Mīnuss dalīts ar mīnusu dod. Negatīvo skaitļu atņemšana

1) Kāpēc mīnus viens reiz mīnus viens ir plus viens?
2) Kāpēc mīnus viens reiz plus viens ir mīnus viens?

"Mana ienaidnieka ienaidnieks ir mans draugs."

Vienkāršākā atbilde ir: "Jo šie ir noteikumi darbam ar negatīviem skaitļiem." Noteikumi, kurus mēs apgūstam skolā un piemērojam visu mūžu. Taču mācību grāmatās nav paskaidrots, kāpēc noteikumi ir tādi, kādi tie ir. Vispirms mēģināsim to saprast no aritmētikas attīstības vēstures, un tad atbildēsim uz šo jautājumu no mūsdienu matemātikas viedokļa.

Pirms seniem laikiem cilvēkiem bija zināmi tikai naturālie skaitļi: 1, 2, 3, ... Ar tiem skaitīja piederumus, laupījumu, ienaidniekus utt. Bet paši skaitļi ir diezgan bezjēdzīgi - jāprot rīkoties viņiem. Saskaitīšana ir skaidra un saprotama, turklāt divu naturālu skaitļu summa arī ir naturāls skaitlis (matemātiķis teiktu, ka saskaitīšanas operācijā naturālo skaitļu kopa ir slēgta). Reizināšana faktiski ir tā pati saskaitīšana, ja mēs runājam par naturāliem skaitļiem. Dzīvē mēs bieži veicam darbības, kas saistītas ar šīm divām darbībām (piemēram, iepērkoties, mēs saskaitām un reizinām), un ir dīvaini domāt, ka mūsu senči ar tām saskārās retāk - saskaitīšanu un reizināšanu cilvēce apguva ļoti ilgu laiku. pirms. Bieži vien ir nepieciešams dalīt vienu lielumu ar citu, bet šeit rezultāts ne vienmēr tiek izteikts kā naturāls skaitlis - tā parādījās daļskaitļi.

Atņemšana, protams, arī ir obligāta. Bet praksē mēs mēdzam atņemt mazāko skaitli no lielākā skaitļa, un nav nepieciešams izmantot negatīvus skaitļus. (Ja man ir 5 konfektes un es iedodu 3 māsai, tad man būs 5 - 3 = 2 konfektes, bet es nevaru viņai dot 7 konfektes ar visu savu vēlmi.) Tas var izskaidrot, kāpēc cilvēki neizmantoja negatīvus skaitļus ilgu laiku.

Negatīvie skaitļi parādās Indijas dokumentos no 7. gadsimta AD; Acīmredzot ķīnieši tos sāka lietot nedaudz agrāk. Tos izmantoja parādu uzskaitei vai starpaprēķinos, lai vienkāršotu vienādojumu atrisināšanu – tas bija tikai līdzeklis pozitīvas atbildes iegūšanai. Fakts, ka negatīvie skaitļi atšķirībā no pozitīvajiem neizsaka nevienas entītijas klātbūtni, izraisīja spēcīgu neuzticību. Cilvēki vārda tiešā nozīmē izvairījās no negatīviem skaitļiem: ja problēma saņēma negatīvu atbildi, viņi uzskatīja, ka atbildes nav vispār. Šī neuzticība saglabājās ļoti ilgu laiku, un pat Dekarts - viens no mūsdienu matemātikas "dibinātājiem" - nosauca tos par "viltus" (17. gadsimtā!).

Apsveriet, piemēram, vienādojumu 7x - 17 = 2x - 2. To var atrisināt šādi: pārvietojiet terminus ar nezināmo uz kreiso pusi, bet pārējos pa labi, izrādīsies 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Izmantojot šo risinājumu, mēs pat nesatikām negatīvus skaitļus.

Bet nejauši varētu rīkoties citādi: pārvietot terminus ar nezināmo uz labo pusi un iegūt 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5) x. Lai atrastu nezināmo, jums ir jādala viens negatīvs skaitlis ar citu: x = (–15)/(–5). Bet pareizā atbilde ir zināma, un tas atliek secināt (–15)/(–5) = 3 .

Ko parāda šis vienkāršais piemērs? Pirmkārt, kļūst skaidra loģika, kas noteica noteikumus darbībām ar negatīviem skaitļiem: šo darbību rezultātiem jāsakrīt ar atbildēm, kas iegūtas citādā veidā, bez negatīviem skaitļiem. Otrkārt, pieļaujot negatīvu skaitļu lietošanu, atbrīvojamies no apnicīgās (ja vienādojums izrādās sarežģītāks, ar lielu terminu skaitu) risinājuma ceļa meklējumiem, kurā visas darbības tiek veiktas tikai ar naturāliem skaitļiem. Turklāt mēs vairs nevaram katru reizi domāt par konvertējamo lielumu jēgpilnību - un tas jau ir solis ceļā uz matemātikas pārvēršanu abstraktā zinātnē.

Noteikumi darbībām ar negatīviem skaitļiem netika izveidoti uzreiz, bet kļuva par daudzu piemēru vispārinājumu, kas radās, risinot lietišķās problēmas. Kopumā matemātikas attīstību nosacīti var iedalīt posmos: katrs nākamais posms no iepriekšējā atšķiras ar jaunu abstrakcijas līmeni objektu izpētē. Tātad 19. gadsimtā matemātiķi saprata, ka veseliem skaitļiem un polinomiem, neskatoties uz to ārējām atšķirībām, ir daudz kopīga: abus var saskaitīt, atņemt un reizināt. Šīs darbības pakļaujas tiem pašiem likumiem – gan skaitļu gadījumā, gan polinomu gadījumā. Bet veselus skaitļus sadalīt savā starpā tā, lai rezultāts atkal būtu veseli skaitļi, ne vienmēr ir iespējams. Tas pats attiecas uz polinomiem.

Tad tika atklātas citas matemātisko objektu kolekcijas, uz kurām var veikt šādas darbības: formālas pakāpju rindas, nepārtrauktas funkcijas... Beidzot radās izpratne, ka, ja pēta pašu darbību īpašības, tad rezultātus var attiecināt uz visām šīm darbībām. priekšmetu kolekcijas (šī pieeja ir raksturīga visai mūsdienu matemātikai).

Tā rezultātā parādījās jauna koncepcija: gredzens. Tas ir tikai elementu kopums, kā arī darbības, ko ar tiem var veikt. Pamatnoteikumi šeit ir tikai noteikumi (tos sauc aksiomas), kam ir pakļautas darbības, nevis kopas elementu raksturs (šeit tas ir, jauns abstrakcijas līmenis!). Vēloties uzsvērt, ka svarīga ir struktūra, kas rodas pēc aksiomu ieviešanas, matemātiķi saka: veselu skaitļu gredzens, polinomu gredzens utt. Sākot no aksiomām, var atvasināt citas gredzenu īpašības.

Mēs formulēsim gredzena aksiomas (kas, protams, ir līdzīgas noteikumiem par darbībām ar veseliem skaitļiem), un tad pierādīsim, ka jebkurā gredzenā mīnusu reizinot ar mīnusu, tiek iegūts pluss.

gredzens ir kopa ar divām binārām operācijām (tas ir, katrā darbībā ir iesaistīti divi gredzena elementi), ko tradicionāli sauc par saskaitīšanu un reizināšanu, un šādām aksiomām:

gredzena elementu pievienošana pakļaujas komutatīvai ( A + B = B + A jebkuriem elementiem A Un B) un asociatīvais ( A + (B + C) = (A + B) + C) likumi; gredzens satur īpašu elementu 0 (neitrāls elements pēc pievienošanas), lai A + 0 = A, un jebkuram elementam A ir pretējs elements (apzīmēts (–A)), Kas A + (–A) = 0 ;
reizināšana atbilst kombinācijas likumam: A (B C) = (A B) C ;
saskaitīšanu un reizināšanu saista šādi iekavu paplašināšanas noteikumi: (A + B) C = A C + B C Un A (B + C) = A B + A C .

Ņemiet vērā, ka gredzeniem visvispārīgākajā konstrukcijā nav nepieciešams, lai reizināšana būtu maināma, ne arī tas nav apgriežams (tas ir, ne vienmēr ir iespējams dalīt), ne arī vienības esamība - neitrāls elements attiecībā uz reizināšanu. Ja šīs aksiomas tiek ieviestas, tad iegūst citas algebriskas struktūras, bet tajās būs patiesas visas gredzeniem pierādītās teorēmas.

