Vēl viens veids, kā atrast centru (piemēram, virpotiem izstrādājumiem) - izmantojot īpašu instrumentu, "centra meklētāju" - ir balstīts uz tā saukto īpašībām. pieskares līnijas. Riņķa pieskare ir jebkura taisne, kas apļa saskares punktā ir perpendikulāra šim punktam novilktajam rādiusam. Piemēram, uz elli. 174 taisni AB, CD Un E.F.– riņķa pieskares ACE. Punkti A, C, E tiek saukti par "pieskāriena punktiem". Pieskares līnijas īpatnība ir tāda, ka tai ir aplis ar tikai vienu kopīgu punktu. Patiešām, ja tangenss AB(175. att.) bija ar apli, bez šī ir vēl viens kopīgs punkts, piemēram, AR, tad, savienojot to ar centru, mēs iegūtu vienādsānu trīsstūri SOA ar diviem taisniem leņķiem SA, un tas, mēs zinām, nav iespējams (kāpēc?).
Ar līnijām, kas pieskaras riņķim, praktiskajā dzīvē sastopamies diezgan bieži. Virve, kas pārmesta pāri blokam, savās saspringtajās daļās ieņem bloka apļa pieskares līniju pozīciju. Pacēlāju siksnas (vairāku bloku kombinācijas, 176. att.) atrodas pa riteņu apkārtmēra kopējo pieskares līniju. Skriemeļu transmisijas siksnas ieņem arī kopējo pieskares pozīciju “ārējo” pieskares skriemeļu apļiem tā sauktajās. atvērta transmisija un “iekšējā” - slēgtā transmisijā.
Kā uzvilkt tai pieskares dotajā punktā ārpus apļa? Citiem vārdiem sakot: kā caur punktu A(177. zīmējums) novelciet taisnu līniju AB lai leņķi ABO vai tas bija taisni? Tas tiek darīts šādi. Savienot A ar centru PAR(178. zīmējums). Taisnā līnija ir sadalīta uz pusēm un ap tās vidu IN, kā centru, aprakstiet apli ar rādiusu IN. Citiem vārdiem sakot, uz OA veidot apli kā uz diametra. Krustošanās punkti AR Un D abi apļi ir savienoti ar A taisnas līnijas: tās būs pieskares.
Lai to pārbaudītu, zīmēsim no centra uz punktiem AR Un D palīglīnijas OS Un OD. Leņķi LAPSENE Un ODA- taisni, jo tie ir ierakstīti puslokā. Un tas nozīmē, ka OS Un O.D.– apļa pieskares.
Ņemot vērā mūsu konstrukciju, mēs, cita starpā, redzam, ka no katra punkta ārpus apļa mēs varam tam novilkt divas pieskares. Ir viegli pārbaudīt, vai abas šīs pieskares ir vienāda garuma, t.i., ka A.C.= AD. Patiešām, punkts PAR vienādā attālumā no leņķa malām A; Līdzekļi OA ir vienāddalītājs un līdz ar to trijstūri OAS Un OAD vienāds ( SUS).
Pa ceļam mēs noskaidrojām, ka taisne, kas sadala leņķi starp abām pieskarēm, iet caur apļa centru. Tas ir pamats virpoto izstrādājumu centra - meklētāja centra - atrašanas ierīces konstrukcijai (179. att.). Tas sastāv no divām līnijām AB Un AC, fiksēts leņķī, un trešais lineāls BD, kura mala BD sadala leņķi starp malām uz pusēm
pirmās divas rindas. Ierīce tiek uzklāta uz apaļā izstrādājuma tā, lai lineālu malas būtu blakus tai AB Un Sv saskārās ar izstrādājuma apkārtmēru. Šajā gadījumā malām būs tikai viens kopīgs punkts ar apli, tāpēc lineāla malai saskaņā ar tagad norādīto pieskares īpašību ir jāiet cauri apļa centram. Uzzīmējot uz izstrādājuma apļa diametru, izmantojot lineālu, uzlieciet centra meklētāju uz izstrādājumu citā pozīcijā un uzzīmējiet citu diametru. Vēlamais centrs atradīsies abu diametru krustpunktā.
