Minus, deljen z minusom, daje. Odštevanje negativnih števil

1) Zakaj je minus ena krat minus ena enako plus ena?
2) Zakaj je minus ena krat plus ena enako minus ena?

"Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj."

Najlažji odgovor je: "Ker so to pravila za delovanje z negativnimi števili." Pravila, ki se jih naučimo v šoli in jih uporabljamo vse življenje. Učbeniki pa ne pojasnjujejo, zakaj so pravila takšna, kot so. Najprej bomo to poskušali razumeti na podlagi zgodovine razvoja aritmetike, nato pa bomo na to vprašanje odgovorili z vidika sodobne matematike.

Pred davnimi časi so ljudje poznali le naravna števila: 1, 2, 3, ... Uporabljali so jih za štetje pripomočkov, plena, sovražnikov itd. Števila sama po sebi pa so čisto neuporabna - z njimi je treba znati ravnati. Seštevanje je jasno in razumljivo, poleg tega pa je naravno število tudi vsota dveh naravnih števil (matematik bi rekel, da je množica naravnih števil sklenjena glede na operacijo seštevanja). Če govorimo o naravnih številih, je množenje v bistvu enako seštevanju. V življenju pogosto izvajamo dejanja, povezana s tema dvema operacijama (na primer pri nakupovanju seštevamo in množimo), in nenavadno je misliti, da so se naši predniki srečevali z njimi manj pogosto - seštevanje in množenje je človeštvo obvladalo zelo dolgo nazaj. Pogosto morate nekatere količine deliti z drugimi, vendar tukaj rezultat ni vedno izražen kot naravno število - tako so se pojavila ulomna števila.

Seveda tudi brez odštevanja ne gre. Toda v praksi običajno odštejemo manjše število od večjega števila in ni treba uporabljati negativnih števil. (Če imam 5 bonbonov in dam svoji sestri 3, potem mi bo ostalo 5 - 3 = 2 bonbona, vendar ji ne morem dati 7 bonbonov, tudi če hočem.) To lahko pojasni, zakaj ljudje niso uporabili negativnih števil za dolgo časa.

Negativna števila se v indijskih dokumentih pojavljajo od 7. stoletja našega štetja; Kitajci so jih očitno začeli uporabljati nekoliko prej. Uporabljali so jih za obračun dolgov ali v vmesnih izračunih za poenostavitev reševanja enačb – to je bilo le orodje za pridobitev pozitivnega odgovora. Močno nezaupanje je povzročilo dejstvo, da negativna števila za razliko od pozitivnih ne izražajo prisotnosti nobene entitete. Ljudje so se dobesedno izogibali negativnim številom: če je imela težava negativen odgovor, so verjeli, da odgovora sploh ni. To nezaupanje je trajalo zelo dolgo in celo Descartes - eden od "utemeljiteljev" moderne matematike - jih je označil za "lažne" (v 17. stoletju!).

Upoštevajte na primer enačbo 7x – 17 = 2x – 2. To je mogoče rešiti tako: člene z neznanko premaknite na levo stran, ostale pa na desno, izkazalo se bo 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3. S to rešitvijo sploh nismo naleteli na negativna števila.

Vendar je bilo mogoče po nesreči narediti drugače: premakniti izraze z neznanko na desno stran in dobiti 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Če želite najti neznanko, morate eno negativno število deliti z drugim: x = (–15)/(–5). Toda pravi odgovor je znan in to je treba še zaključiti (–15)/(–5) = 3 .

Kaj dokazuje ta preprost primer? Prvič, postane jasna logika, ki je določala pravila za delovanje z negativnimi števili: rezultati teh dejanj se morajo ujemati z odgovori, pridobljenimi na drug način, brez negativnih števil. Drugič, z dovoljenjem uporabe negativnih števil se znebimo dolgočasnega (če se enačba izkaže za bolj zapleteno, z velikim številom členov) iskanja rešitve, pri kateri se vsa dejanja izvajajo samo na naravnih številih. Še več, morda ne bomo več vsakič razmišljali o smiselnosti preoblikovanih količin - in to je že korak k temu, da matematiko spremenimo v abstraktno znanost.

Pravila za delovanje z negativnimi števili niso nastala takoj, ampak so postala posplošitev številnih primerov, ki so se pojavili pri reševanju uporabnih problemov. Na splošno lahko razvoj matematike razdelimo na stopnje: vsaka naslednja faza se razlikuje od prejšnje z novo stopnjo abstrakcije pri preučevanju predmetov. Tako so matematiki v 19. stoletju spoznali, da imajo cela števila in polinomi kljub vsem zunanjim razlikam veliko skupnega: oboje je mogoče seštevati, odštevati in množiti. Za te operacije veljajo iste zakonitosti – tako v primeru števil kot v primeru polinomov. Toda deljenje celih števil eno z drugim, tako da je rezultat spet cela števila, ni vedno mogoče. Enako je s polinomi.

Nato so bili odkriti drugi nizi matematičnih objektov, na katerih bi lahko izvajali takšne operacije: formalne potenčne vrste, zvezne funkcije ... Končno je prišlo do razumevanja, da če preučujete lastnosti samih operacij, potem lahko rezultate uporabite za vse te množice predmetov (ta pristop je značilen za vso sodobno matematiko).

