Šajā nodarbībā atcerēsimies, kas ir algebriskā izteiksme, kā noteikt tās vērtību noteiktām mainīgo vērtībām. Noskaidrosim, kuras mainīgo vērtības konkrētajai izteiksmei var būt nederīgas. Tāpat mācīsimies veikt dažādas darbības ar skaitliskām un algebriskām izteiksmēm.

Definīcija: Algebriskā izteiksme ir jebkurš jēgpilns apzīmējums, kas var saturēt tikai ciparus, burtus, darbības zīmes un iekavas. Piemēram, .

Ir iespējams aprēķināt algebriskās izteiksmes vērtību, ņemot vērā mainīgo lielumu vērtības, tāpēc pietiek ar vērtību aizstāt izteiksmē un veikt aprēķinus. Piemēram, ja izteiksmes vērtība ir: .

1. uzdevums . Atrodiet izteiksmes vērtību .

Risinājums . Aizstājiet vērtību izteiksmē un veiciet aprēķinus:

Atbilde: .

1. uzdevumā izrādījās dalīšana ar 0. Varat mēģināt dalīt 3 ar 0, piemēram, uz kalkulatora. Pārliecinieties, ka kalkulators nevarēja atrast šīs izteiksmes vērtību. Arī mums tas nedarbosies. Dalīšana ar 0 ir bezjēdzīga, nenoteikta.

Kāpēc dalījums ar nulli nav definēts?

0 tika ieviesta kā daļa no lielāka mehānisma, ko sauc par veseliem skaitļiem, lai apzīmētu kaut kā neesamību. 0 atvieglo skaitļu skaitīšanu un rakstīšanu, taču nav nulles lieluma, uz to nevar rādīt ar pirkstu, tāpēc nevar noteikt, cik 0 ir citā ciparā.

Dalīt 3 ar 0 nozīmē pateikt, cik reizes 3 nav nekas. Atbildiet uz jautājumu, cik daudz ir garāžā kvadrātmetri tas ir iespējams, bet atbildēt, cik daudz tukšuma tajā ir - nē.

Ja izteiksmei tiktu izdomāta kāda jēga, tad tas būtu pretrunā ar dažām zināmām īpašībām un definīcijām, piemēram, reizināšanas īpašībām, tāpēc dalīšana ar 0 nav definēta.

Jūs joprojām varat mēģināt dalīt 3 ar 0. Dalīšana ir reizināšanas apgrieztā vērtība, t.i., ja .

Bet, reizinot ar 0, vienmēr tiek iegūts 0, t.i. tas vienkārši neeksistē.

Apskatīsim gadījumu, kad 0 dalām ar 0, lai nerastos sajūta, ka tas ir īpašs un atšķiras no 3 dalīšanas ar 0.

Vienlīdzība būs spēkā jebkurai, jo Bet dalīšanas rezultātam jābūt konkrētam skaitlim. Atkal mēs iegūstam pretrunu.

Tāpēc dalījums ar 0 matemātikā nav definēts.

Algebriskā izteiksmē var aizstāt jebkuru skaitli, taču ne vienmēr ir iespējams aprēķināt tā vērtību.

Definīcija: tiek izsauktas tādas mainīgā lieluma vērtības, kurām izteiksme nav definēta (tās vērtību nav iespējams aprēķināt). nederīgas vērtības.

Pagaidām mums ir zināms tikai viens šāds gadījums. Piemēram, ja izteiksmē ir daļa vai dalījums, tad izteiksmē neaizstāsim tādas mainīgā vērtības, pie kurām saucējs kļūst par 0: .

Ir arī citi nederīgu mainīgo vērtību gadījumi, taču mēs par tiem uzzināsim vēlāk, pētot dažādas funkcijas.

Apskatīsim piemērus nederīgu mainīgo vērtību noteikšanai izteiksmēs.

1. piemērs

Risinājums . Izteiksme ir daļdaļa, tāpēc tās saucējs nevar būt 0: .

Tādējādi mainīgā nederīgā vērtība ir 0, t.i. izteiksme ir definēta jebkuram .

Atbilde: 0.

2. piemērs . Definējiet nederīgas vērtības mainīgajam izteiksmē.

Risinājums . Izteiksme ir daļdaļa, tāpēc tās saucējs nevar būt 0: .

Tādējādi mainīgā nederīgā vērtība ir 5, t.i. izteiksme ir definēta jebkuram .

Atbilde: 5.

Kur vēl var atrast dalījumu ar nulli?

Pierādīsim to. Ieviesīsim mainīgos , pieņemsim .

Mēs iegūstam vienlīdzību:

Mēs pārkārtojam noteikumus un iegūstam:

Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām katrā vienādības daļā:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar un iegūstam:

Sapratu. Kāds ir loms? Fakts ir tāds, ka mūsu “pierādījumā” iezagās kļūda: dalīšana ar 0 tika veikta, dalot abas vienādības daļas ar izteiksmi (pieņemot, ka šie skaitļi ir vienādi:).

Tas ir piemērs matemātiskā sofistika- apgalvojumi ar pierādījumu, kuros ir paslēptas kļūdas. Sofismi nav tikai matemātiski, piemēram, frāze “Tu nezaudēji to, kas tev ir. Jūs nezaudējāt savus ragus un asti. Tātad tev ir ragi un aste” satur loģisku kļūdu: no pirmās frāzes neizriet, ka tev ir viss, ko tu neesi pazaudējis.

Slavenākie sofizmi ir Zenona aporijas. Vairāk par tiem varat uzzināt vietnē šis saite.

Mēs jau esam saskārušies ar līdzvērtīgām izteiksmēm, kad mēs samazinājām daļskaitļus līdz kopsaucējam. Mēs pierakstījām līdzvērtīgu daļu ķēdes un izvēlējāmies no tām tās, kurām ir vienāds saucējs:

UN

Piemēram, šajā gadījumā tas būs daļskaitļi: .

Līdzvērtīgus izteicienus var aizstāt vienu ar otru, tas nemainīs ieraksta nozīmi un nozīmi.