Ja jums ir jāuzzīmē kopēja pieskare diviem apļiem, tas ir, novelciet taisnu līniju, kas vienlaikus pieskartos diviem apļiem, tad rīkojieties šādi. Viena apļa centra tuvumā, piemēram, apm IN(180. att.), aprakstiet palīgloku, kura rādiuss ir vienāds ar abu apļu rādiusu starpību. Tad no punkta A zīmēt pieskares AC Un AD uz šo palīgapli. No punktiem A Un IN zīmējiet taisnas līnijas perpendikulāri AC Un AD, līdz tie punktos krustojas ar dotajiem apļiem E, F, H Un G. Taisnas līnijas, kas savieno E Ar F, G Ar H, šiem apļiem būs kopīgas pieskares, jo tās ir perpendikulāras rādiusiem AE, CF, AG Un D.H..
Papildus divām tikko uzzīmētajām pieskarēm, kuras sauc par ārējām, ir iespējams uzzīmēt arī divas citas pieskares, kas atrodas kā ellē. 181 (iekšējās pieskares). Lai veiktu šo konstrukciju, aprakstiet viena no šiem apļiem ap centru, piemēram, ap IN– palīgriņķis, kura rādiuss ir vienāds ar abu apļu rādiusu summu. No punkta A uzzīmējiet pieskares šim palīgaplim. Tālāko būvniecības gaitu lasītāji varēs uzzināt paši.
Atkārtojiet jautājumus
Kā sauc tangensu? Cik kopīgu punktu ir pieskarei un aplim? – Kā uzzīmēt riņķa pieskari caur punktu, kas atrodas ārpus apļa? – Cik šādas pieskares var novilkt? – Kas ir centrifūga? – Uz kā balstās tā ierīce? – Kā diviem apļiem uzzīmēt kopīgu pieskari? - Cik pieskares ir?
Ģeometriskās konstrukcijas
Apļu pieskares konstruēšana
Apskatīsim problēmu, kas ir pamatā citu problēmu risinājumam, kas ietver pieskares vilkšanu apļiem.
Ļaujiet no punktaA(1. att.) nepieciešams novilkt pieskares riņķim ar centru punktāPAR.
Lai precīzi konstruētu pieskares, ir jānosaka līniju pieskares punkti aplim. Šim punktamAjāsavieno ar dūrienuPARun sadaliet segmentuOAUz pusēm. No šī segmenta vidus - punktiAR, kā no centra, aprakstiet apli, kura diametram jābūt vienādam ar segmentuOA. PunktiUZ1 UnUZ2 apļu krustpunkts, kura centrs ir vienā punktāARun ar centru punktāPARir līniju pieskares punktiAK1 UnAK2 uz doto loku.
Problēmas risinājuma pareizību apliecina fakts, ka saskares punktam novilktā riņķa rādiuss ir perpendikulārs riņķa pieskarei. Leņķilabi1 AUnlabi2 Air taisni, jo tie balstās uz diametruASaplis ar centru punktāAR.
Rīsi. 1.
Konstruējot pieskares diviem apļiem, tiek izdalītas pieskaresiekšējaisUnārējā. Ja doto riņķu centri atrodas vienā pieskares pusē, tad to uzskata par ārēju, un, ja apļu centri atrodas pretējās pieskares pusēs, to uzskata par iekšējo.
PAR1 UnPAR2 R1 UnR2 . Ir nepieciešams uzzīmēt ārējās pieskares dotajiem apļiem.
Precīzai konstrukcijai nepieciešams noteikt taisnu līniju un doto apļu pieskares punktus. Ja apļu rādiusi ar centriemPAR1 UnPAR2 sāciet secīgi samazināties par to pašu vērtību, tad jūs varat iegūt virkni mazāka diametra koncentrisku apļu. Turklāt katrā rādiusa samazināšanas gadījumā mazāko apļu pieskares būs paralēlas vēlamajām. Pēc abu rādiusu samazināšanas par mazākā rādiusa lielumuR2 aplis ar centruPAR2 pārvēršas par punktu, un aplis ar centruPAR1 pārveidosies par koncentrisku apli ar rādiusuR3 , vienāds ar starpību starp rādiusiemR1 UnR2 .
Izmantojot iepriekš aprakstīto metodi, no punktaPAR2 uzzīmējiet ārējās pieskares rādiusa aplimR3 , savienojiet punktusPAR1 UnPAR2 , dala ar punktuARlīnijas segmentsPAR1 PAR2 uz pusēm un uzzīmējiet rādiusuCO1 loks, kura krustošanās ar doto apli noteiks līniju pieskares punktusPAR2 UZ1 UnPAR2 UZ2 .