Tagad mēs to pierādīsim jebkuram elementam A Un B patvaļīgs gredzens ir patiess, pirmkārt, (–A) B = –(AB), un, otrkārt (–(–A)) = A. No tā viegli izriet paziņojumi par vienībām: (–1) 1 = – (1 1) = –1 Un (–1) (–1) = – ((–1) 1) = – (–1) = 1 .

Lai to izdarītu, mums ir jānosaka daži fakti. Vispirms pierāda, ka katram elementam var būt tikai viens pretstats. Patiešām, ļaujiet elementam A ir divi pretstati: B Un AR. Tas ir A + B = 0 = A + C. Apsveriet summu A+B+C. Izmantojot asociatīvos un komutatīvos likumus un nulles īpašību, mēs iegūstam, ka, no vienas puses, summa ir vienāda ar B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, un, no otras puses, tas ir vienāds ar C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. nozīmē, B=C .

Ļaujiet mums tagad to atzīmēt A, Un (–(–A)) ir pretēji tam pašam elementam (–A), tāpēc tiem jābūt vienādiem.

Pirmais fakts ir šāds: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tas ir (–A) B pretī A B, tātad tas ir vienāds ar – (A B) .

Lai būtu matemātiski precīzi, paskaidrosim, kāpēc 0 B = 0 jebkuram elementam B. Patiešām, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Tas ir, papildinājums 0 B summu nemaina. Tātad šis produkts ir vienāds ar nulli.

Un to, ka gredzenā ir tieši viena nulle (galu galā aksiomas saka, ka šāds elements pastāv, bet nekas nav teikts par tā unikalitāti!), mēs atstāsim lasītāja ziņā kā vienkāršu vingrinājumu.

Atbildēja: Jevgeņijs Epifanovs

Rādīt komentārus (37)

Sakļaut komentārus (37)

Laba atbilde. Bet vidusskolas pirmkursnieka līmenim. Man šķiet, ka to var izskaidrot vienkāršāk un skaidrāk, izmantojot piemēru ar formulu "attālums = ātrums * laiks" (2. klase).

Pieņemsim, ka ejam pa ceļu, mūs apdzen mašīna un sāk attālināties. Laiks aug – un attālums līdz tam pieaug. Šādas mašīnas ātrums tiks uzskatīts par pozitīvu, tas var būt, piemēram, 10 metri sekundē. Starp citu, cik jūdžu stundā tas ir? 10/1000(km)*60(s)*60(min)= 10*3,6=36 km/h. Mazliet. Varbūt ceļš ir slikts...

Bet pretim braucošā mašīna nevis attālinās, bet tuvojas. Tāpēc ir ērti uzskatīt tā ātrumu kā negatīvu. Piemēram -10 m/sek. Attālums samazinās: 30, 20, 10 metri līdz pretim braucošajai automašīnai. Katra sekunde ir mīnus 10 metri. Tagad skaidrs, kāpēc ātrums ar mīnusu? Šeit viņa lido garām. Kāds ir tā attālums sekundē? Tieši tā, -10 metri, t.i. "10 metrus aiz muguras."

Šeit mums ir pirmais paziņojums. (-10 m/s) * (1 s) = -10 m.
Mīnuss (negatīvs ātrums) reizes plus (pozitīvs laiks) deva mīnusu (negatīvs attālums, mašīna aiz manis).

Un tagad uzmanība - mīnuss mīnusam. Kur bija pretimbraucošā automašīna sekundi PIRMS tā pabrauca garām? (-10 m/s) * (- 1 sek) = 10 m.
Mīnuss (negatīvs ātrums) reiz mīnuss (negatīvs laiks) = plus (pozitīvs attālums, automašīna bija 10 metrus man priekšā).

Vai tas ir skaidrs, vai kāds zina vēl vienkāršāku piemēru?

Atbilde

Jā, to ir vieglāk pierādīt! 5 * 2 ir divreiz atlikts skaitļu rindā, in pozitīvā puse, skaitlis 5, un tad mēs iegūstam skaitli 10. ja 2 * (-5), tad mēs saskaitām divreiz ar skaitli 5, bet jau negatīvā virzienā, un iegūstam skaitli (-10), tagad iedomājieties 2 * (-5), kā
2 * 5 * (-1) \u003d -10, atbilde tiek pārrakstīta no iepriekšējā aprēķina un nav iegūta šajā, tāpēc mēs varam teikt, ka, reizinot skaitli ar (-1), notiek aprēķina inversija. skaitliskās divas polārās asis, t.i. polaritātes maiņa. Tas, ko mēs nolikām malā pozitīvajā daļā, kļuva negatīvs un otrādi. Tagad (-2)*(-5) mēs to rakstām kā (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), atstājot malā skaitli (-10) un mainot polaritāti. no ass, jo . reizinot ar (-1), mēs iegūstam +10, es nezinu, vai tas bija vieglāk?

Atbilde

Es domāju, ka jums ir taisnība. Es tikai centīšos detalizētāk parādīt jūsu viedokli, jo. Redzu, ka ne visi to saprot.
Mīnuss nozīmē atņemt. Ja tev 1 reizi paņēma 5 ābolus, tad beigās tev paņēma 5 ābolus, ko nosacīti norāda ar mīnusu, t.i. - (+5). Galu galā darbība ir kaut kā jānorāda. Ja 5 reizes izvēlējās 1 ābolu, tad beigās arī izvēlējās: - (+5). Tajā pašā laikā izvēlētie āboli nekļuva iedomāti, jo neviens neatcēla matērijas saglabāšanas likumu. Pozitīvie āboli vienkārši nonāca pie tā, kurš tos savāca. Tātad nav iedomātu skaitļu, ir relatīva matērijas kustība ar zīmi + vai -. Bet, ja tā, tad ieraksts: (-5) * (+1) \u003d -5 vai (+5) * (-1) \u003d -5 precīzi neatspoguļo realitāti, bet apzīmē to tikai nosacīti. Tā kā nav iedomātu skaitļu, viss produkts vienmēr ir pozitīvs → "+" (5 * 1). Pēc tam pozitīvais produkts tiek noliegts, kas nozīmē atšķiršanu → “- +” (5 * 1). Šeit mīnuss nevis kompensē plusu, bet gan to noliedz un ieņem tā vietu. Tad beigās iegūstam: -(5*1) = -(+5).
Par diviem mīnusiem varat rakstīt: "- -" (5 * 1) \u003d 5. Zīme "- -" nozīmē "+", t.i. atsavinātāju atsavināšana. Pirmkārt, ābolus atņēma jums, un tad jūs tos paņēmāt no sava varmākas. Rezultātā visi āboli palika pozitīvi, tikai selekcija nenotika, jo. gadā notika sociālā revolūcija.
Vispārīgi runājot, tas, ka noliegums izslēdz negāciju un visu, uz ko noliegums attiecas uz bērniem, ir saprotams un bez paskaidrojumiem, jo. Tas ir acīmredzams. Bērniem tikai jāpaskaidro, ka pieaugušie mākslīgi sajaukti, tik ļoti, ka tagad viņi paši to nevar izdomāt. Un apjukums slēpjas tajā, ka darbības noliegšanas vietā tika ieviesti negatīvi skaitļi, t.i. negatīva lieta. Tāpēc bērni ir neizpratnē, kāpēc, pievienojot negatīvo matēriju, summa izrādās negatīva, kas ir diezgan loģiski: (-5) + (-3) = -8, un, reizinot to pašu negatīvo matēriju: (-5) * (-3) = 15 , tas pēkšņi beigās kļūst pozitīvs, kas nav loģiski! Galu galā ar negatīvo vielu jānotiek tam pašam, kas ar pozitīvo vielu, tikai ar citu zīmi. Tāpēc bērniem loģiskāk šķiet, ka, pavairojot negatīvo matēriju, jāreizina tieši negatīvā matērija.
Bet arī šeit ne viss ir gludi, jo, lai pavairotu negatīvo matēriju, pietiek ar to, ka tikai viens skaitlis ir ar mīnusu. Tajā pašā laikā viens no faktoriem, kas apzīmē nevis reālu saturu, bet izvēlētās matērijas atkārtošanās laikus, vienmēr ir pozitīvs, jo laiki nevar būt negatīvi pat tad, ja atkārtojas negatīva (izvēlēta) matērija. Tāpēc, reizinot (dalot), pareizāk ir likt zīmes visa produkta (dalīšanas) priekšā, ko mēs parādījām iepriekš: “- +” (5*1) vai “- -” (5*1).
Un lai mīnusa zīme tiktu uztverta nevis kā iedomāta skaitļa zīme, t.i. negatīva viela, bet kā darbība pieaugušajiem vispirms savā starpā jāvienojas, ka, ja mīnusa zīme atrodas skaitļa priekšā, tad tā apzīmē negatīvu darbību ar skaitli, kas vienmēr ir pozitīvs, nevis iedomāts. Ja mīnusa zīme atrodas citas zīmes priekšā, tad tā apzīmē negatīvu darbību ar pirmo zīmi, t.i. apvērš to. Tad viss nostāsies savās vietās dabiski. Tad jums tas ir jāpaskaidro bērniem, un viņi lieliski sapratīs un iemācīsies šādu saprotamu pieaugušo likumu. Galu galā tagad visi pieaugušie diskusijas dalībnieki patiesībā cenšas izskaidrot neizskaidrojamo, jo šim jautājumam nav fiziska izskaidrojuma, tā ir tikai vienošanās, noteikums. Un izskaidrot abstrakciju ar abstrakciju ir tautoloģija.
Ja mīnusa zīme noliedz skaitli, tad tā ir fiziska darbība, bet, ja tā noliedz pašu darbību, tad tas ir tikai nosacīts noteikums. Tas ir, pieaugušie vienkārši vienojās, ka, ja atlase tiek liegta, kā izskatāmajā jautājumā, tad atlases nav, lai cik reizes! Tajā pašā laikā viss, kas jums bija, paliek pie jums, vai tas ir tikai skaitlis, vai tas ir skaitļu reizinājums, t.i. daudzi atlases mēģinājumi. Tas ir viss.
Ja kāds nepiekrīt, tad padomā vēlreiz mierīgi. Galu galā piemērs ar automašīnām, kurās sekundi pirms sanāksmes ir negatīvs ātrums un negatīvs laiks, ir tikai nosacīts noteikums, kas saistīts ar atskaites sistēmu. Citā atskaites sistēmā tas pats ātrums un laiks kļūs pozitīvs. Un piemērs ar skata stiklu ir saistīts ar pasakaino likumu, kurā mīnuss, kas atspoguļots spogulī tikai nosacīti, bet nebūt ne fiziski, kļūst par plusu.