Piemēram, pieņemsim, ka ir izteiksme . Varat veikt reizināšanu un iegūt izteiksmi. Abas šīs skaitliskās izteiksmes ir vienādas, līdzvērtīgas.

Ja visas darbības veicat kādā skaitliskā izteiksmē, tad iegūstat tās vērtību: , t.i. - skaitliskās izteiksmes vērtība. Pabeidzot visas darbības, mēs esam vienkāršojuši skaitlisko izteiksmi.

Algebriskās izteiksmes var rakstīt dažādos veidos, bet nozīmē vienu un to pašu, piemēram: un .

Vai mēs varam teikt, ka izteiksme ir vienkāršota? Parasti vienkāršošana nozīmē līdzvērtīgu apzīmējumu tādā veidā, ka izteiksmes vērtības aprēķināšanai būtu nepieciešams veikt pēc iespējas mazāk darbību.

Piemēram, lai aprēķinātu izteiksmes vērtību noteiktai mainīgā vērtībai, jums jāveic 3 darbības, bet izteiksmei - viena darbība. Protams, atšķirība 2 darbībās ir maza, bet, ja šāda darbība būtu jāveic 50 reizes, tad starpība jau būtu pat 100 darbības.

2. uzdevums . Pierādiet, ka izteiksme ir līdzvērtīgs izteiksmei .

Pierādījums

Mēs izmantojam sadales likumu divreiz:

3. uzdevums . Vienkāršojiet izteicienu: .

Risinājums . Izmantosim kvadrātu atšķirības formulu:

Atbilde: .

Salīdzināsim darbību skaitu, kas jāveic, lai novērtētu pirmo un otro izteiksmi. Pirmajā gadījumā bija nepieciešams veikt 5 darbības, bet otrajā - tikai 1. Šādos gadījumos mēs sakām, ka mēs vienkāršoja algebrisko izteiksmi.

Nederīgas mainīgā vērtības

Atradīsim nederīgas mainīgo vērtības izteiksmei: .

Daļas saucējā ir mainīgie, mēs nosakām, kad tas kļūst par 0:

Tie. nederīgas mainīgā vērtības būs pretējas vērtības. Piemēram, ja , tad .

Izteicienu līdzvērtība

Izteicieni un nav līdzvērtīgi nevienam un , jo pirmā izteiksme nav definēta, kad , un otrā izteiksme ir definēta jebkurai mainīgo un vērtību vērtībām.

Tie. šīs izteiksmes būs līdzvērtīgas tikai tiem un tiem, kas nav pretēji skaitļi.

4. uzdevums . Vienkāršojiet izteicienu: .

Jebkādas matemātiskās izteiksmes, ko varam uzrakstīt Dažādi ceļi. Atkarībā no mūsu mērķiem, vai mums ir pietiekami daudz datu utt. Skaitliskās un algebriskās izteiksmes atšķiras ar to, ka pirmo rakstām tikai kā skaitļus, kas apvienoti ar aritmētisko darbību zīmju (saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas) un iekavām.

Ja izteiksmē ciparu vietā ievadāt latīņu burtus (mainīgos), tas kļūs algebrisks. Algebriskajās izteiksmēs izmanto burtus, ciparus, saskaitīšanas un atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas zīmes. Un arī var izmantot saknes zīmi, pakāpi, iekavas.

Jebkurā gadījumā neatkarīgi no tā, vai šī izteiksme ir skaitliska vai algebriska, tā nevar būt tikai nejauša rakstzīmju, ciparu un burtu kopa - tai ir jābūt nozīmei. Tas nozīmē, ka burti, cipari, zīmes ir jāsavieno ar kaut kādām attiecībām. Pareizais piemērs: 7x + 2: (y + 1). Slikts piemērs): + 7x - * 1.

Iepriekš tika minēts vārds "mainīgais" - ko tas nozīmē? Šis ir latīņu burts, kura vietā varat aizstāt ciparu. Un, ja mēs runājam par mainīgajiem, šajā gadījumā algebriskās izteiksmes var saukt par algebrisko funkciju.

Mainīgais var iegūt dažādas vērtības. Un aizstājot kādu skaitli tā vietā, mēs varam atrast algebriskās izteiksmes vērtību šai konkrētajai mainīgā vērtībai. Ja mainīgā vērtība ir atšķirīga, arī izteiksmes vērtība būs atšķirīga.

Kā atrisināt algebriskās izteiksmes?

Lai aprēķinātu vērtības, kas jums jādara algebrisko izteiksmju transformācija. Un šim nolūkam jums joprojām ir jāņem vērā daži noteikumi.

Pirmkārt: algebrisko izteiksmju definīcijas domēns ir viss iespējamās vērtības mainīgais, kuram šī izteiksme var būt jēga. Kas ir domāts? Piemēram, jūs nevarat aizstāt vērtību mainīgajam, kas būtu jādala ar nulli. Izteiksmē 1 / (x - 2) 2 ir jāizslēdz no definīcijas domēna.

Otrkārt, atcerieties, kā vienkāršot izteiksmes: faktorizēt, iekavās identiskus mainīgos utt. Piemēram: ja apmainīsit terminus, summa nemainīsies (y + x = x + y). Tāpat produkts nemainīsies, ja faktori tiks aizstāti (x * y \u003d y * x).

Kopumā tie ir lieliski piemēroti algebrisko izteiksmju vienkāršošanai. saīsinātās reizināšanas formulas. Tiem, kas tos vēl nav apguvuši, tas noteikti jādara - tie joprojām noderēs vairāk nekā vienu reizi:

mēs atrodam mainīgo atšķirību kvadrātā: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

mēs atrodam summu kvadrātā: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

mēs aprēķinām starpību kvadrātā: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

mēs kubojam summu: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 vai (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

kubu starpību: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 vai (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

mēs atrodam mainīgo summu kubā: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);

mēs aprēķinām mainīgo lielumu starpību kubā: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

mēs izmantojam saknes: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), un 1 un a 2 ir izteiksmes xa 2 + ya + z saknes.