PunktsA1 UnA2 nepieciešamo taisnu līniju pieskares lielākajam aplim atrodas taisnu līniju turpinājumāPAR1 UZ1 UnPAR1 UZ2 . PunktiIN1 UnIN2 mazākā apļa pieskares līnijas ir perpendikulāri pamatneiPAR2 attiecīgi palīgpieskarēmPAR2 UZ1 UnPAR2 UZ2 . Novietojot saskares punktus, varat novilkt vēlamās taisnas līnijasA1 IN1 UnA2 IN2 .
Rīsi. 2.
Doti divi apļi ar centriem punktosPAR1 UnPAR2 (2. att.), kam attiecīgi ir rādiusiR1 UnR2 . Ir nepieciešams uzzīmēt iekšējās pieskares dotajiem apļiem.
Lai noteiktu taisnu līniju un apļu pieskares punktus, mēs izmantojam argumentāciju, kas ir līdzīga tai, kas sniegta, risinot iepriekšējo uzdevumu. Ja samazināsiet rādiusuR2 līdz nullei, tad aplis ar centruPAR2 ej pie lietas. Tomēr šajā gadījumā, lai saglabātu papildu pieskares paralēlismu ar vēlamo rādiusuR1 jāpalielina par vienu izmēruR2 un uzzīmējiet apli ar rādiusuR3 , vienāds ar rādiusu summuR1 UnR2 .
No punktaPAR2 uzzīmējiet pieskares rādiusa aplimR3 , kāpēc savienot punktusPAR1 UnPAR2 , dala ar punktuARlīnijas segmentsPAR1 PAR2 uz pusēm un uzzīmējiet apļa loku, kura centrs atrodas punktāARun rādiussCO1 . Loka krustpunkts ar rādiusa apliR3 noteiks punktu izvietojumuUZ1 UnUZ2 palīglīniju pieskaresPAR2 UZ1 UnPAR2 UZ2 .
PunktsA1 UnA2 R1 atrodas šī apļa krustpunktā ar segmentuPAR1 UZ1 UnPAR1 UZ2 . Lai definētu punktusIN 1UnAT 2vajadzīgo taisnu līniju ar rādiusa apli pieskaresR2 izriet no punktaO2atjaunot perpendikulu palīglīnijāmO2K1UnO2K2līdz tas krustojas ar doto apli. Ņemot pieskares punktus starp vēlamajām līnijām un dotajiem apļiem, mēs zīmējam taisnas līnijasA1B1UnA2B2.
Rīsi. 3.
Tiešs ( MN), kam ir tikai viens kopīgs punkts ar apli ( A), sauca pieskares uz apli.
Šajā gadījumā tiek saukts kopējais punkts saskarsmes punkts.
Esamības iespēja pieskares, un turklāt izvilkts caur jebkuru punktu aplis, kā pieskares punkts, tiek pierādīts šādi teorēma.
Lai tas ir jāizpilda aplis ar centru O pieskares caur punktu A. Lai to izdarītu no punkta A, kā no centra, mēs aprakstām loka rādiuss A.O., un no punkta O, kā centru, mēs krustojam šo loku punktos B Un AR kompasa risinājums, kas vienāds ar dotā apļa diametru.
Pēc tērēšanas tad akordi O.B. Un OS, savienojiet punktu A ar punktiem D Un E, kurā šie akordi krustojas ar doto apli. Tieša AD Un A.E. - apļa pieskares O. Patiešām, no konstrukcijas tas ir skaidrs trijstūri AOB Un AOC vienādsānu(AO = AB = AC) ar pamatnēm O.B. Un OS, vienāds ar apļa diametru O.
Jo O.D. Un O.E.- rādiusi, tad D - vidū O.B., A E- vidus OS, Līdzekļi AD Un A.E. - mediānas, kas novilkta uz vienādsānu trīsstūru pamatiem un tāpēc ir perpendikulāra šīm pamatnēm. Ja taisni D.A. Un E.A. perpendikulāri rādiusiem O.D. Un O.E., tad viņi - pieskares.
Sekas.
Divas pieskares, kas novilktas no viena punkta uz apli, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar taisni, kas savieno šo punktu ar centru.
