას ნიშნავს "მინუსი"?

მინუს ნიშანი ნიშნავს საპირისპირო მიმართულებას. Მარცხენა მარჯვენა. ზედა ქვედა. საათის ისრის - ისრის საწინააღმდეგოდ. წინ და უკან. Ცივი ცხელი. Მსუბუქი მძიმე. Ნელი სწრაფი. თუ დაფიქრდებით, შეგიძლიათ მრავალი სხვა მაგალითის მოყვანა, სადაც მოსახერხებელია უარყოფითი მნიშვნელობების გამოყენება.

ჩვენთვის ცნობილი სამყაროში უსასრულობა იწყება ნულიდან და მიდის პლუს უსასრულობამდე.

"მინუს უსასრულობა" in რეალური სამყაროარ არსებობს. ეს არის იგივე მათემატიკური კონვენცია, როგორც კონცეფცია "მინუს".

ასე რომ, "მინუსი" აღნიშნავს საპირისპირო მიმართულებას: მოძრაობა, ბრუნვა, პროცესი, გამრავლება, დამატება. გავაანალიზოთ სხვადასხვა მიმართულება დადებითი და უარყოფითი (სხვა მიმართულებით მატება) რიცხვების შეკრებისა და გამოკლებისას.

შეკრებისა და გამოკლების ნიშნების წესების გაგების სირთულე განპირობებულია იმით, რომ ეს წესები ჩვეულებრივ ახსნილია რიცხვით წრფეზე. რიცხვთა ხაზზე სამი განსხვავებული კომპონენტია შერეული, საიდანაც გამომდინარეობს წესები. და დაბნეულობის გამო, სხვადასხვა ცნების ერთ გროვაში გაერთიანების გამო, წარმოიქმნება გაგების სირთულეები.

წესების გასაგებად, ჩვენ უნდა დავყოთ:

პირველი წევრი და ჯამი (ისინი იქნება ჰორიზონტალურ ღერძზე);
მეორე ტერმინი (ეს იქნება ვერტიკალურ ღერძზე);
შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების მიმართულება.

ეს დაყოფა ნათლად არის ნაჩვენები ფიგურაში. გონებრივად წარმოიდგინეთ, რომ ვერტიკალურ ღერძს შეუძლია ბრუნვა, ჰორიზონტალურ ღერძზე გადაფარვით.

მიმატების ოპერაცია ყოველთვის ხორციელდება ვერტიკალური ღერძის საათის ისრის მიმართულებით (პლუს ნიშანი) ბრუნვით. გამოკლების ოპერაცია ყოველთვის სრულდება ვერტიკალური ღერძის საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით (მინუს ნიშანი) როტაციით.

მაგალითი. დიაგრამა ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

ჩანს, რომ ორ მიმდებარე მინუს ნიშანს (გამოკლების მოქმედების ნიშანი და რიცხვი 3-ის ნიშანი) განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს. პირველი მინუსი გვიჩვენებს გამოკლების მიმართულებას. მეორე მინუსი არის რიცხვის ნიშანი ვერტიკალურ ღერძზე.

იპოვეთ პირველი წევრი (-2) ჰორიზონტალურ ღერძზე. იპოვეთ მეორე წევრი (-3) ვერტიკალურ ღერძზე. გონებრივად მოატრიალეთ ვერტიკალური ღერძი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, სანამ (-3) არ გასწორდება რიცხვთან (+1) ჰორიზონტალურ ღერძზე. რიცხვი (+1) არის მიმატების შედეგი.

გამოკლების ოპერაცია

იძლევა იგივე შედეგს, როგორც შეკრების ოპერაცია დიაგრამაზე ზედა მარჯვენა კუთხეში.

აქედან გამომდინარე, ორი მიმდებარე მინუს ნიშანი შეიძლება შეიცვალოს ერთი პლუს ნიშნით.