Jums vajadzētu būt arī priekšstatam par algebrisko izteiksmju veidiem. Viņi ir:

racionāli, un tie savukārt ir sadalīti:

veseli skaitļi (tiem nav dalījuma mainīgajos, no mainīgajiem netiek izvilktas saknes un nav paaugstināšanas uz daļskaitli): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). Apjoms ir visas iespējamās vērtības ​no mainīgajiem lielumiem;

daļskaitlis (izņemot citas matemātiskas darbības, piemēram, saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, šajās izteiksmēs tās dala ar mainīgo un palielina līdz pakāpei (ar naturālo eksponentu): (2 / b - 3 / a + c / 4) 2 Definīcijas domēns - visi mainīgie lielumi, kuriem izteiksme nav vienāda ar nulli;

iracionāls - lai algebrisko izteiksmi par tādu uzskatītu, tajā jāietver mainīgo pakāpju pakāpē ar daļēju eksponentu un/vai sakņu izvilkšanu no mainīgajiem: √a + b 3/4. Definīcijas joma ir visas mainīgo vērtības, izņemot tās, kurās izteiksme zem pāra pakāpes saknes vai zem daļējas pakāpes kļūst par negatīvu skaitli.

Algebrisko izteiksmju identitātes transformācijas ir vēl viens noderīgs paņēmiens to risināšanai. Identitāte ir izteiksme, kas būs patiesa visiem definīcijas domēnā iekļautajiem mainīgajiem, kas tajā ir aizstāti.

Izteiksme, kas ir atkarīga no dažiem mainīgajiem, var būt identiski vienāda ar citu izteiksmi, ja tā ir atkarīga no tiem pašiem mainīgajiem un ja abu izteiksmju vērtības ir vienādas, neatkarīgi no tā, kura mainīgo lieluma vērtības ir izvēlētas. Citiem vārdiem sakot, ja izteiksmi var izteikt divos dažādos veidos (izteiksmēs), kuru vērtības ir vienādas, šīs izteiksmes ir identiski vienādas. Piemēram: y + y \u003d 2y vai x 7 \u003d x 4 * x 3, vai x + y + z \u003d z + x + y.

Veicot uzdevumus ar algebriskām izteiksmēm, identiska transformācija kalpo, lai nodrošinātu, ka vienu izteiksmi var aizstāt ar citu, tai identisku. Piemēram, aizstājiet x 9 ar preci x 5 * x 4.

Risinājumu piemēri

Lai padarītu to skaidrāku, apskatīsim dažus piemērus. algebrisko izteiksmju transformācijas. Šāda līmeņa uzdevumus var atrast vienotā valsts eksāmena KIM.

1. uzdevums: atrodiet izteiksmes vērtību ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1).

Risinājums: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.

2. uzdevums: Atrodiet izteiksmes vērtību (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3).

Risinājums: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3) (2x + 3) = 6.

Secinājums

Gatavojoties skolas pārbaudījumiem, LIETOŠANAS un GIA eksāmeniem, jūs vienmēr varat izmantot šo materiālu kā mājienu. Ņemiet vērā, ka algebriskā izteiksme ir skaitļu un mainīgo lielumu kombinācija, kas izteikta ar latīņu burtiem. Un arī aritmētisko darbību pazīmes (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana), iekavas, grādi, saknes.

Izmantojiet īsas reizināšanas formulas un zināšanas par identitātes vienādojumiem, lai pārveidotu algebriskās izteiksmes.

Rakstiet mums savus komentārus un vēlmes komentāros - mums ir svarīgi zināt, ka jūs mūs lasāt.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Algebriskā izteiksme- tas ir jebkurš burtu, ciparu, aritmētisko zīmju un iekavas ieraksts, kas sastāv ar nozīmi. Faktiski algebriskā izteiksme ir skaitliska izteiksme, kurā papildus cipariem tiek izmantoti arī burti. Tāpēc algebriskās izteiksmes sauc arī par burtiskām izteiksmēm.

Būtībā latīņu alfabēta burti tiek izmantoti burtiskā izteiksmē. Kam domātas šīs vēstules? To vietā mēs varam aizstāt dažādus skaitļus. Tāpēc šos burtus sauc par mainīgajiem. Tas ir, viņi var mainīt savu nozīmi.

Algebrisko izteiksmju piemēri.

$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(līdzināt)$

Ja, piemēram, izteiksmē x + 5 mainīgā x vietā aizvietojam kādu skaitli, tad iegūstam skaitlisku izteiksmi. Šajā gadījumā šīs skaitliskās izteiksmes vērtība būs algebriskās izteiksmes vērtība x + 5 konkrētajai mainīgā vērtībai. Tas ir, pie x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. Un pie x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.

Pastāv tādas mainīgā vērtības, pie kurām algebriskā izteiksme zaudē savu nozīmi. Tā, piemēram, tā būs, ja izteiksmē 1:x aizstājam vērtību ar 0, nevis x.
Jo nevar dalīt ar nulli.

Algebriskās izteiksmes definīcijas joma.

Tiek izsaukta mainīgā lieluma vērtību kopa, kurai izteiksme nezaudē savu nozīmi definīcijas jomašo izteicienu. Var arī teikt, ka izteiksmes apjoms ir visu iespējamo mainīgā vērtību kopa.

Apsveriet piemērus:

1. y+5 - darbības joma būs jebkura y vērtība.
2. 1:x — izteiksmei būs nozīme visām x vērtībām, izņemot 0. Tāpēc darbības joma būs jebkura x vērtība, izņemot nulli.
3. (x+y):(x-y) – definīcijas apgabals – jebkuras x un y vērtības, kurām x ≠ y.

Algebrisko izteiksmju veidi.

Racionālas algebriskas izteiksmes ir veselas un daļējas algebriskās izteiksmes.