Atbilde

Ar matemātiskiem mīnusiem viss šķiet skaidrs. Bet valodā, kad jautājums tiek uzdots ar noliegumu, kā uz to atbildēt? Šeit, piemēram, mani vienmēr mulsināja šāds jautājums: "Vai jūs vēlētos tēju?" Kā uz to atbildēt, ja gribu tēju? Šķiet, ja saki "Jā", tad tēju nedos (tas ir kā + un -), ja nē, tad jādod (- un -), un ja "nē, es negribu" ?? ?

Atbilde

Lai atbildētu uz tik bērnišķīgu jautājumu, vispirms jāatbild uz pāris pieaugušo jautājumiem: "Kas ir mīnuss matemātikā?" un "Kas ir reizināšana un dalīšana?". Cik saprotu, te sākas problēmas, kas galu galā noved pie gredzeniem un citām blēņām, atbildot uz tik vienkāršu bērnišķīgu jautājumu.

Atbilde

Atbilde viennozīmīgi nav paredzēta parastajiem skolniekiem!
Pamatskolā es lasīju brīnišķīgu grāmatu - to par Rūķīti un Al-Jebru, vai varbūt viņi sniedza piemēru matemātikas aplī - viņi nolika divus cilvēkus vienādības zīmes pretējās pusēs ar dažādu krāsu āboliem un piedāvāja dot āboli viens otram. Tad starp spēles dalībniekiem tika izvietotas citas zīmes - plus, mīnuss, vairāk, mazāk.

Atbilde

Bērnišķīga atbilde, vai??))
Varbūt izklausās nežēlīgi, bet pats autors nesaprot, kāpēc mīnuss ar mīnusu dod plusu :-)
Visu pasaulē var izskaidrot vizuāli, jo abstrakcijas ir vajadzīgas tikai, lai izskaidrotu pasauli. Viņi ir piesaistīti realitātei un nedzīvo paši par sevi maldu mācību grāmatās.
Lai gan skaidrojumam ir jāzina vismaz fizika un reizēm bioloģija kopā ar cilvēka neirofizioloģijas pamatiem.

Bet tomēr pirmā daļa deva cerību saprast un ļoti skaidri izskaidroja negatīvo skaitļu nepieciešamību.
Bet otrais tradicionāli pārcēlās uz šizofrēniju. A un B ir jābūt reāliem objektiem! tad kāpēc tos saukt par šiem burtiem, ja var paņemt, piemēram, maizes klaipus vai ābolus
Ja .. ja tas būtu iespējams ... jā?))))))

Un ... pat izmantojot pareizo bāzi no pirmās daļas (tas reizinājums ir tas pats saskaitījums) - ar mīnusiem tiek iegūta pretruna))
-2 + -2 = -4
Bet
-2 * -2 =+4))))
un pat ja mēs pieņemam, ka tas ir mīnus divi, ņemts mīnus divas reizes, tas izrādīsies
-2 -(-2) -(-2) = +2

Bija vērts vienkārši atzīt, ka, tā kā skaitļi ir virtuāli, tad salīdzinoši pareizai uzskaitei bija jāizdomā virtuālie noteikumi.
Un tā būtu PATIESĪBA, nevis apburtas muļķības.

Atbilde

Savā piemērā Academon pieļāva kļūdu:
Faktiski (-2)+(-2) = (-4) ir 2 reizes (-2), t.i. (-2) * 2 = (-4).
Kas attiecas uz divu negatīvu skaitļu reizināšanu, bez pretrunām, tas ir tas pats saskaitījums, tikai skaitļa līnijas "0" otrā pusē. Proti:
(-2) * (-2) = 0 -(-2) -(-2) = 2 + 2 = 4. Tātad tas viss summējas.
Kas attiecas uz negatīvo skaitļu realitāti, kā jums patīk šis piemērs?
Ja man kabatā ir, piemēram, 1000 USD, manu noskaņojumu var saukt par “pozitīvu”.
Ja attiecīgi 0$, stāvoklis būs "nav".
Un ja (-1000)$ ir parāds, kas jāatmaksā, bet naudas nav...?

Atbilde

Mīnuss līdz mīnusam - vienmēr būs pluss,
Kāpēc tas notiek - es nevaru pateikt.

Kāpēc -on-=+ mani mulsināja pat skolā, 7. klasē (1961). Es mēģināju izdomāt citu, "godīgāku" algebru, kur + uz + = + un - uz - = -. Tāpēc es domāju, ka tas būtu godīgāk. Bet kā tad būt ar + on- un -on +? Es negribēju zaudēt xy=yx komutativitāti, pretējā gadījumā tas nedarbosies.
Bet ko darīt, ja mēs ņemam nevis 2 rakstzīmes, bet trīs, piemēram, +, - un *. Vienlīdzīgs un simetrisks.

PAPILDINĀJUMS
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) nesaskaitās(!), tāpat kā kompleksā skaitļa reālās un iedomātās daļas.
Bet par to (+a)+(-a)+(*a)=0.

Piemēram, kas ir (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Tas nav viegli, bet pie tā var pierast.

Tagad REIZINĀŠANA.
Mēs postulējam:
+ieslēgts+=+ -on-=- *ieslēgts*=* (vai ne?)
+on-=-on+=* +on*=*on+=- -on*=*on-=+ (godīgi!)
Šķiet, ka viss ir kārtībā, bet reizināšana nav asociatīva, t.i.
a(bc) nav vienāds ar (ab)c.

Un ja tā
+ieslēgts+=+ -ieslēgts-=* *ieslēgts*=-
+ieslēgts-=-ieslēgts+=- +ieslēgts*=*ieslēgts+=* -ieslēgts*=*ieslēgts-=+
Atkal negodīgi, + izcelts kā īpašs. BET dzima JAUNA ALGEBRA ar trim zīmēm. Komutatīvais, asociatīvais un sadalošais. Viņai ir ģeometriska interpretācija. Tas ir izomorfs kompleksajiem skaitļiem. To var vēl paplašināt: četras rakstzīmes, piecas...
Tas agrāk nav noticis. Ņemiet to, cilvēki, izmantojiet to.