Tātad AD=AE un ∠ OAD = ∠OAE jo taisnie trīsstūri AOD Un AOE, kam kopīgs hipotenūza A.O. un vienādi kājas O.D. Un O.E.(kā rādiusi), ir vienādi. Ņemiet vērā, ka šeit vārds "tangence" faktiski nozīmē " pieskares segments” no dotā punkta līdz saskares punktam.
Valsts budžeta izglītības iestāde
Ģimnāzija Nr.000
Projektēšanas darbi ģeometrijā.
Astoņi veidi, kā konstruēt apļa pieskari.
9 bioloģiski ķīmiskā klase
Zinātniskais direktors: ,
direktora vietnieks akadēmiskajos jautājumos,
matemātikas skolotājs.
Maskava 2012
Ievads
1. nodaļa ……………………………………………………………………………………4
Secinājums
Ievads
Gara augstākā izpausme ir prāts.
Saprāta augstākā izpausme ir ģeometrija.
Ģeometrijas šūna ir trīsstūris. Viņš arī
neizsmeļams, tāpat kā Visums. Aplis ir ģeometrijas dvēsele.
Ziniet apli, un jūs ne tikai zināt dvēseli
ģeometriju, bet arī paaugstina savu dvēseli.
Klaudijs Ptolemajs
Uzdevums.
Izveidojiet pieskares riņķa līniju ar centru O un rādiusu R, kas iet caur punktu A, kas atrodas ārpus apļa
1. nodaļa.
Riņķa pieskares konstruēšana, kas neprasa pamatojumu, pamatojoties uz paralēlo līniju teoriju.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO = 90°. Aplim (O; r) OB - rādiuss. OB AB, tāpēc AB ir tangenss atbilstoši pieskares īpašībai.
Tāpat maiņstrāva ir apļa pieskare.
Konstrukcija Nr.1 ir balstīta uz to, ka riņķa līnijas pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam.
Taisnei ir tikai viens saskares punkts ar apli.
Caur noteiktu punktu uz līnijas var novilkt tikai vienu perpendikulāru līniju.
Būvniecība Nr.2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°
5. OB – rādiuss, ABO = 90°, tāpēc AB pēc atribūta ir tangenss.
6. Līdzīgi vienādsānu trijstūrī AON AC ir tangenss (ACO = 90°, OS ir rādiuss)
7. Tātad AB un AC ir pieskares
Veidojums Nr.3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ORM = OVA = 90° (kā atbilstoši leņķi vienādos trīsstūros), tāpēc AB – pieskares pamatā ir tangenss.
4. Tāpat AC ir tangenss
Būvniecība №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Būvniecība Nr.6.
Būvniecība:
2. Novilkšu patvaļīgu taisni caur punktu A, kas krusto apli (O, r) punktos M un N.
6. AB un BC ir vajadzīgās pieskares.
Pierādījums:
1. Tā kā trijstūri PQN un PQM ir ierakstīti aplī un mala PQ ir apļa diametrs, tad šie trīsstūri ir taisnleņķi.
2. Trijstūrī PQL segmenti PM un QN ir augstumi, kas krustojas punktā K, tāpēc KL ir trešais augstums..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° — https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, pēc tam |AQ| |AS|ctg β Tāpēc |PA| : |AQ| = ctg α (2).
5. Salīdzinot (1) un (2), es iegūstu |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, vai
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
Pēc iekavu atvēršanas un vienkāršošanas es atklāju, ka |OD|·|OA|=R².
5. No attiecības |OD|·|OA|=R² izriet, ka |OD|:R=R: |OA|, tas ir, trīsstūri ODB un OBA ir līdzīgi..gif" width="17" height=" 16"> OBA = 90°. Tāpēc taisne AB ir vēlamā tangense, kas bija jāpierāda.
Būvniecība Nr.6. 
Būvniecība:
1. Konstruēšu apli (A; |OA|).
2. Atradīšu kompasa atvērumu, kas vienāds ar 2R, kuram izvēlēšos punktu S uz apļa (O; R) un uzzīmēšu trīs lokus, kas katrs satur 60º: SP=PQ=QT=60°. Punkti S un T ir diametrāli pretēji.
3. Es veidoju apli (O; ST), kas krustojas w 1 Kāds ir šis aplis? punktos M un N.
4. Tagad es izveidošu MO vidu. Lai to izdarītu, es konstruēju apļus (O; OM) un (M; MO), un tad punktiem M un O uz tiem atrodam diametrāli pretējus punktus U un V.