1. Vesela skaitļa algebriskā izteiksme - nesatur eksponenci ar daļēju eksponentu, saknes izņemšanu no mainīgā, kā arī dalīšanu ar mainīgo. Veselu skaitļu algebriskajās izteiksmēs visas mainīgās vērtības ir derīgas. Piemēram, ax + bx + c ir vesela skaitļa algebriskā izteiksme.
2. Daļskaitlis - satur dalījumu ar mainīgo. $\frac(1)(a)+bx+c$ ir daļēja algebriskā izteiksme. Daļējās algebriskās izteiksmēs ir atļautas visas mainīgo vērtības, kurām dalīšana ar nulli nenotiek.

Iracionālas algebriskas izteiksmes ietver saknes izņemšanu no mainīgā vai mainīgā lieluma paaugstināšanu daļskaitlī.

$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- iracionālas algebriskas izteiksmes. Iracionālās algebriskās izteiksmēs ir pieļaujamas visas mainīgo vērtības, kurām izteiksme zem pāra pakāpes saknes nav negatīva.

Skaitliskās un algebriskās izteiksmes. Izteiksmes konvertēšana.

Kas ir izteiksme matemātikā? Kāpēc ir nepieciešami izteiksmju reklāmguvumi?

Jautājums, kā saka, ir interesants... Fakts ir tāds, ka šie jēdzieni ir visas matemātikas pamatā. Visa matemātika sastāv no izteiksmēm un to pārveidojumiem. Nav ļoti skaidrs? Ļauj man paskaidrot.

Pieņemsim, ka jums ir ļauns piemērs. Ļoti liels un ļoti sarežģīts. Pieņemsim, ka tev padodas matemātika un ne no kā nebaidies! Vai varat atbildēt uzreiz?

Tev vajadzēs izlemtšis piemērs. Secīgi, soli pa solim, šis piemērs vienkāršot. Protams, saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Tie. darīt izteiksmes konvertēšana. Cik veiksmīgi jūs veicat šīs pārvērtības, tāpēc esat spēcīgs matemātikā. Ja jūs nezināt, kā veikt pareizās pārvērtības, matemātikā jūs to nevarat izdarīt Nekas...

Lai izvairītos no tik neērtas nākotnes (vai tagadnes ...), nav slikti saprast šo tēmu.)

Lai sāktu, noskaidrosim kas ir izteiksme matemātikā. Kas notika skaitliskā izteiksme un kas ir algebriskā izteiksme.

Kas ir izteiksme matemātikā?

Izteiksme matemātikā ir ļoti plašs jēdziens. Gandrīz viss, ar ko mēs nodarbojamies matemātikā, ir matemātisko izteiksmju kopums. Jebkuri piemēri, formulas, daļskaitļi, vienādojumi un tā tālāk - tas viss sastāv no matemātiskās izteiksmes.

3+2 ir matemātiska izteiksme. c 2 - d 2 ir arī matemātiska izteiksme. Un veselīga daļa, un pat viens skaitlis - tās visas ir matemātiskas izteiksmes. Piemēram, vienādojums ir šāds:

5x + 2 = 12

sastāv no divām matemātiskām izteiksmēm, kas savienotas ar vienādības zīmi. Viena izteiksme ir kreisajā pusē, otra ir labajā pusē.

Vispārīgi runājot, termins matemātiskā izteiksme" tiek lietots, visbiežāk, lai nemuldētu. Jums jautās, kas, piemēram, ir parasta daļdaļa? Un kā atbildēt ?!

Atbilde 1: "Tas ir... m-m-m-m... tāda lieta ... kurā ... Vai es varu uzrakstīt daļskaitli labāk? Kuru tu vēlies?"

Otrais atbildes variants: "Parastā frakcija ir (jautri un priecīgi!) matemātiskā izteiksme , kas sastāv no skaitītāja un saucēja!"

Otrais variants ir kaut kā iespaidīgāks, vai ne?)

Šim nolūkam frāze " matemātiskā izteiksme "ļoti labi. Gan pareizi, gan stabili. Bet, lai praktiski pielietotu, jums ir jābūt labi pārzinātam specifiski izteiksmju veidi matemātikā .

Konkrētais veids ir cits jautājums. Šis pavisam cita lieta! Katram matemātiskās izteiksmes veidam ir mans noteikumu un paņēmienu kopums, kas jāizmanto lēmumā. Lai strādātu ar frakcijām - viens komplekts. Darbam ar trigonometriskām izteiksmēm - otrais. Darbam ar logaritmiem - trešais. Un tā tālāk. Kaut kur šie noteikumi sakrīt, kaut kur tie krasi atšķiras. Bet nebaidieties no šiem briesmīgajiem vārdiem. Logaritmus, trigonometriju un citas noslēpumainas lietas apgūsim attiecīgajās sadaļās.

Šeit mēs apgūsim (vai - atkārtojiet, kā vēlaties ...) divus galvenos matemātisko izteiksmju veidus. Skaitliskās izteiksmes un algebriskās izteiksmes.

Skaitliskās izteiksmes.

Kas notika skaitliskā izteiksme? Tas ir ļoti vienkāršs jēdziens. Pats nosaukums norāda, ka tas ir izteiciens ar cipariem. Tā tas ir. Matemātisku izteiksmi, kas sastāv no skaitļiem, iekavām un aritmētisko darbību zīmēm, sauc par skaitlisko izteiksmi.

7-3 ir skaitliska izteiksme.

(8+3.2) 5.4 ir arī skaitliska izteiksme.

Un šis briesmonis:

arī skaitliskā izteiksme, jā...

Parasts cipars, daļskaitlis, jebkurš aprēķinu piemērs bez x un citiem burtiem – tās visas ir skaitliskas izteiksmes.

galvenā iezīme skaitliski izteicienus tajā nav burtu. Nav. Tikai cipari un matemātiskās ikonas (ja nepieciešams). Tas ir vienkārši, vai ne?

Un ko var izdarīt ar skaitliskām izteiksmēm? Skaitliskās izteiksmes parasti var saskaitīt. Lai to izdarītu, dažreiz ir jāatver iekavas, jāmaina zīmes, jāsaīsina, jāsamaina termini – t.i. darīt izteiksmes konversijas. Bet vairāk par to zemāk.