ჩვენ ყველა მიჩვეული ვართ არითმეტიკის მზა წესების გამოყენებას მათ მნიშვნელობაზე ფიქრის გარეშე. ამიტომ, ჩვენ ხშირად ვერც კი ვამჩნევთ, თუ როგორ განსხვავდება შეკრების (გამოკლების) ნიშნების წესები გამრავლების (გაყოფის) ნიშნების წესებისგან. ისინი ერთნაირად გამოიყურებიან? თითქმის... მცირე განსხვავება ჩანს შემდეგ ილუსტრაციაში.

ახლა ჩვენ გვაქვს ყველაფერი, რაც გვჭირდება გამრავლების ნიშნების წესების გამოსაყვანად. გამომავალი თანმიმდევრობა შემდეგია.

ჩვენ ნათლად ვაჩვენებთ, თუ როგორ მიიღება შეკრებისა და გამოკლების ნიშნების წესები.
ჩვენ ვაკეთებთ სემანტიკურ ცვლილებებს გამრავლების არსებულ ფორმულირებაში.
გამრავლების შეცვლილი ფორმულირებისა და შეკრების ნიშნების წესების საფუძველზე გამოვიყვანთ გამრავლების ნიშნების წესებს.

Შენიშვნა.

ქვემოთ წერია მოაწერეთ შეკრების და გამოკლების წესებივიზუალიზაციის შედეგად მიღებული. წითელში კი, შედარებისთვის, ნიშნების იგივე წესები მათემატიკის სახელმძღვანელოდან. ფრჩხილებში ნაცრისფერი პლუსი არის უხილავი პლუსი, რომელიც არ იწერება დადებითი რიცხვისთვის.

ტერმინებს შორის ყოველთვის არის ორი ნიშანი: ოპერაციის ნიშანი და რიცხვის ნიშანი (პლუსს არ ვწერთ, მაგრამ ამას ვგულისხმობთ). ნიშნების წესები განსაზღვრავს სიმბოლოების ერთი წყვილის შეცვლას მეორე წყვილით შეკრების (გამოკლების) შედეგის შეცვლის გარეშე. სინამდვილეში, არსებობს მხოლოდ ორი წესი.

წესები 1 და 3 (ვიზუალიზაციისთვის) - 4 და 2 წესების დუბლიკატი.. სკოლის ინტერპრეტაციაში 1 და 3 წესები არ ემთხვევა ვიზუალურ სქემას, შესაბამისად, ისინი არ ვრცელდება დამატების ნიშნის წესებზე. ეს სხვა წესებია...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) კარგი

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) კარგი

სკოლის წესი 1. (წითელი) საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ორი პლუსი ზედიზედ ერთი პლუსით. წესი არ ვრცელდება ნიშნების დამატებასა და გამოკლებაში ჩანაცვლებაზე.

სკოლის წესი 3. (წითელი) საშუალებას გაძლევთ არ დაწეროთ პლუს ნიშანი დადებითი რიცხვისთვის გამოკლების ოპერაციის შემდეგ. წესი არ ვრცელდება ნიშნების დამატებასა და გამოკლებაში ჩანაცვლებაზე.

დამატების ნიშნების წესების მნიშვნელობა არის სიმბოლოების ერთი წყვილის შეცვლა სხვა სიმბოლოების წყვილით, დამატების შედეგის შეცვლის გარეშე.

სკოლის მეთოდოლოგებმა ერთ წესში შეურიეს ორი წესი:

ნიშნების ორი წესი დადებითი და უარყოფითი რიცხვების შეკრებისა და გამოკლებისას (ნიშანთა ერთი წყვილის მეორე ნიშნით ჩანაცვლება);

დადებითი რიცხვისთვის პლუს ნიშნის არ დაწერის ორი წესი.

ერთში შერეული ორი განსხვავებული წესი მსგავსია გამრავლების ნიშნების წესების, სადაც ორი ნიშანი იწვევს მესამეს. ისინი ზუსტად ჰგვანან.