6. Beigās konstruēšu apli (K; KM) un (L; LM), kas krustojas vēlamajā punktā B - MO vidus.
Pierādījums:
Trijstūri KMV un UMK ir vienādsānu un līdzīgi. Tāpēc no tā, ka KM = 0,5 MU, izriet, ka MB = 0,5 MK = 0,5 R. Tātad punkts B ir vēlamais saskares punkts. Tāpat jūs varat atrast kontaktpunktu C.
3. nodaļa.
Riņķa pieskares konstruēšana, pamatojoties uz sekantu un bisektoru īpašībām.
Veidojums Nr.7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Veidojums Nr.8
Būvniecība:
1. Izveidojiet apli (A;AP), kas krusto taisni AP punktā D.
2. Izveidojiet apli w uz diametra QD
3. Krustošu to ar perpendikulāri taisnei AP punktā A un iegūšu punktus M un N.
Pierādījums:
Ir skaidrs, ka AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Tad aplis (A;AM) krustojas (O;R) pieskares punktos B un C. AB un AC ir vajadzīgās pieskares.
Nodarbības par programmu COMPASS.
Nodarbība #12. Apļu veidošana programmā Compass 3D.
Apļi, kas pieskaras līknēm, aplis, kura pamatā ir divi punkti.
Compass 3D ir vairāki veidi, kā konstruēt pieskares apļus:
- aplis, kas pieskaras 1. līknei;
- aplis pieskaras 2 līknēm;
- aplis pieskaras 3 līknēm;
Lai izveidotu apļa pieskares līknei, nospiediet pogu "Apļa pieskares 1 līknei" kompaktajā panelī vai augšējā izvēlnē nospiediet komandas secīgi "Rīki" - "Ģeometrija" - "Apļi" - "Apļa pieskares 1 līknei."
Izmantojot kursoru, vispirms norādām līkni, caur kuru izies aplis, pēc tam iestatām šī apļa 1. un 2. punktu (punktu koordinātas var ievadīt rekvizītu panelī).
Ekrānā tiks parādīti visu iespējamo apļa opciju fantomi. Izmantojot kursoru, atlasiet tos, kas mums nepieciešami, un labojiet tos, noklikšķinot uz pogas “Izveidot objektu”. Mēs pabeidzam būvniecību, noklikšķinot uz pogas “Pārtraukt komandu”.
Pirms otrā punkta noteikšanas rekvizītu paneļa attiecīgajā laukā varat ievadīt rādiusa vai diametra vērtību. Šāds aplis ne vienmēr tiks izveidots. Tas ir atkarīgs no dotā rādiusa vai diametra. Par būvniecības neiespējamību liecinās fantoma pazušana pēc rādiusa vērtības ievadīšanas.
Ja ir zināms apļa viduspunkts, to var iestatīt arī rekvizītu panelī.
Lai izveidotu riņķa līniju, kas pieskaras divām līknēm, nospiediet pogu "Apļa pieskares 2 līknēm" kompaktā panelī. Vai arī augšējā izvēlnē nospiediet komandas secīgi "Rīki" - "Ģeometrija" - "Apļi" - "Apļa pieskares 2 līknēm".
Izmantojot kursoru, mēs norādām objektus, kuriem aplim vajadzētu pieskarties. Ekrānā tiks parādīti visu iespējamo konstrukcijas variantu fantomi.
Ja ir zināma aplim piederošā punkta pozīcija, tad tā jānorāda, izmantojot kursoru, vai arī jāievada koordinātas rekvizītu panelī. Rekvizītu panelī varat ievadīt arī rādiusa vai diametra vērtības. Lai pabeigtu konstrukciju, atlasiet vajadzīgo fantomu un secīgi nospiediet pogas "Izveidot objektu" Un "Pārtraukt komandu".
Lai izveidotu riņķa līniju, kas pieskaras trim līknēm, nospiediet pogu "Apļa pieskares 3 līknēm" kompaktā panelī. Vai arī augšējā izvēlnē nospiediet komandas secīgi "Rīki" - "Ģeometrija" - "Apļi" - "Apļa pieskares 3 līknēm."
Konstrukcijas ir līdzīgas iepriekšējām, tāpēc dariet tās pats, rezultāts ir parādīts attēlā zemāk.