Šeit mēs aplūkosim tik smieklīgu gadījumu, kad ar skaitlisko izteiksmi tev nekas nav jādara. Nu vispār nekā! Šī jaukā operācija neko nedarīt)- tiek izpildīts, kad izteiksme nav jēgas.

Kad skaitliskai izteiksmei nav jēgas?

Protams, ja mēs redzam sev priekšā kaut kādu abrakadabru, piemēram,

tad mēs neko nedarīsim. Tā kā nav skaidrs, ko ar to darīt. Kaut kādas muļķības. Ja vien neskaita plusu skaitu...

Bet ir ārēji diezgan pieklājīgi izteicieni. Piemēram šis:

(2+3) : (16 - 28)

Tomēr arī šis izteiciens ir nav jēgas! Tā vienkāršā iemesla dēļ, ka otrajās iekavās - ja skaita - jūs saņemat nulli. Jūs nevarat dalīt ar nulli! Šī ir aizliegta darbība matemātikā. Tāpēc arī ar šo izteicienu nekas nav jādara. Jebkuram uzdevumam ar šādu izteiksmi atbilde vienmēr būs viena un tā pati: "Izteicienam nav jēgas!"

Lai sniegtu šādu atbildi, protams, bija jārēķina, kas būs iekavās. Un reizēm iekavās tāds pavērsiens... Nu, tur neko nevar darīt.

Matemātikā nav tik daudz aizliegto darbību. Šajā pavedienā ir tikai viens. Dalīšana ar nulli. Papildu aizliegumi, kas rodas saknēs un logaritmos, tiek apspriesti attiecīgajās tēmās.

Tātad, priekšstats par to, kas ir skaitliskā izteiksme- dabūju. koncepcija skaitliskajai izteiksmei nav jēgas- sapratu. Ejam tālāk.

Algebriskās izteiksmes.

Ja skaitliskā izteiksmē parādās burti, šī izteiksme kļūst par... Izteiksme kļūst par... Jā! Tas kļūst algebriskā izteiksme. Piemēram:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Tādus izteicienus sauc arī burtiski izteicieni. Or izteiksmes ar mainīgajiem. Tas ir praktiski viens un tas pats. Izteiksme 5a + c, piemēram - gan burtiski, gan algebriski, gan izteiksme ar mainīgajiem.

koncepcija algebriskā izteiksme - plašāks par skaitlisko. Tas ietilpst un visas skaitliskās izteiksmes. Tie. skaitliskā izteiksme ir arī algebriska izteiksme, tikai bez burtiem. Katra siļķe ir zivs, bet ne katra zivs ir siļķe...)

Kāpēc burtiski- Tas ir skaidrs. Nu, tā kā ir burti ... Frāze izteiksme ar mainīgajiem arī ne pārāk mulsinoši. Ja saproti, ka cipari ir paslēpti zem burtiem. Zem burtiem var paslēpt visādus ciparus... Un 5, un -18, un ko vien vēlies. Tas ir, vēstule var aizvietot dažādiem numuriem. Tāpēc burti tiek saukti mainīgie.

Izteicienā y+5, Piemēram, plkst- mainīgs. Vai vienkārši saki " mainīgs", bez vārda "vērtība". Atšķirībā no pieci, kas ir nemainīga vērtība. Vai vienkārši - nemainīgs.

Jēdziens algebriskā izteiksme nozīmē, ka, lai strādātu ar šo izteiksmi, jums ir jāizmanto likumi un noteikumi algebra. Ja aritmētika tad strādā ar konkrētiem skaitļiem algebra- ar visiem cipariem uzreiz. Vienkāršs piemērs skaidrībai.

Aritmētikā tā var uzrakstīt

Bet, ja mēs rakstām līdzīgu vienādību ar algebriskām izteiksmēm:

a + b = b + a

tūlīt izlemsim Visi jautājumiem. Priekš visi cipari insults. Bezgalīgi daudzām lietām. Jo zem burtiem A Un b netieši Visi cipariem. Un ne tikai skaitļus, bet pat citas matemātiskas izteiksmes. Lūk, kā darbojas algebra.

Kad algebriskajai izteiksmei nav jēgas?

Par skaitlisko izteiksmi viss ir skaidrs. Jūs nevarat dalīt ar nulli. Un ar burtiem ir iespējams uzzināt, ar ko mēs dalām ?!

Kā piemēru ņemsim šādu mainīgā izteiksmi:

2: (A - 5)

Vai tas izklausās sakarīgi? Bet kurš viņu pazīst? A- jebkurš numurs...

Jebkurš, jebkurš... Bet ir viena nozīme A, kam šis izteiciens tieši tā nav jēgas! Un kas tas par numuru? Jā! Ir 5! Ja mainīgais A nomainiet (viņi saka - "aizstājējs") ar skaitli 5, iekavās izrādīsies nulle. ko nevar sadalīt. Tātad izrādās, ka mūsu izteiksme nav jēgas, Ja a = 5. Bet par citām vērtībām A vai tas izklausās sakarīgi? Vai varat aizstāt citus skaitļus?

Noteikti. Šādos gadījumos vienkārši saka, ka izteiksme

2: (A - 5)

ir jēga jebkurai vērtībai A, izņemot a = 5 .

Viss skaitļu komplekts Var tiek izsaukts aizvietotājs dotajā izteiksmē derīgs diapazonsšo izteicienu.

Kā redzat, nav nekā sarežģīta. Mēs skatāmies izteiksmi ar mainīgajiem un domājam: pie kādas mainīgā vērtības tiek iegūta aizliegtā darbība (dalīšana ar nulli)?

Un tad noteikti apskatiet uzdevumu par uzdevumu. Ko viņi jautā?

nav jēgas, mūsu aizliegtā vērtība būs atbilde.

Ja viņi jautā, kādā mainīgā vērtībā izteiksme ir nozīme(sajūti atšķirību!), atbilde būs visi pārējie skaitļi izņemot aizliegto.