დიდი დაბნეულობა! ისევ იგივე, უკეთესი განლაგებისთვის. მოდით გამოვყოთ მოქმედების ნიშნები წითლად, რათა განვასხვავოთ ისინი რიცხვითი ნიშნებისგან.

1. შეკრება და გამოკლება. ნიშნების ორი წესი, რომლის მიხედვითაც ტერმინებს შორის ნიშნების წყვილი ერთმანეთს ენაცვლება. ოპერაციის ნიშანი და რიცხვის ნიშანი.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. ორი წესი, რომლის მიხედვითაც დადებითი რიცხვის პლუს ნიშანი დასაშვებია არ ჩაიწეროს. ეს არის შესვლის ფორმის წესები. დამატებაზე არ ვრცელდება. დადებითი რიცხვისთვის იწერება მხოლოდ ოპერაციის ნიშანი.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. გამრავლების ნიშნების ოთხი წესი. როდესაც ფაქტორების ორი ნიშანი იწვევს პროდუქტის მესამე ნიშანს. გამრავლების ნიშნების წესები შეიცავს მხოლოდ რიცხვით ნიშნებს.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

ახლა, როდესაც ჩვენ გამოვყავით ფორმის წესები, გასაგები უნდა იყოს, რომ შეკრებისა და გამოკლების ნიშნების წესები საერთოდ არ ჰგავს გამრავლების ნიშნის წესებს.

ვ.კოზარენკო

ახლა ჩვენ განვიხილავთ მაგალითებს უარყოფითი რიცხვების გამოკლება, და ნახავთ, რომ ეს ძალიან მარტივია. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ წესი: ორი მინუსი ერთმანეთის გვერდით იძლევა პლუსს.

მაგალითი 1: უარყოფითი რიცხვის გამოკლება დადებით რიცხვს

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

როგორც ხედავთ, დადებითი რიცხვიდან უარყოფითი რიცხვის გამოკლების მიზნით, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ მათი მოდულები.

მაგალითი 2: უარყოფითი რიცხვის გამოკლება უარყოფით რიცხვს

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

ამრიგად, უარყოფითი რიცხვის გამოკლებისას, ჩვენ ვიცავთ წესს და შეიძლება მივიღოთ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვი.

არსებობს ერთი წესი, რომელიც არეგულირებს ნებისმიერი რიცხვის გამოკლებას: უარყოფითიც და დადებითიც, და ის ასე ჟღერს:

ნიშნების წესი

უარყოფითი რიცხვების გამოკლებისას ზედმეტი ფრჩხილებისგან თავის დასაღწევად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნიშნის წესი.ეს წესი ამბობს:

Მაგალითად:

ახლა გაიარეთ ტესტი და გამოსცადეთ საკუთარი თავი!

უარყოფითი რიცხვების შეკრება და გამოკლება

ვადა: 0

ნავიგაცია (მხოლოდ სამუშაო ნომრები)

20 დავალებიდან 0 შესრულებულია

"ჩემი მტრის მტერი ჩემი მეგობარია"

რატომ არის მინუს ერთჯერ მინუს ერთი ტოლი პლუს ერთი? რატომ არის მინუს ერთჯერ პლუს ერთი უდრის მინუს ერთი? უმარტივესი პასუხია: „რადგან ეს არის უარყოფითი რიცხვებით მუშაობის წესები“. წესები, რომლებსაც სკოლაში ვსწავლობთ და მთელი ცხოვრება ვიყენებთ. თუმცა, სახელმძღვანელოებში არ არის განმარტებული, რატომ არის წესები ასეთი. ამის გაგებას ჯერ არითმეტიკის განვითარების ისტორიიდან გამომდინარე შევეცდებით, შემდეგ კი ამ კითხვას თანამედროვე მათემატიკის თვალსაზრისით ვუპასუხებთ.