Atbilde

Bērna jautājums parasti ir bērna atbilde.
Ir mūsu pasaule, kurā viss ir "plus": āboli, rotaļlietas, kaķi un suņi, tie ir īsti. Jūs varat ēst ābolu, jūs varat samīļot kaķi. Un ir arī izdomāta pasaule, caur skatu stiklu. Ir arī spoguļveidīgi āboli un rotaļlietas, mēs tos varam iedomāties, bet nevaram pieskarties - tās ir izdomātas. Mēs varam nokļūt no vienas pasaules uz otru ar mīnusa zīmes palīdzību. Ja mums ir divi īsti āboli (2 āboli), un mēs ieliekam mīnusa zīmi (-2 āboli) - mēs iegūstam divus izdomātus ābolus skata stiklā. Mīnusa zīme ved mūs no vienas pasaules uz otru, uz priekšu un atpakaļ. Mūsu pasaulē nav spoguļābolu. Varam iedomāties veselu kaudzi, pat miljonu (mīnus miljons ābolu). Vienkārši jūs tos nevarēsiet ēst, jo mums nav mīnus ābolu, visi āboli mūsu veikalos ir plus āboli.
Pavairot nozīmē sakārtot dažus objektus taisnstūra formā. Ņemsim divus punktus ":" un reizinot tos ar trīs, iegūstam: ": : :" - kopā sešus punktus. Var paņemt īstu ābolu (+I) un reizināt ar trīs, iegūstam: "+ЯЯЯ" - trīs īstus ābolus.
Tagad reiziniet ābolu ar mīnus trīs. Mēs atkal iegūsim trīs ābolus "+ЯЯЯ", bet mīnusa zīme mūs izvedīs caur skata stiklu, un mums būs trīs spoguļāboli (mīnus trīs āboli -ЯЯЯ).
Un tagad reiziniet mīnus ābolu (-I) ar mīnus trīs. Tas ir, mēs ņemam ābolu, un, ja tā priekšā ir mīnuss, mēs to pārnesam uz skata stiklu. Tur mēs to reizinām ar trīs. Tagad mums ir trīs spoguļāboli! Bet ir vēl viens mīnuss. Viņš pārvietos saņemtos ābolus atpakaļ uz mūsu pasauli. Rezultātā mēs iegūstam trīs patiesi garšīgus ābolus + YYYY, kurus varat apēst.

Atbilde

Viss ir kārtībā līdz pēdējam solim. Reizinot trīs spoguļābolus ar mīnus vienu, mums šie āboli jāatspoguļo vēl vienā spogulī. Pēc atrašanās vietas tie sakritīs ar īstajiem, taču būs tikpat iedomāti kā pirmie spoguļi un tikpat neēdami. Tas ir, (-1)*(-1)= -1<> 1.
Patiesībā mani mulsina vēl viens punkts, kas saistīts ar negatīvo skaitļu reizināšanu, proti:
Vai vienādojums ir patiess:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Šis jautājums radās, mēģinot izprast funkcijas y=x^n grafika uzvedību, kur x un n ir reāli skaitļi.
Izrādās, ka funkcijas grafiks vienmēr atradīsies 1. un 3. ceturksnī, izņemot tos gadījumus, kad n ir pāra. Šajā gadījumā mainās tikai grafikas izliekums. Bet n paritāte ir relatīva vērtība, jo mēs varam ņemt citu atskaites sistēmu, kurā n = 1,1 * k, tad mēs iegūstam
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
un paritāte šeit būs atšķirīga ...
Un papildus es ierosinu argumentam pievienot to, kas notiek ar funkcijas y = x^(1/n) grafiku. Es ne velti pieņemu, ka funkcijas grafikam ir jābūt simetriskam grafikam y = x^n attiecībā pret funkcijas y = x grafiku.

Atbilde

Ir vairāki veidi, kā izskaidrot noteikumu "mīnus reizes mīnuss ir pluss". Šeit ir vienkāršākais. Reizināšana pēc būtības. skaitlis n ir segmenta (atrodas uz skaitļa ass) stiepšanās n reizes. Reizināšana ar -1 ir segmenta atspoguļojums attiecībā uz izcelsmi. Šī metode ir piemērota kā īsākais skaidrojums, kāpēc (-1)*(-1) = +1. Šīs pieejas vājā vieta ir tāda, ka jums joprojām ir atsevišķi jānosaka šādu operatoru summa.

Atbilde

Var iet, skaidrojot no kompleksajiem skaitļiem
kā vispārīgāku skaitļu attēlošanas veidu
Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma
Eilera formula
Šajā gadījumā zīme ir tikai arguments (rotācijas leņķis)
Reizinot, leņķi summējas
0 grādi atbilst +
180 grādi atbilst -
Reizināšana – ar – ir ekvivalenta 180+180=360=0

Atbilde

Vai šis rullēs?

Negatīvie ir pretēji. Vienkāršības labad, lai uz laiku attālinātos no mīnusiem, aizstāsim apgalvojumus un padarīsim sākuma punktu lielāku. Sāksim skaitīt nevis no nulles, bet no 1000.

Pieņemsim, ka divi cilvēki man ir parādā katrs divus rubļus: 2_personas * 2_rubļi \u003d 4_rubļi man ir parādā kopā. (mans atlikums ir 1004)

Tagad apgrieztie (negatīvi skaitļi, bet apgriezti/pozitīvi apgalvojumi):

mīnus 2 cilvēki = tātad viņi man nav parādā, bet es esmu parādā (es esmu parādā vairāk cilvēkiem, nekā esmu parādā). Piemēram, es esmu parādā 10 cilvēkiem, un man ir tikai 8. Savstarpējos norēķinus var samazināt un ignorēt, bet jūs varat to paturēt prātā, ja ir ērtāk strādāt ar pozitīviem skaitļiem. Tas ir, visi dod naudu viens otram.

mīnus 2 rubļi = līdzīgs princips - jāņem vairāk nekā dod. Tāpēc es visiem esmu parādā divus rubļus.

-(2_persons)*2_rubles=Es_parādu_katram_by_2=-4 man. Mans atlikums ir 996 rubļi.

2_cilvēki*(-2_rubļi)=diviem_jāņem_2_rubļi_no manis=- 4 no manis. Mans atlikums ir 996 rubļi.

-(2_personas)*(-2_rubļi)= katram_jāņem_no manis_mazāk_nekā_jādod_2_rubļi

Vispār, ja iedomājamies, ka viss griežas nevis ap 0, bet ap, piemēram, 1000, bet naudu izdod pa 10, atņem pie 8. Tad secīgi veicot visas naudas izsniegšanas vai paņemšanas operācijas kādam prom, nāc pie secinājuma, ka, ja divi lieki (pārējo samazināsim ar ieskaitu) no manis paņems par diviem rubļiem mazāk nekā atdos, tad mana labklājība paaugstināsies par pozitīvu skaitli 4.

Atbilde

Meklējot VIENKĀRŠU (bērnam saprotamu) atbildi uz uzdoto jautājumu ("Kāpēc mīnuss ar mīnusu dod plusu"), cītīgi izlasīju gan autores piedāvāto rakstu, gan visus komentārus. Par veiksmīgāko atbildi uzskatu epigrāfā: "Mana ienaidnieka ienaidnieks ir mans draugs." Cik daudz skaidrāk! Vienkārši un izcili!

Kāds ceļotājs ierodas uz salas, par kuras iedzīvotājiem viņš zina tikai vienu: daži stāsta tikai patiesību, citi tikai melo. Ārēji tos nav iespējams atšķirt. Ceļotājs nolaidās krastā un redz ceļu. Viņš vēlas zināt, vai šis ceļš ved uz pilsētu. Ieraugot uz ceļa kādu vietējo iedzīvotāju, viņš viņam uzdod TIKAI VIENU jautājumu, ļaujot uzzināt, ka ceļš ved uz pilsētu. Kā viņš par to jautāja?