Kāpēc mums ir vajadzīga izteiciena nozīme? Viņš ir, viņa nav... Kāda starpība?! Fakts ir tāds, ka vidusskolā šis jēdziens kļūst ļoti svarīgs. Ārkārtīgi svarīgi! Tas ir pamats tādiem stabiliem jēdzieniem kā derīgo vērtību diapazons vai funkcijas darbības joma. Bez tā jūs vispār nevarēsit atrisināt nopietnus vienādojumus vai nevienlīdzības. Kā šis.

Izteiksmes konvertēšana. Identitātes transformācijas.

Iepazināmies ar skaitliskām un algebriskām izteiksmēm. Saprotiet, ko nozīmē frāze "izteicienam nav jēgas". Tagad mums ir jāizdomā, kas izteiksmes konvertēšana. Atbilde ir vienkārša, nežēlīgi.) Šī ir jebkura darbība ar izteiksmi. Un viss. Jūs esat veicis šīs pārvērtības kopš pirmās klases.

Paņemiet foršo skaitlisko izteiksmi 3+5. Kā to var pārvērst? Jā, ļoti viegli! Aprēķināt:

Šis aprēķins būs izteiksmes transformācija. Jūs varat uzrakstīt vienu un to pašu izteiksmi citādā veidā:

Mēs šeit neko neskaitījām. Vienkārši pierakstiet izteiksmi citā formā. Tas arī būs izteiksmes pārveidojums. To var uzrakstīt šādi:

Un arī šī ir izteiksmes transformācija. Varat veikt tik daudz no šīm pārvērtībām, cik vēlaties.

Jebkurš darbība uz izteiksmi jebkura tā rakstīšanu citā formā sauc par izteiksmes transformāciju. Un visas lietas. Viss ir ļoti vienkārši. Bet šeit ir viena lieta ļoti svarīgs noteikums. Tik svarīgi, ka to var droši saukt galvenais noteikums visa matemātika. Pārkāpjot šo noteikumu neizbēgami noved pie kļūdām. Vai mēs saprotam?)

Pieņemsim, ka esam patvaļīgi pārveidojuši savu izteiksmi, piemēram:

Transformācija? Noteikti. Mēs uzrakstījām izteiksmi citā formā, kas šeit ir nepareizi?

Tas tā nav.) Fakts ir tāds, ka pārvērtības "vienalga" matemātika vispār neinteresē.) Visa matemātika ir balstīta uz transformācijām, kurās izskats, bet izteiciena būtība nemainās. Trīs plus pieci var rakstīt jebkurā formā, bet tam jābūt astoņiem.

pārvērtības, izteicieni, kas nemaina būtību sauca identisks.

Tieši tā identiskas pārvērtības un ļauj mums soli pa solim pārveidoties sarežģīts piemērs vienkāršā izteiksmē, paturot piemēra būtība. Ja mēs kļūdīsimies transformāciju ķēdē, mēs veiksim NE identisku transformāciju, tad mēs izlemsim cits piemērs. Ar citām atbildēm, kas nav saistītas ar pareizajām.)

Šeit ir galvenais noteikums jebkuru uzdevumu risināšanai: atbilstība transformāciju identitātei.

Skaidrības labad es sniedzu piemēru ar skaitlisko izteiksmi 3 + 5. Algebriskajās izteiksmēs identiskas transformācijas tiek dotas ar formulām un noteikumiem. Pieņemsim, ka algebrā ir formula:

a(b+c) = ab + ac

Tātad jebkurā piemērā mēs varam izteiksmes vietā a(b+c) droši rakstiet izteicienu ab+ac. Un otrādi. Šis identiska transformācija. Matemātika dod mums iespēju izvēlēties no šīm divām izteiksmēm. Un kuru rakstīt, atkarīgs no konkrētā piemēra.

Vēl viens piemērs. Viena no svarīgākajām un nepieciešamākajām transformācijām ir daļskaitļa pamatīpašība. Sīkāku informāciju varat redzēt saitē, bet šeit es tikai atgādinu noteikumu: ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina (dala) ar vienu un to pašu skaitli vai izteiksmi, kas nav vienāda ar nulli, daļa nemainīsies.Šeit ir šī īpašuma identisku transformāciju piemērs:

Kā jūs droši vien uzminējāt, šo ķēdi var turpināt bezgalīgi...) Ļoti svarīgs īpašums. Tas ļauj pārvērst visu veidu monstrus par baltiem un pūkainiem.)

Ir daudz formulu, kas nosaka identiskas transformācijas. Bet pats galvenais - diezgan saprātīga summa. Viena no pamata transformācijām ir faktorizēšana. To izmanto visā matemātikā - no pamatskolas līdz progresīvam. Sāksim ar viņu. nākamajā nodarbībā.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Aritmētiskā darbība, kas tiek veikta pēdējā, aprēķinot izteiksmes vērtību, ir "galvenā".

Tas ir, ja burtu vietā aizstājat dažus (jebkurus) ciparus un mēģināt aprēķināt izteiksmes vērtību, tad, ja pēdējā darbība ir reizināšana, tad mums ir reizinājums (izteiksme tiek sadalīta faktoros).

Ja pēdējā darbība ir saskaitīšana vai atņemšana, tas nozīmē, ka izteiksme netiek ņemta vērā (un tāpēc to nevar samazināt).

Lai to labotu pats, daži piemēri:

Piemēri:

Risinājumi:

1. Ceru, ka uzreiz nesteidzies griezt un? Joprojām nebija pietiekami, lai “samazinātu” šādas vienības:

Pirmais solis ir faktorizēšana:

4. Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana. Daļskaitļu apvienošana kopsaucējā.

Parasto daļskaitļu pievienošana un atņemšana ir labi zināma darbība: mēs meklējam kopsaucēju, reizinām katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām/atņemam skaitītājus.