დიდი ხნის წინ ადამიანებმა იცოდნენ მხოლოდ ნატურალური რიცხვები: მათ იყენებდნენ ჭურჭლის დასათვლელად, ნაძარცვს, მტრებს და ა.შ. მაგრამ თავად რიცხვები საკმაოდ უსარგებლოა - თქვენ უნდა შეძლოთ მათი მართვა. შეკრება ნათელი და გასაგებია და გარდა ამისა, ორი ნატურალური რიცხვის ჯამიც ნატურალური რიცხვია (მათემატიკოსი იტყვის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე დახურულია შეკრების მოქმედებით). გამრავლება არსებითად იგივეა რაც შეკრება, თუ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე. ცხოვრებაში ხშირად ვასრულებთ ამ ორ ოპერაციასთან დაკავშირებულ მოქმედებებს (მაგალითად, ვაჭრობისას ვამატებთ და ვამრავლებთ) და უცნაურია ვიფიქროთ, რომ ჩვენი წინაპრები მათ ნაკლებად ხვდებოდნენ - შეკრება და გამრავლება კაცობრიობამ ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში აითვისა. წინ. ხშირად გიწევთ ზოგიერთი სიდიდის სხვებზე გაყოფა, მაგრამ აქ შედეგი ყოველთვის არ არის გამოხატული როგორც ნატურალური რიცხვი - ასე გაჩნდა წილადი რიცხვები.

რა თქმა უნდა, გამოკლების გარეშეც არ შეგიძლია. მაგრამ პრაქტიკაში, ჩვენ ჩვეულებრივ ვაკლებთ პატარა რიცხვს უფრო დიდ რიცხვს და არ არის საჭირო უარყოფითი რიცხვების გამოყენება. (თუ კანფეტი მაქვს და ჩემს დას ვაჩუქებ, მაშინ დამრჩება კანფეტი, მაგრამ სურვილის შემთხვევაშიც არ შემიძლია კანფეტის მიცემა).

მაგალითის სახით განვიხილოთ განტოლება. მისი გადაჭრა შეიძლება ასე: გადაიტანეთ ტერმინები უცნობის მარცხნივ, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ, გამოდის , , . ამ ამოხსნით ჩვენ არც კი შეგვხვდა უარყოფითი რიცხვები.

მაგრამ შესაძლებელი იყო შემთხვევით სხვაგვარად გაკეთება: გადაიტანეთ ტერმინები უცნობით მარჯვენა მხარეს და მიიღეთ , . უცნობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი უარყოფითი რიცხვი მეორეზე: . მაგრამ სწორი პასუხი ცნობილია და რჩება დასკვნა, რომ .

რას აჩვენებს ეს მარტივი მაგალითი? პირველ რიგში, ცხადი ხდება ლოგიკა, რომელიც განსაზღვრავს უარყოფით რიცხვებზე მოქმედებების წესებს: ამ მოქმედებების შედეგები უნდა ემთხვეოდეს პასუხებს, რომლებიც მიიღება სხვაგვარად, უარყოფითი რიცხვების გარეშე. მეორეც, უარყოფითი რიცხვების გამოყენების დაშვებით, ჩვენ თავიდან ავიცილებთ დამღლელი (თუ განტოლება უფრო რთული აღმოჩნდება, ტერმინების დიდი რაოდენობით) ძიებას, რომელშიც ყველა მოქმედება შესრულებულია მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებზე. უფრო მეტიც, შეიძლება ყოველ ჯერზე აღარ ვიფიქროთ ტრანსფორმირებული სიდიდეების მნიშვნელოვნებაზე - და ეს უკვე ნაბიჯია მათემატიკა აბსტრაქტულ მეცნიერებად გადაქცევისაკენ.