Risinājums ir trīs rindiņas uz leju (lai tikai pauzētu un dotu jums pieaugušajiem iespēju apstāties un padomāt par šo brīnišķīgo problēmu!) Mans trešās klases mazdēls joprojām ir pārāk grūts, lai risinātu šo problēmu, taču atbildes izpratne, bez šaubām, viņu ir pietuvinājusi. izprotot gaidāmās matemātikas problēmas. Tādas viltības kā "mīnus reizes mīnus dod plusu".

Tātad atbilde ir:

"Ja es jums jautātu, vai šis ceļš ved uz pilsētu, ko jūs man atbildētu?"

"Algebriskais" skaidrojums nespēja satricināt ne manu dedzīgo mīlestību pret savu tēvu, ne manu dziļo cieņu pret viņa zinātni. Bet es uz visiem laikiem ienīdu aksiomātisko metodi ar tās nemotivētajām definīcijām.

Interesanti, ka šī I.V.Arnolda atbilde uz bērnu jautājumu praktiski sakrita laikā ar viņa grāmatas "Negatīvie skaitļi algebras gaitā" izdošanu. Tur (7.nodaļā) ir sniegta pavisam cita atbilde, manuprāt, ļoti aprakstoša. Grāmata pieejama plkst elektroniskā formātā http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Atbilde

Ja ir paradokss, jāmeklē kļūdas pamatos. Reizināšanas formulējumā ir trīs kļūdas. Lūk, no kurienes nāk "paradokss". Jums vienkārši jāpievieno nulle.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Reizināšana ir atkārtota nulles pievienošana (vai atņemšana no nulles).

Reizinātājs (4) parāda saskaitīšanas vai atņemšanas darbību skaitu ("mīnus" vai "plus" zīmju skaitu, sadalot reizināšanu ar saskaitīšanu).

Zīmes "mīnus" un "pluss" pie faktora (4) nosaka vai nu reizinātāju atņemt no nulles, vai arī reizinātāju pievienot nullei.

Konkrēti, šajā piemērā (-4) nosaka no nulles atņemt ("-") reizinātāju (-3) četras reizes (4).

Izlabojiet formulējumu (trīs loģikas kļūdas). Vienkārši pievienojiet nulli. Aritmētikas noteikumi no tā nemainīsies.

Vairāk par šo tēmu šeit:

http://mnemonikon.ru/different_pub_28.htm

Kāds ir ieradums mehāniski ticēt mācību grāmatām? Jums arī jābūt savām smadzenēm. It īpaši, ja ir paradoksi, balti plankumi, acīmredzamas pretrunas. Tas viss ir teorētisko kļūdu rezultāts.

Divu negatīvu skaitļu reizinājumu nav iespējams sadalīt terminos saskaņā ar pašreizējo reizināšanas formulējumu (bez nulles). Vai tas nevienu netraucē?

Kas tas par reizināšanas formulējumu, pēc kura nav iespējams veikt reizināšanu? :)

Problēma ir arī tīri psiholoģiska. Akla uzticēšanās autoritātēm, nevēlēšanās domāt pašiem. Ja mācību grāmatās tā teikts, ja skolā tā māca, tad tā ir galīgā patiesība. Viss mainās, arī zinātne. Citādi nebūtu civilizācijas attīstības.

Izlabo reizināšanas formulējumu visās mācību grāmatās! Aritmētikas noteikumi no tā nemainīsies.

Turklāt, kā izriet no raksta, kas ir saistīts iepriekš, labotais reizināšanas formulējums kļūs līdzīgs skaitļa paaugstināšanas pakāpē formulējumam. Arī tur viņi nepieraksta vienību, kad tiek pacelta uz pozitīvu jaudu. Tomēr viens tiek rakstīts, paaugstinot skaitli negatīvā pakāpē.

Matemātikas kungs, jūsu māte, jums vienmēr jāraksta nulle un viens, pat ja rezultāts nemainās no viņu prombūtnes.

Saīsināto ierakstu nozīme mainās (vai pat pazūd). Un skolēniem ir problēmas ar izpratni.

Atbilde

Uzraksti komentāru

Vai pareizi saprotam reizināšanu?

"- A un B sēdēja uz caurules. A nokrita, B pazuda, kas palika uz caurules?
"Jūsu vēstule I paliek."

(No filmas "Jaunieši Visumā")

Kāpēc, reizinot skaitli ar nulli, tiek iegūta nulle?

7 * 0 = 0

Kāpēc, reizinot divus negatīvus skaitļus, tiek iegūts pozitīvs skaitlis?

7 * (-3) = + 21

Ko skolotāji vienkārši neizdomā, lai sniegtu atbildes uz šiem diviem jautājumiem.

Bet nevienam nav drosmes atzīt, ka reizināšanas formulējumā ir trīs semantiskās kļūdas!

Vai aritmētikas pamatos ir kļūdas? Galu galā matemātika sevi pozicionē kā eksakto zinātni ...

Skolas matemātikas mācību grāmatas nesniedz atbildes uz šiem jautājumiem, skaidrojumus aizstājot ar noteikumu kopumu, kas jāatceras. Varbūt viņiem šo tēmu ir grūti izskaidrot vidusskolā? Mēģināsim izprast šos jautājumus.

7 - reizinātājs. 3 ir reizinātājs. 21 - darbs.

Saskaņā ar oficiālo formulējumu:

reizināt skaitli ar citu skaitli nozīmē pievienot tik daudz reizinātāju, cik reizinātājs nosaka.

Saskaņā ar pieņemto formulējumu koeficients 3 norāda, ka vienādības labajā pusē jābūt trim septiņiem.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Taču šis reizināšanas formulējums nevar izskaidrot iepriekš uzdotos jautājumus.

Labosim reizināšanas formulējumu

Parasti matemātikā daudz kas ir domāts, bet tas nav pateikts vai pierakstīts.

Tas attiecas uz plus zīmi, kas atrodas pirms septiņiem vienādības labajā pusē. Pierakstīsim šo.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Bet kam pieskaitītas pirmās septiņas. Tas nozīmē, ka, protams, līdz nullei. Rakstām nulli.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Ko darīt, ja mēs reizinām ar trīs mīnus septiņi?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Mēs rakstām reizinātāja -7 pievienošanu, faktiski mēs veicam daudzkārtēju atņemšanu no nulles. Paplašināsim iekavas.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Tagad mēs varam sniegt rafinētu reizināšanas formulējumu.

Reizināšana ir atkārtota reizinātāja (-7) nulles saskaitīšana (vai atņemšana no nulles) tik reižu, cik reizinātājs norāda. Koeficients (3) un tā zīme (+ vai -) norāda darbību skaitu, kas jāpieskaita nullei vai jāatņem no nulles.

Saskaņā ar šo precizēto un nedaudz modificēto reizināšanas formulējumu ir viegli izskaidroti "zīmju noteikumi" reizināšanai, ja reizinātājs ir negatīvs.

7 * (-3) - aiz nulles ir jābūt trim mīnus zīmēm = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - atkal ir jābūt trim mīnus zīmēm aiz nulles =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Reizināšana ar nulli

7 * 0 = 0 + ... bez nulles pievienošanas operācijām.

Ja reizināšana tiek pievienota nullei un reizinātājs parāda darbību skaitu, kas jāpievieno nullei, tad nulles reizinātājs parāda, ka nullei nekas netiek pievienots. Tāpēc tā paliek nulle.

Tātad esošajā reizināšanas formulējumā mēs atradām trīs semantiskās kļūdas, kas bloķē izpratni par diviem "zīmju likumiem" (kad reizinātājs ir negatīvs) un skaitļa reizināšanu ar nulli.

Ir nepieciešams nevis pievienot reizinātāju, bet pievienot to nullei.
Reizināšana ir ne tikai saskaitīšana ar nulli, bet arī atņemšana no nulles.
Reizinātājs un tā zīme parāda nevis vārdu skaitu, bet plusa vai mīnusa zīmju skaitu, sadalot reizināšanu terminos (vai atņemot).

Nedaudz precizējot formulējumu, mums izdevās izskaidrot zīmju reizināšanas un skaitļa reizināšanas ar nulli noteikumus bez reizināšanas komutatīva likuma, bez sadales likuma, neizmantojot analoģijas ar skaitļa līniju, bez vienādojumiem, bez pierādījumiem par pretējo utt.

Zīmju noteikumi saskaņā ar rafinētu reizināšanas formulējumu ir atvasināti ļoti vienkārši.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Reizinātājs un tā zīme (+3 vai -3) norāda "+" vai "-" zīmju skaitu vienādojuma labajā pusē.