Atcerēsimies:

Atbildes:

1. Saucēji un ir koprime, tas ir, tiem nav kopīgu faktoru. Tāpēc šo skaitļu LCM ir vienāds ar to reizinājumu. Šis būs kopsaucējs:

2. Šeit kopsaucējs ir:

3. Šeit, pirmkārt, jauktās frakcijas pārvēršam par nepareizām, un pēc tam - saskaņā ar parasto shēmu:

Cita lieta, ja daļās ir burti, piemēram:

Sāksim vienkārši:

a) saucēji nesatur burtus

Šeit viss ir tāpat kā ar parastajām skaitliskām daļām: mēs atrodam kopsaucēju, reiziniet katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām / atņemam skaitītājus:

tagad skaitītājā varat ievietot līdzīgus, ja tādi ir, un faktorēt tos:

Izmēģiniet to pats:

Atbildes:

b) saucēji satur burtus

Atcerēsimies principu atrast kopsaucēju bez burtiem:

Pirmkārt, mēs nosakām kopējos faktorus;

Tad mēs vienu reizi izrakstām visus kopīgos faktorus;

un reiziniet tos ar visiem citiem faktoriem, nevis parastajiem.

Lai noteiktu saucēju kopīgos faktorus, mēs vispirms tos sadalām vienkāršos faktoros:

Mēs uzsveram kopīgos faktorus:

Tagad mēs vienreiz izrakstām kopējos faktorus un pievienojam tiem visus neparastos (nepasvītrotos) faktorus:

Tas ir kopsaucējs.

Atgriezīsimies pie burtiem. Saucēji tiek norādīti tieši tādā pašā veidā:

Mēs sadalām saucējus faktoros;

noteikt kopējos (identiskos) reizinātājus;

vienu reizi uzrakstiet visus kopīgos faktorus;

Mēs tos reizinām ar visiem citiem faktoriem, nevis parastajiem.

Tātad, secībā:

1) sadaliet saucējus faktoros:

2) nosaka kopējos (identiskos) faktorus:

3) vienu reizi uzrakstiet visus kopīgos faktorus un reiziniet tos ar visiem pārējiem (nepasvītrotajiem) faktoriem:

Tātad kopsaucējs ir šeit. Pirmā daļa jāreizina ar, otrā - ar:

Starp citu, ir viens triks:

Piemēram: .

Mēs redzam vienus un tos pašus faktorus saucējos, tikai visi ar dažādiem rādītājiem. Kopsaucējs būs:

tādā mērā

tādā mērā

tādā mērā

grādos.

Sarežģīsim uzdevumu:

Kā panākt, lai daļskaitļiem būtu vienāds saucējs?

Atcerēsimies daļskaitļa pamatīpašību:

Nekur nav teikts, ka vienu un to pašu skaitli var atņemt (vai saskaitīt) no daļskaitļa skaitītāja un saucēja. Jo tā nav taisnība!

Skatieties paši: ņemiet, piemēram, jebkuru daļskaitli un pievienojiet skaitītājam un saucējam kādu skaitli, piemēram, . Kas ir iemācījies?

Tātad, vēl viens nesatricināms noteikums:

Kad daļskaitļus apvienojat līdz kopsaucējam, izmantojiet tikai reizināšanas operāciju!

Bet kas jums ir jāreizina, lai iegūtu?

Šeit tālāk un reiziniet. Un reiziniet ar:

Izteiksmes, kuras nevar faktorizēt, tiks sauktas par "elementārajiem faktoriem".

Piemēram, ir elementārs faktors. - Tas pats. Bet - nē: tas ir sadalīts faktoros.

Kā ar izteiksmi? Vai tas ir elementāri?

Nē, jo to var faktorizēt:

(par faktorizēšanu jūs jau lasījāt tēmā "").

Tātad elementārie faktori, kuros jūs sadalāt izteiksmi ar burtiem, ir analogi vienkāršiem faktoriem, kuros jūs sadalāt skaitļus. Un mēs darīsim to pašu ar viņiem.

Mēs redzam, ka abiem saucējiem ir faktors. Tas nonāks pie kopsaucēja varā (atceries, kāpēc?).

Reizinātājs ir elementārs, un viņiem tas nav kopīgs, kas nozīmē, ka pirmā daļa būs vienkārši jāreizina ar to:

Vēl viens piemērs:

Risinājums:

Pirms panikā reizināt šos saucējus, jums ir jādomā, kā tos faktorēt? Abi pārstāv:

Lieliski! Pēc tam:

Vēl viens piemērs:

Risinājums:

Kā parasti, mēs faktorizējam saucējus. Pirmajā saucējā mēs to vienkārši izliekam iekavās; otrajā - kvadrātu atšķirība:

Šķiet, ka nav kopīgu faktoru. Bet, ja paskatās uzmanīgi, viņi jau ir tik līdzīgi ... Un patiesība ir tāda:

Tātad rakstīsim:

Tas ir, tas izrādījās šādi: iekavas iekšpusē mēs samainījām terminus, un tajā pašā laikā zīme daļskaitļa priekšā mainījās uz pretējo. Ņemiet vērā, ka jums tas būs jādara bieži.

Tagad mēs nonākam pie kopsaucēja:

Sapratu? Tagad pārbaudīsim.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Atbildes:

Šeit mums jāatceras vēl viena lieta - kubu atšķirība:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrās daļdaļas saucējs nesatur formulu "summas kvadrāts"! Summas kvadrāts izskatītos šādi:

A ir tā sauktais nepilnīgais summas kvadrāts: otrais vārds tajā ir pirmā un pēdējā reizinājums, nevis to dubultais reizinājums. Summas nepilnīgais kvadrāts ir viens no faktoriem, kas palielina kubu starpību:

Ko darīt, ja jau ir trīs frakcijas?

Jā, tas pats! Pirmkārt, mēs pārliecināsimies, ka saucējos ir vienāds maksimālais faktoru skaits:

Pievērsiet uzmanību: ja maināt zīmes vienā iekavas iekšpusē, zīme daļskaitļa priekšā mainās uz pretējo. Mainot zīmes otrajā iekavā, zīme daļskaitļa priekšā atkal tiek apgriezta. Rezultātā viņš (zīme frakcijas priekšā) nav mainījies.