შედეგად, გაჩნდა ახალი კონცეფცია: ბეჭედი. ეს მხოლოდ ელემენტების ნაკრებია, პლუს მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მათზე. ფუნდამენტური აქ არის ზუსტად ის წესები (მათ უწოდებენ აქსიომებს), რომლებსაც ექვემდებარება მოქმედებები და არა სიმრავლის ელემენტების ბუნება (აი, აბსტრაქციის ახალი დონე!). იმის ხაზგასასმელად, რომ აქსიომების შემოტანის შემდეგ წარმოქმნილი სტრუქტურა მნიშვნელოვანია, მათემატიკოსები ამბობენ: მთელი რიცხვების რგოლი, მრავალწევრების რგოლი და ა.შ. აქსიომებიდან დაწყებული, შეიძლება რგოლების სხვა თვისებების დადგენა.

რგოლი არის კომპლექტი ორი ორობითი მოქმედებით (ანუ, თითოეული ოპერაცია მოიცავს ბეჭდის ორ ელემენტს), რომლებსაც ტრადიციულად უწოდებენ შეკრებას და გამრავლებას და შემდეგი აქსიომები:

ახლა დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი ელემენტისთვის და თვითნებური რგოლისთვის ეს მართალია, პირველ რიგში, და მეორეც, . განცხადებები ერთეულების შესახებ მარტივად გამომდინარეობს აქედან: და .

ამისათვის დაგვჭირდება რამდენიმე ფაქტის დადგენა. ჯერ ვამტკიცებთ, რომ თითოეულ ელემენტს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი საპირისპირო. ფაქტობრივად, ელემენტს ჰქონდეს ორი საპირისპირო: და . ანუ .

განვიხილოთ თანხა. ასოციაციური და შემცვლელი კანონებისა და ნულის თვისების გამოყენებით ვხვდებით, რომ ჯამი ერთის მხრივ უდრის , ხოლო მეორეს მხრივ უდრის . ნიშნავს,.

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ ორივე და ერთი და იგივე ელემენტის საპირისპიროა, ამიტომ ისინი ტოლი უნდა იყვნენ.

პირველი ფაქტი ასე გამოდის: ანუ საპირისპიროა, რაც ნიშნავს ტოლია.

მათემატიკურად მკაცრი რომ ვიყოთ, მოდი ასევე ავხსნათ რატომ რომელიმე ელემენტისთვის. Ნამდვილად, . ანუ დამატება არ ცვლის რაოდენობას. ეს ნიშნავს, რომ ეს პროდუქტი ნულის ტოლია.
ევგენი ეპიფანოვი

"ელემენტები"

კომენტარები: 0

რიჩარდ ფეინმანი

ის იღებს ქულებს: zh- "დიახ", ის თანახმაა. შემდეგ კი მესმის: მან არ იცის ნომრები. როცა აბაკუსი გაქვს, არ გჭირდება ბევრი არითმეტიკული კომბინაციის დამახსოვრება; თქვენ უბრალოდ უნდა ისწავლოთ მუხლებზე მაღლა და ქვევით დაჭერა. არ არის საჭირო გახსოვდეთ, რომ 9 + 7 = 16; თქვენ უბრალოდ იცით, რომ როდესაც დაამატებთ 9-ს, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ათობითი დომინო ზემოთ და ერთეული დომინოს ქვემოთ. ამიტომ ძირითად არითმეტიკულ მოქმედებებს უფრო ნელა ვასრულებთ, მაგრამ ვიცით რიცხვები.

ჟაკ სესიანო ორ ათასწლეულზე მეტია რიცხვითი დომენის სამი მნიშვნელოვანი გაფართოება. ჯერ დაახლოებით 450 წ. პითაგორას სკოლის მეცნიერებმა დაადასტურეს არსებობაირაციონალური რიცხვები . მათი თავდაპირველი მიზანი იყორიცხვითი გამოხატულება

ერთეული კვადრატის დიაგონალები. მეორეც, მე-13-15 საუკუნეებში ევროპელმა მეცნიერებმა, წრფივი განტოლებების სისტემების გადაჭრით, დაუშვეს ერთი უარყოფითი ამოხსნის შესაძლებლობა. და მესამე, 1572 წელს, იტალიელმა ალგებრისტმა რაფაელ ბომბელმა გამოიყენა რთული რიცხვები გარკვეული კუბური განტოლების რეალური ამონახსნის მისაღებად.