Modificētais reizināšanas formulējums atbilst skaitļa paaugstināšanas darbībai pakāpē.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (viens netiek reizināts vai dalīts ar neko, tāpēc tas paliek viens)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matemātiķi ir vienisprātis, ka skaitļa paaugstināšana līdz pozitīvam pakāpēm ir vienreizēja reizināšana. Un skaitļa palielināšana negatīvā pakāpē ir viena daudzkārtēja dalīšana.

Reizināšanas darbībai jābūt līdzīgai kāpināšanas darbībai.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (nullei nekas netiek pievienots un no nulles nekas netiek atņemts)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Modificētais reizināšanas formulējums matemātikā neko nemaina, bet atgriež reizināšanas darbības sākotnējo nozīmi, izskaidro "zīmju likumus", skaitļa reizināšanu ar nulli un saskaņo reizināšanu ar kāpināšanu.

Pārbaudīsim, vai mūsu reizināšanas formulējums saskan ar dalīšanas darbību.

15: 5 = 3 (reizināšanas apgrieztā darbība 5 * 3 = 15)

Koeficients (3) atbilst saskaitīšanas operāciju skaitam līdz nullei (+3) reizināšanas laikā.

Skaitļa 15 dalīšana ar 5 nozīmē noteikt, cik reižu jums ir jāatņem 5 no 15. To veic ar secīgu atņemšanu, līdz tiek iegūts nulles rezultāts.

Lai atrastu dalīšanas rezultātu, jāsaskaita mīnusa zīmju skaits. Tādas ir trīs.

15: 5 = 3 darbības, lai no 15 atņemtu piecus, līdz tiek iegūta nulle.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (dalījums 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (reizināt ar 5 * 3)

Sadaliet ar atlikumu.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17:5 = 3 un 2 atlikums

Ja ir dalījums ar atlikumu, kāpēc ne reizināt ar pielikumu?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Mēs skatāmies uz formulējuma atšķirību kalkulatorā

Esošais reizināšanas formulējums (trīs termini).

10 + 10 + 10 = 30

Labots reizināšanas formulējums (trīs saskaitīšanas darbības līdz nullei).

0 + 10 = = = 30

(Trīs reizes noklikšķiniet uz "vienāds".)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Koeficients 3 norāda, ka reizinātājs 10 trīs reizes jāpievieno nullei.

Mēģiniet reizināt (-10) * (-3), saskaitot terminu (-10) mīnus trīs reizes!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Ko nozīmē mīnusa zīme trīs? Varbūt tā?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Produktu nav iespējams sadalīt terminu summā (vai starpībā) (-10).

Ar modificēto formulējumu tas tiek darīts pareizi.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Reizinātājs (-3) norāda, ka reizinātājs (-10) trīs reizes jāatņem no nulles.

Saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumi

Iepriekš tika parādīts vienkāršs veids, kā iegūt zīmju noteikumus reizināšanai, mainot reizināšanas formulējuma nozīmi.

Bet izvadei mēs izmantojām saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumus. Tie ir gandrīz tādi paši kā reizināšanai. Veidosim saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumu vizualizāciju, lai to saprastu pat pirmklasnieks.

Kas ir "mīnus", "negatīvs"?

Dabā nav nekā negatīva. Nav negatīvas temperatūras, nav negatīva virziena, nav negatīvas masas, nav negatīvu lādiņu... Pat sinuss pēc savas būtības var būt tikai pozitīvs.

Bet matemātiķi ir izdomājuši negatīvus skaitļus. Par ko? Ko nozīmē “mīnuss”?

Mīnuss nozīmē pretējo virzienu. Pa kreisi pa labi. Augšējā apakšā. Pulksteņrādītāja virzienā - pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Uz priekšu un atpakaļ. Auksts - karsts. Viegli smags. Lēnām - ātri. Ja padomājat, varat sniegt daudzus citus piemērus, kur ir ērti izmantot negatīvas vērtības.

Pasaulē, ko mēs zinām, bezgalība sākas no nulles un iet uz plus bezgalību.

"Mīnus bezgalība" ieslēgta īstā pasaule neeksistē. Šī ir tāda pati matemātiskā vienošanās kā jēdziens "mīnuss".

Tātad "mīnuss" nozīmē pretēju virzienu: kustība, rotācija, process, reizināšana, saskaitīšana. Analizēsim dažādus virzienus, saskaitot un atņemot pozitīvos un negatīvos (palielinot otrā virzienā) skaitļus.

Sarežģīto saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumu izpratne ir saistīta ar to, ka šos noteikumus parasti mēģina izskaidrot skaitļu rindā. Uz skaitļu līnijas tiek sajaukti trīs dažādi komponenti, no kuriem tiek iegūti noteikumi. Un sajaukšanas dēļ, dažādu jēdzienu sabēršanas vienā kaudzē, rodas izpratnes grūtības.

Lai saprastu noteikumus, mums ir jāatdala:

pirmais termins un summa (tie būs uz horizontālās ass);
otrais termins (tas būs uz vertikālās ass);
saskaitīšanas un atņemšanas darbību virziens.

Šis sadalījums ir skaidri parādīts attēlā. Garīgi iedomājieties, ka vertikālā ass var griezties, novietota uz horizontālās ass.

Pievienošanas darbība vienmēr tiek veikta, pagriežot vertikālo asi pulksteņrādītāja virzienā (plus zīme). Atņemšanas darbība vienmēr tiek veikta, pagriežot vertikālo asi pretēji pulksteņrādītāja virzienam (mīnusa zīme).

Piemērs. Diagramma apakšējā labajā stūrī.

Var redzēt, ka divām blakus esošām mīnusa zīmēm (atņemšanas darbības zīmei un skaitļa 3 zīmei) ir atšķirīga nozīme. Pirmais mīnuss parāda atņemšanas virzienu. Otrais mīnuss ir skaitļa zīme uz vertikālās ass.

Atrodiet pirmo terminu (-2) uz horizontālās ass. Atrodiet otro terminu (-3) uz vertikālās ass. Garīgi pagrieziet vertikālo asi pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz (-3) sakrīt ar skaitli (+1) uz horizontālās ass. Skaitlis (+1) ir saskaitīšanas rezultāts.

atņemšanas operācija

dod tādu pašu rezultātu kā pievienošanas darbība diagrammā augšējā labajā stūrī.

Tāpēc divas blakus esošās "mīnusa" zīmes var aizstāt ar vienu "plus" zīmi.

Mēs visi esam pieraduši izmantot gatavus aritmētikas noteikumus, nedomājot par to nozīmi. Tāpēc mēs bieži pat nepamanām, kā zīmju saskaitīšanas (atņemšanas) likumi atšķiras no zīmju likumiem reizināšanā (dalīšanā). Šķiet, ka tie ir vienādi? Gandrīz... Nākamajā ilustrācijā var redzēt nelielu atšķirību.

Tagad mums ir viss, kas nepieciešams, lai iegūtu zīmju noteikumus reizināšanai. Izvades secība ir šāda.

Mēs uzskatāmi parādām, kā tiek iegūti saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumi.
Mēs veicam semantiskas izmaiņas esošajā reizināšanas formulējumā.
Pamatojoties uz modificēto reizināšanas formulējumu un zīmju saskaitīšanas noteikumiem, mēs atvasinām zīmju noteikumus reizināšanai.

Piezīme.

Zemāk ir rakstīts zīmju noteikums saskaitīšanai un atņemšanai iegūts no vizualizācijas. Un sarkanā krāsā salīdzinājumam tie paši zīmju noteikumi no matemātikas mācību grāmatas. Pelēkais pluss iekavās ir neredzamais pluss, kas nav rakstīts pozitīvam skaitlim.

Starp terminiem vienmēr ir divas zīmes: darbības zīme un skaitļa zīme (mēs nerakstām plusu, bet mēs to domājam). Zīmju noteikumi paredz viena zīmju pāra aizstāšanu ar citu pāri, nemainot saskaitīšanas (atņemšanas) rezultātu. Patiesībā ir tikai divi noteikumi.