Pirmo saucēju mēs izrakstām pilnā kopsaucējā, un tad pievienojam tam visus vēl neuzrakstītos faktorus, sākot no otrā un pēc tam no trešā (un tā tālāk, ja ir vairāk daļskaitļu). Tas ir, tas notiek šādi:

Hmm... Ar daļskaitļiem ir skaidrs, ko darīt. Bet kā ir ar abiem?

Tas ir vienkārši: jūs zināt, kā pievienot daļskaitļus, vai ne? Tātad, jums ir jāpārliecinās, ka deuce kļūst par daļu! Atcerieties: daļskaitlis ir dalīšanas darbība (skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, ja pēkšņi esat aizmirsis). Un nav nekā vieglāk, kā dalīt skaitli ar. Šajā gadījumā pats skaitlis nemainīsies, bet pārvērtīsies par daļu:

Tieši tas, kas vajadzīgs!

5. Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.

Nu, grūtākā daļa tagad ir beigusies. Un mums priekšā ir visvienkāršākais, bet tajā pašā laikā vissvarīgākais:

Procedūra

Kāda ir skaitliskās izteiksmes aprēķināšanas procedūra? Atcerieties, ņemot vērā šādas izteiksmes vērtību:

Vai skaitījāt?

Tam vajadzētu strādāt.

Tātad, es jums atgādinu.

Pirmais solis ir aprēķināt grādu.

Otrais ir reizināšana un dalīšana. Ja vienlaikus ir vairākas reizināšanas un dalīšanas, varat tos veikt jebkurā secībā.

Visbeidzot, mēs veicam saskaitīšanu un atņemšanu. Atkal, jebkurā secībā.

Bet: iekavās ievietotā izteiksme tiek novērtēta nekārtīgi!

Ja vairākas iekavas tiek reizinātas vai dalītas savā starpā, mēs vispirms novērtējam izteiksmi katrā no iekavām un pēc tam tās reizinām vai sadalām.

Ko darīt, ja iekavās ir citas iekavas? Nu, padomāsim: iekavās ir ierakstīts kāds izteiciens. Kas ir pirmais, kas jādara, novērtējot izteiksmi? Tieši tā, aprēķiniet iekavas. Nu, mēs to izdomājām: vispirms mēs aprēķinām iekšējās iekavas, pēc tam visu pārējo.

Tātad darbību secība iepriekš norādītajai izteiksmei ir šāda (pašreizējā darbība ir iezīmēta sarkanā krāsā, tas ir, darbība, kuru es veicu šobrīd):

Labi, viss ir vienkārši.

Bet tas nav tas pats, kas izteiciens ar burtiem, vai ne?

Nē, tas pats! Tikai aritmētisko darbību vietā ir jāveic algebriskas darbības, tas ir, iepriekšējā sadaļā aprakstītās darbības: atnesot līdzīgu, frakciju pievienošana, frakciju samazināšana utt. Vienīgā atšķirība būs faktoringa polinomu darbība (mēs to bieži lietojam, strādājot ar daļām). Visbiežāk faktorizēšanai ir jāizmanto i vai vienkārši jāizņem no iekavām kopīgais faktors.

Parasti mūsu mērķis ir attēlot izteiksmi kā produktu vai koeficientu.

Piemēram:

Vienkāršosim izteicienu.

1) Vispirms mēs vienkāršojam izteiksmi iekavās. Šeit mums ir daļskaitļu atšķirība, un mūsu mērķis ir attēlot to kā reizinājumu vai koeficientu. Tātad, mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam un pievienojam:

Šo izteiksmi nav iespējams vēl vairāk vienkāršot, visi faktori šeit ir elementāri (vai jūs joprojām atceraties, ko tas nozīmē?).

2) Mēs iegūstam:

Daļskaitļu reizināšana: kas var būt vieglāk.

3) Tagad jūs varat saīsināt:

Labi, tagad viss ir beidzies. Nekas sarežģīts, vai ne?

Vēl viens piemērs:

Vienkāršojiet izteiksmi.

Vispirms mēģiniet to atrisināt pats, un tikai tad skatieties risinājumu.

Risinājums:

Pirmkārt, definēsim procedūru.

Vispirms saskaitīsim iekavās esošās daļas, divu daļskaitļu vietā izrādīsies viena.

Tad mēs veiksim daļskaitļu dalīšanu. Nu, mēs pievienojam rezultātu ar pēdējo daļu.

Es shematiski numurēšu soļus:

Tagad es parādīšu visu procesu, tonējot pašreizējo darbību ar sarkanu:

1. Ja ir līdzīgas, tās nekavējoties jāatved. Kurā brīdī mums ir līdzīgi, vēlams tos ņemt līdzi uzreiz.

2. Tas pats attiecas uz frakciju samazināšanu: tiklīdz rodas iespēja samazināt, tā ir jāizmanto. Izņēmums ir daļskaitļi, ko pievienojat vai atņemat: ja tām tagad ir vienādi saucēji, samazinājums jāatstāj vēlākam laikam.

Šeit ir daži uzdevumi, kas jums jāatrisina pašam:

Un apsolīja pašā sākumā:

Atbildes:

Risinājumi (īsi):

Ja jūs tikāt galā ar vismaz pirmajiem trim piemēriem, tad, ņemiet vērā, esat apguvis tēmu.

Tagad uz mācīšanos!

IZTEIKSJU KONVERSIJA. KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA

Galvenās vienkāršošanas darbības:

• Atvedot līdzīgu: lai pievienotu (samazinātu) līdzīgus terminus, jāpievieno to koeficienti un jāpiešķir burtu daļa.
• Faktorizācija: kopējā faktora izņemšana no iekavām, pielietošana utt.
• Frakciju samazināšana: daļskaitļa skaitītāju un saucēju var reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, no kura daļas vērtība nemainās.
  1) skaitītājs un saucējs faktorizēt
  2) ja skaitītājā un saucējā ir kopīgi faktori, tos var izsvītrot.

  SVARĪGI: samazināt var tikai reizinātājus!

• Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana:
  ;
• Daļskaitļu reizināšana un dalīšana:
  ;