ილია შჩუროვი

მათემატიკოსი ილია შჩუროვი ათწილადი წილადების, ტრანსცენდენტურობისა და პი რიცხვის ირაციონალურობის შესახებ.

ამ წიგნის მიზანია რიცხვების, მრავალწევრებისა და ალგებრული წილადების მკაცრად განსაზღვრა და მათი სკოლიდან უკვე ცნობილი თვისებების დასაბუთება და არა ახალი თვისებების გაცნობა მკითხველისთვის. მაშასადამე, მკითხველი აქ ვერ იპოვის მისთვის ახალ ფაქტებს (ზოგიერთი თვისების, რეალური და რთული რიცხვების გამოკლებით), მაგრამ გაიგებს, თუ როგორ დადასტურდება მისთვის კარგად ცნობილი ყველაფერი, დაწყებული „ორჯერ ორი არის ოთხი“ და დამთავრებული მრავალწევრებით და ალგებრული წილადებით მოქმედებების წესებით. მაგრამ მკითხველი გაეცნობა უამრავ ზოგად ცნებას, რომლებიც მთავარ როლს თამაშობენ ალგებრაში.

დიოფანტეს შესახებ ცოტა რამ ვიცით. მგონი ალექსანდრიაში ცხოვრობდა. არცერთი ბერძენი მათემატიკოსი არ ახსენებს მას IV საუკუნემდე, ამიტომ იგი სავარაუდოდ მე-3 საუკუნის შუა ხანებში ცხოვრობდა. დიოფანტეს ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაშრომი „არითმეტიკა“ (Ἀριθμητικά), ადგილი ჰქონდა 13 „წიგნის“ (βιβλία) დასაწყისში, ე.ი. თავებში. დღეს გვაქვს 10 მათგანი, კერძოდ: 6 ბერძნულ ტექსტში და 4 სხვა შუა საუკუნეების არაბულ თარგმანში, რომელთა ადგილი ბერძნული წიგნების შუაშია: წიგნები I-III ბერძნულად, IV-VII არაბულად, VIII-X. ბერძნულად. დიოფანტეს „არითმეტიკა“ უპირველეს ყოვლისა არის პრობლემების კრებული, სულ 260-მდე, სიმართლე გითხრათ, არ არსებობს თეორია; წიგნის შესავალში არის მხოლოდ ზოგადი ინსტრუქციები, ხოლო საჭიროების შემთხვევაში ზოგიერთ პრობლემაზე კონკრეტული კომენტარები. „არითმეტიკას“ უკვე აქვს ალგებრული ტრაქტატის თვისებები. თავდაპირველად დიოფანტი იყენებს სხვადასხვა ნიშნებს უცნობისა და მისი ხარისხების გამოსახატავად, ასევე ზოგიერთ გამოთვლებს; როგორც შუა საუკუნეების ყველა ალგებრული სიმბოლიზმი, მისი სიმბოლიზმიც მათემატიკური სიტყვებიდან მოდის. შემდეგ დიოფანტე განმარტავს, თუ როგორ უნდა გადაჭრას პრობლემა ალგებრულად. მაგრამ დიოფანტეს ამოცანები არ არის ალგებრული ჩვეულებრივი გაგებით, რადგან თითქმის ყველა მათგანი ჩამოყალიბებულია განუსაზღვრელი განტოლების ან ასეთი განტოლებების სისტემების ამოხსნით.