1. un 3. noteikums (vizualizācijai) - dublē 4. un 2. noteikumu .. 1. un 3. noteikums skolas interpretācijā nesakrīt ar vizuālo shēmu, tāpēc uz zīmju noteikumiem papildus neattiecas. Tie ir citi noteikumi...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+)........ + - = - (+) labi

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) labi

Skolas noteikums 1. (sarkans) ļauj aizstāt divus plusus pēc kārtas ar vienu plusu. Noteikums neattiecas uz saskaitīšanas un atņemšanas zīmju aizstāšanu.

Skolas noteikums 3. (sarkanā krāsa) ļauj nerakstīt plus zīmi pozitīvam skaitlim pēc atņemšanas darbības. Noteikums neattiecas uz saskaitīšanas un atņemšanas zīmju aizstāšanu.

Zīmju noteikumu papildus nozīme ir viena zīmju PĀRA aizstāšana ar citu zīmju PĀRI, nemainot pievienošanas rezultātu.

Skolas metodiķi sajauca divus noteikumus vienā noteikumā:

Divu zīmju likumi pozitīvo un negatīvo skaitļu saskaitīšanai un atņemšanai (viena zīmju pāra aizstāšana ar citu zīmju pāri);

Divi noteikumi, pēc kuriem jūs nevarat rakstīt plus zīmi pozitīvam skaitlim.

Divi dažādi noteikumi, kas sajaukti vienā, ir līdzīgi zīmju reizināšanas noteikumiem, kur no divām zīmēm izriet trešais. Izskaties kā viens pret vienu.

Nu apjukusi! Veiciet to pašu vēlreiz, lai labāk atšķetinātu. Izcelsim operāciju zīmes sarkanā krāsā, lai tās atšķirtu no skaitļu zīmēm.

1. Saskaitīšana un atņemšana. Divi zīmju noteikumi, saskaņā ar kuriem zīmju pāri starp terminiem tiek apmainīti. Operācijas zīme un numura zīme.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Divi noteikumi, pēc kuriem pozitīva skaitļa plus zīmi atļauts nerakstīt. Šie ir pieteikšanās veidlapas noteikumi. Neattiecas uz pievienošanu. Pozitīvam skaitlim raksta tikai darbības zīmi.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Četri zīmju likumi reizināšanā. Kad trešā produkta zīme izriet no divām reizinātāja zīmēm. Reizināšanas zīmju noteikumos tikai skaitļu zīmes.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Tagad, kad esam atdalījuši apzīmējumu noteikumus, ir jābūt skaidram, ka saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumi nepavisam nav līdzīgi reizināšanas zīmju likumiem.

V.Kozarenko

Tagad aplūkosim piemērus negatīvo skaitļu atņemšana un jūs redzēsiet, ka tas ir ļoti vienkārši. Jums tikai jāatceras likums: divi mīnusi, stāvot blakus, dod plusu.

1. piemērs: negatīva skaitļa atņemšana no pozitīva skaitļa

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Kā redzat, lai no pozitīva skaitļa atņemtu negatīvu skaitli, jums vienkārši jāpievieno to moduļi.

2. piemērs: negatīva skaitļa atņemšana no negatīva skaitļa

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Tādējādi, atņemot negatīvu skaitli no negatīva, mēs rīkojamies saskaņā ar likumu, un mēs varam iegūt gan pozitīvu, gan negatīvu skaitli.

Ir viens noteikums, kas nosaka jebkuru skaitļu atņemšanu: gan negatīvu, gan pozitīvu, un tas izklausās šādi:

Zīmju likums

Lai atbrīvotos no liekām iekavām, atņemot negatīvus skaitļus, varam izmantot zīmju likumu.Šis noteikums saka:

Piemēram:

Tagad aizpildiet viktorīnu un pārbaudiet sevi!

Negatīvu skaitļu saskaitīšana un atņemšana

Laika ierobežojums: 0

Navigācija (tikai darba numuri)

0 no 20 izpildītajiem uzdevumiem

"Mana ienaidnieka ienaidnieks ir mans draugs"

Kāpēc mīnus viens reiz mīnus viens ir plus viens? Kāpēc mīnus viens reiz plus viens ir mīnus viens? Vienkāršākā atbilde ir: "Jo šie ir noteikumi darbam ar negatīviem skaitļiem." Noteikumi, kurus mēs apgūstam skolā un piemērojam visu mūžu. Taču mācību grāmatās nav paskaidrots, kāpēc noteikumi ir tādi, kādi tie ir. Vispirms mēģināsim to saprast no aritmētikas attīstības vēstures, un tad atbildēsim uz šo jautājumu no mūsdienu matemātikas viedokļa.

Sen cilvēkiem bija zināmi tikai naturālie skaitļi: tie tika izmantoti, lai skaitītu traukus, laupījumu, ienaidniekus utt. Bet skaitļi paši par sevi ir diezgan bezjēdzīgi - ar tiem ir jāprot rīkoties. Saskaitīšana ir skaidra un saprotama, turklāt divu naturālu skaitļu summa arī ir naturāls skaitlis (matemātiķis teiktu, ka saskaitīšanas operācijā naturālo skaitļu kopa ir slēgta). Reizināšana faktiski ir tā pati saskaitīšana, ja mēs runājam par naturāliem skaitļiem. Dzīvē mēs bieži veicam darbības, kas saistītas ar šīm divām darbībām (piemēram, iepērkoties, mēs saskaitām un reizinām), un ir dīvaini domāt, ka mūsu senči ar tām saskārās retāk - saskaitīšanu un reizināšanu cilvēce apguva ļoti ilgu laiku. pirms. Bieži vien ir nepieciešams dalīt vienu lielumu ar citu, bet šeit rezultāts ne vienmēr tiek izteikts kā naturāls skaitlis - tā parādījās daļskaitļi.

Atņemšana, protams, arī ir obligāta. Bet praksē mēs mēdzam atņemt mazāko skaitli no lielākā skaitļa, un nav nepieciešams izmantot negatīvus skaitļus. (Ja man ir konfektes un es to iedodu savai māsai, tad man būs konfekte, bet es nevaru viņai iedot konfektes ar visu savu vēlmi.) Tas var izskaidrot, kāpēc cilvēki ilgu laiku neizmantoja negatīvus skaitļus.

Kā piemēru ņemsim vienādojumu. To var atrisināt šādi: pārvietojiet terminus ar nezināmo uz kreiso pusi, bet pārējos pa labi, izrādīsies , , . Izmantojot šo risinājumu, mēs pat nesatikām negatīvus skaitļus.

Bet nejauši to var izdarīt citādi: pārvietojiet terminus ar nezināmo uz labo pusi un iegūstiet , . Lai atrastu nezināmo, jums ir jādala viens negatīvs skaitlis ar citu: . Bet pareizā atbilde ir zināma, un atliek secināt, ka .

Ko parāda šis vienkāršais piemērs? Pirmkārt, kļūst skaidra loģika, kas nosaka noteikumus darbībām ar negatīviem skaitļiem: šo darbību rezultātiem ir jāsakrīt ar atbildēm, kas iegūtas citādā veidā, bez negatīviem skaitļiem. Otrkārt, pieļaujot negatīvu skaitļu lietošanu, atbrīvojamies no apnicīgās (ja vienādojums izrādās sarežģītāks, ar lielu terminu skaitu) risinājuma ceļa meklējumiem, kurā visas darbības tiek veiktas tikai ar naturāliem skaitļiem. Turklāt mēs vairs nevaram katru reizi domāt par konvertējamo lielumu jēgpilnību - un tas jau ir solis ceļā uz matemātikas pārvēršanu abstraktā zinātnē.

Tā rezultātā parādījās jauns jēdziens: gredzens. Tas ir tikai elementu kopums, kā arī darbības, ko ar tiem var veikt. Pamatnoteikumi šeit ir tikai noteikumi (tos sauc par aksiomām), kas ir pakļauti darbībām, nevis kopas elementu būtībai (šeit tas ir jauns abstrakcijas līmenis!). Vēloties uzsvērt, ka svarīga ir struktūra, kas rodas pēc aksiomu ieviešanas, matemātiķi saka: veselu skaitļu gredzens, polinomu gredzens utt. Sākot no aksiomām, var atvasināt citas gredzenu īpašības.

Gredzens ir kopa ar divām binārām operācijām (tas ir, katrā darbībā ir iesaistīti divi gredzena elementi), ko tradicionāli sauc par saskaitīšanu un reizināšanu, un šādām aksiomām:

Tagad mēs pierādīsim, ka jebkuram elementam un patvaļīgam gredzenam, pirmkārt, un, otrkārt, . No tā viegli izriet apgalvojumi par vienībām: un .