მათემატიკის სამყარო მათ გარეშე წარმოუდგენელია - მარტივი რიცხვების გარეშე. რა არის მარტივი რიცხვები, რა არის მათში განსაკუთრებული და რა მნიშვნელობა აქვს მათ Ყოველდღიური ცხოვრების? ამ ფილმში მათემატიკის ბრიტანელი პროფესორი მარკუს დიუ სოტოი გამოავლენს მარტივი რიცხვების საიდუმლოებას.

გიორგი შაბათი

სკოლაში ყველას გვთავაზობს მცდარი აზრი, რომ რაციონალური რიცხვების Q სიმრავლეზე არის უნიკალური ბუნებრივი მანძილი (განსხვავების მოდული), რომლის მიმართაც ყველა არითმეტიკული მოქმედება უწყვეტია. თუმცა, ასევე არსებობს დისტანციების უსასრულო რაოდენობა, ეგრეთ წოდებული p-adic, თითო თითოეული რიცხვისთვის p. ოსტროვსკის თეორემის თანახმად, „ჩვეულებრივი“ მანძილი, ყველა პ-ადურთან ერთად, უკვე ნამდვილად ამოწურავს ყველა გონივრულ დისტანციას Q. ტერმინი ადელიტური დემოკრატია შემოიღო იუ ი. ადელური დემოკრატიის პრინციპის მიხედვით, Q-ზე ყველა გონივრული მანძილი თანაბარია მათემატიკის კანონების წინაშე (შესაძლოა, მხოლოდ ტრადიციული „ცოტა=ოდნავ თანაბარი...“ შემოგთავაზებთ ადელურ რგოლს, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იმუშაოთ ყველა ამ მანძილით ერთდროულად.

ვლადიმერ არნოლდი

ჯ. R. O. Kuzmin-მა დაამტკიცა, რომ თითქმის ნებისმიერი რეალური რიცხვის არასრული კოეფიციენტების მიმდევრობაში, წილადი d_m ტოლია m არასრული კოეფიციენტებისთვის (ტიპიური რეალური რიცხვებისთვის). წილადი d_m მცირდება m→∞ როგორც 1/m^2 და მისი მნიშვნელობა იწინასწარმეტყველა გაუსმა (რომელმაც არაფერი დაამტკიცა). V.I. არნოლმა გამოთქვა (დაახლოებით 20 წლის წინ) ჰიპოთეზა, რომ გაუს-კუზმინის სტატისტიკა d_m ასევე მოქმედებს ფესვების უწყვეტი ფრაქციების პერიოდებისთვის. კვადრატული განტოლებები x^2+px+q=0 (მთლიანი p და q): თუ ერთად ჩავწერთ არასრულ კოეფიციენტებს, რომლებიც ქმნიან ასეთი განტოლების ფესვების ყველა უწყვეტი წილადის პერიოდებს p^2+q^2≤R-ით. ^2, მაშინ m არასრული კოეფიციენტის წილი მათ შორის მიისწრაფვის d_m რიცხვისკენ, როგორც R→∞. ვ.ა. ბიკოვსკიმ და მისმა ხაბაროვსკის სტუდენტებმა ახლახან დაადასტურეს ეს დიდი ხნის ჰიპოთეზა. მიუხედავად ამისა, სტატისტიკის საკითხი არა ასოებით, არამედ მათგან შედგენილი სიტყვებით, რომლებიც წარმოადგენენ x^2+px+q=0 განტოლებების ნებისმიერი ფესვის განგრძობითი წილადების პერიოდებს, შორს არ არის გადაწყვეტილი.

ასევე თემაზე

პეტრე დიდის მეფობა და რეფორმები

რამდენი სიტყვაა რუსულად და რამდენი სიტყვაა ინგლისურად?

ნახეთ, რა არის "ფეხი" სხვა ლექსიკონებში

როგორ დაიწყო ჩვენი გალაქტიკის აღმოჩენა

სლავური ქრონოლოგია: ისტორია