Lai to izdarītu, mums ir jānosaka daži fakti. Vispirms pierāda, ka katram elementam var būt tikai viens pretstats. Patiešām, ļaujiet elementam būt diviem pretējiem: un . Tas ir . Apskatīsim summu. Izmantojot asociatīvos un komutatīvos likumus un nulles īpašību, mēs iegūstam, ka, no vienas puses, summa ir vienāda ar, un, no otras puses, tā ir vienāda ar. Nozīmē,.

Ņemiet vērā, ka un , un ir viena un tā paša elementa pretstati, tāpēc tiem jābūt vienādiem.

Pirmo faktu iegūst šādi: , tas ir, pretstatā , kas nozīmē, ka tas ir vienāds ar .

Lai būtu matemātiski precīzi, paskaidrosim arī, kāpēc jebkuram elementam . Patiešām, . Tas ir, pieskaitīšana summu nemaina. Tātad šis produkts ir vienāds ar nulli.

Jevgeņijs Epifanovs
"Elementi"

Komentāri: 0

Ričards Feinmens

Viņš pieņem rezultātu: zhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzh - "Jā," viņš piekrīt. Un tad mani piemeklē: viņš nezina skaitļus. Ja jums ir abakuss, jums nav jāiegaumē daudzas aritmētiskās kombinācijas; jums vienkārši jāiemācās noklikšķināt uz locītavām uz augšu un uz leju. Nav nepieciešams atcerēties, ka 9 + 7 = 16; jūs vienkārši zināt, ka, pievienojot 9, jums ir jāpārvieto decimāldaļa uz augšu un viens uz leju. Tāpēc aritmētiskās pamatdarbības veicam lēnāk, bet skaitļus zinām.

Žaks Cesiano

Divu gadu tūkstošu laikā ir notikuši trīs nozīmīgi skaitļu domēna paplašinājumi. Pirmkārt, ap 450. gadu p.m.ē. Pitagora skolas zinātnieki pierādīja iracionālo skaitļu esamību. Viņu sākotnējais mērķis bija skaitliskā izteiksme vienības kvadrāta diagonāles. Otrkārt, XIII-XV gadsimtā Eiropas zinātnieki, risinot lineāro vienādojumu sistēmas, atzina viena negatīva risinājuma iespējamību. Un, treškārt, 1572. gadā itāļu algebrists Rafaels Bombelli izmantoja kompleksos skaitļus, lai iegūtu reālu risinājumu noteiktam kubiskā vienādojumam.

Iļja Ščurovs

Matemātiķis Iļja Ščurovs par decimāldaļskaitļiem, Pi transcendenci un iracionalitāti.

Proskurjakovs I.V.

Šīs grāmatas mērķis ir strikti definēt skaitļus, polinomus un algebriskās daļas un pamatot to jau no skolas laika zināmās īpašības, nevis iepazīstināt lasītāju ar jaunām īpašībām. Tāpēc lasītājs šeit neatradīs sev jaunus faktus (izņemot, iespējams, dažas īpašības, reālos un kompleksos skaitļus), bet viņš uzzinās, kā tiek pierādītas viņam labi zināmas lietas, sākot ar “divreiz divi - četri” un beidzot ar darbību noteikumiem ar polinomiem un algebriskām daļām. Savukārt lasītājs iepazīsies ar vairākiem vispārīgiem jēdzieniem, kuriem algebrā ir galvenā loma.

Žaks Cesiano

Mēs maz zinām par Diofantu. Šķiet, ka viņš dzīvojis Aleksandrijā. Pirms 4. gadsimta neviens grieķu matemātiķis viņu nepiemin, tāpēc viņš, iespējams, dzīvoja 3. gadsimta vidū. Vissvarīgākais Diofanta darbs "Aritmētika" (Ἀριθμητικά) notika 13 "grāmatu" (βιβλία), tas ir, nodaļu sākumā. Šodien mums ir 10 no tiem, proti: 6 grieķu tekstā un 4 citi viduslaiku arābu tulkojumā, kuru vieta ir grieķu grāmatu vidū: I-III grāmatas grieķu valodā, IV-VII arābu valodā, VIII-X grieķu valodā. Diofanta "aritmētika" galvenokārt ir uzdevumu kopums, kopā aptuveni 260. Patiesībā teorijas nav; grāmatas ievadā ir tikai vispārīgi norādījumi un vajadzības gadījumā konkrētas piezīmes par dažām problēmām. "Aritmētikai" jau ir algebriskā traktāta iezīmes. Pirmkārt, Diofants izmanto dažādas zīmes, lai izteiktu nezināmo un tā pakāpes, arī dažus aprēķinus; tāpat kā visa viduslaiku algebriskā simbolika, tā simbolika nāk no matemātiskiem vārdiem. Pēc tam Diofants paskaidro, kā problēmu atrisināt algebriskā veidā. Bet Diofantīna problēmas nav algebriskas parastajā nozīmē, jo gandrīz visas tās ir reducētas uz nenoteikta vienādojuma vai šādu vienādojumu sistēmu atrisināšanu.

Matemātikas pasaule nav iedomājama bez tiem – bez pirmskaitļiem. Kas ir pirmskaitļi, kas tajos ir īpašs un kāda nozīme tiem ir Ikdiena? Šajā filmā britu matemātikas profesors Markuss du Sotojs atklās pirmskaitļu noslēpumu.

Džordžs Šabats

Skolā mums visiem ir ieaudzināta kļūdaina doma, ka uz racionālo skaitļu kopas Q ir unikāls naturālais attālums (atšķirības modulis), attiecībā uz kuru visas aritmētiskās darbības ir nepārtrauktas. Tomēr ir arī bezgalīgi daudz attālumu, tā saukto p-adisko, katram skaitlim p viens. Saskaņā ar Ostrovska teorēmu "parastais" attālums kopā ar visiem p-adic attālumiem patiešām izsmeļ visus saprātīgos attālumus Q. Terminu adele democracy ieviesa Yu. I. Manin. Saskaņā ar adeles demokrātijas principu visi saprātīgie attālumi uz Q ir vienādi pirms matemātikas likumiem (varbūt tikai tradicionālais “nedaudz = nedaudz vienādāks...”. Kursā tiks iepazīstināts ar adeles gredzenu, kas ļauj strādāt ar visiem šos attālumus vienlaicīgi.

Vladimirs Arnolds

JL Lagranžs pierādīja, ka nepilnīgu koeficientu secība (sākot no kādas vietas) ir periodiska tad un tikai tad, ja skaitlis x ir kvadrātiska iracionalitāte. R. O. Kuzmins pierādīja, ka gandrīz jebkura reāla skaitļa nepilnu koeficientu secībā proporcija d_m, kas vienāda ar m nepilnīgiem koeficientiem, ir vienāda (tipiskiem reāliem skaitļiem). Daļa d_m samazinās kā m→∞ kā 1/m^2, un tās vērtību prognozēja Gauss (kurš neko nepierādīja). V. I. Arnolda (pirms 20 gadiem) minēja, ka Gausa–Kuzmina statistika d_m attiecas arī uz nepārtrauktu sakņu daļu periodiem kvadrātvienādojumi x^2+px+q=0 (ar veselu skaitli p un q): ja sarakstām kopā nepilnīgos koeficientus, kas veido visu šādu vienādojumu sakņu turpināto daļu periodus ar p^2+q^2≤R^ 2, tad parciālā koeficienta m daļa no tiem tiecas uz skaitli d_m kā R→∞. V. A. Bikovskis un viņa studenti no Habarovskas nesen pierādīja šo sen pastāvošo hipotēzi. Neskatoties uz to, jautājums par statistiku par nevis burtiem, bet no tiem veidotiem vārdiem, kas ir vienādojumu x^2+px+q=0 jebkuru sakņu x nepārtrauktu daļu periodi, nebūt nav atrisināts.

Arī par tēmu

Kāpēc sapņot staigāt pa ledu?

Vērsis ir otrā zodiaka zīme

Sapņa par dēlu interpretācija saskaņā ar mūsdienu sapņu grāmatu

Kāpēc sapņot par tramvaju un ko sola brauciens tajā

Noķer vilcienu Kāds ir laika sapnis 17