Posledično se je pojavil nov koncept: prstan. To je samo niz elementov in dejanj, ki jih je mogoče izvesti na njih. Temeljna pravila tukaj so pravila (imenujejo se aksiomi), ki so predmet dejanj in ne narave elementov niza (tukaj je, nova raven abstrakcije!). V želji poudariti, da je pomembna struktura, ki nastane po uvedbi aksiomov, matematiki pravijo: obroč celih števil, obroč polinomov itd. Izhajajoč iz aksiomov je mogoče izpeljati druge lastnosti obročev.

Oblikovali bomo aksiome obroča (ki so seveda podobni pravilom za delovanje s celimi števili) in nato dokazali, da v vsakem obroču množenje minusa z minusom ustvari plus.

Prstan je niz z dvema binarnima operacijama (to pomeni, da vsaka operacija vključuje dva elementa obroča), ki ju tradicionalno imenujemo seštevanje in množenje, in naslednjimi aksiomi:

dodajanje elementov obroča je predmet komutativnega ( A + B = B + A za poljubne elemente A in B) in asociativno ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; v obroču obstaja poseben element 0 (nevtralni element z dodatkom), tako da A+0=A, in za kateri koli element A obstaja nasprotni element (označeno (–A)), Kaj A + (–A) = 0 ;
množenje se ravna po kombinacijskem zakonu: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Seštevanje in množenje sta povezana z naslednjimi pravili za odpiranje oklepajev: (A + B) C = A C + B C in A (B + C) = A B + A C .

Upoštevajte, da obroči v najsplošnejši konstrukciji ne zahtevajo niti komutabilnosti množenja niti njegove invertibilnosti (to pomeni, da delitve ni mogoče vedno izvesti) niti obstoja enote - nevtralnega elementa pri množenju. Če uvedemo te aksiome, dobimo različne algebraične strukture, vendar bodo v njih vsi izreki, dokazani za obroče, resnični.

Zdaj to dokažemo za vse elemente A in B poljubnega obroča velja, prvič, (–A) B = –(A B), in drugič (–(–A)) = A. Iz tega zlahka sledijo izjave o enotah: (–1) 1 = –(1 1) = –1 in (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Za to bomo morali ugotoviti nekaj dejstev. Najprej dokažemo, da ima lahko vsak element samo eno nasprotje. Pravzaprav naj element A obstajata dve nasprotji: B in Z. To je A + B = 0 = A + C. Razmislimo o znesku A+B+C. Z uporabo asociativnih in komutativnih zakonov ter lastnosti ničle dobimo, da je na eni strani vsota enaka B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, na drugi strani pa je enak C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. pomeni, B=C .

Naj zdaj to opazimo A, In (–(–A)) so nasprotja istega elementa (–A), zato morata biti enaka.

Prvo dejstvo gre takole: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, to je (–A)·B nasprotje A·B, kar pomeni, da je enak –(A B) .

Če smo matematično strogi, pojasnimo tudi, zakaj 0·B = 0 za katerikoli element B. Prav zares, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Se pravi dodatek 0·B zneska ne spremeni. To pomeni, da je ta produkt enak nič.

In dejstvo, da je v obroču natanko ena ničla (navsezadnje aksiomi pravijo, da tak element obstaja, nič pa ne pove o njegovi edinstvenosti!), bomo bralcu prepustili kot preprosto vajo.

Odgovorjeno: Evgenij Epifanov

Prikaži komentarje (37)

Strni komentarje (37)

Dober odgovor. Ampak za nivo prvega letnika srednje šole. Zdi se mi, da ga je mogoče razložiti bolj preprosto in jasno na primeru formule "razdalja = hitrost * čas" (2. razred).

Recimo, da hodimo po cesti, nas prehiti avto in se začne odmikati. Čas raste - in razdalja do njega narašča. Hitrost takega stroja bomo smatrali za pozitivno; lahko je na primer 10 metrov na sekundo. Mimogrede, koliko kilometrov na uro je to? 10/1000(km)*60(sek)*60(min)= 10*3,6 = 36 km/h. Malo. Verjetno je cesta slaba...

Toda avto, ki nam prihaja nasproti, se ne oddalji, ampak se približa. Zato je primerno, da je njegova hitrost negativna. Na primer -10 m/s. Razdalja se zmanjša: 30, 20, 10 metrov do nasproti vozečega avtomobila. Vsaka sekunda je minus 10 metrov. Zdaj je jasno, zakaj je hitrost minus? Tako je odletela mimo. Kolikšna je razdalja do njega v sekundi? Tako je, -10 metrov, tj. "10 metrov zadaj."

Tukaj smo prejeli prvo izjavo. (-10 m/s) * (1 s) = -10 m.
Minus (negativna hitrost) s plusom (pozitiven čas) je dal minus (negativna razdalja, avto je za mano).

In zdaj pozor - minus na minus. Kje je bil nasproti vozeči avto sekundo PREDEN je peljal mimo? (-10 m/s) * (- 1 s) = 10 m.
Minus (negativna hitrost) za minus (negativen čas) = plus (pozitivna razdalja, avto je bil 10 metrov pred mojim nosom).

Je to jasno ali pozna kdo še enostavnejši primer?

Odgovori

Da, lažje dokažeš! 5*2 je dvakrat narisana na številski premici, v pozitivna stran, število je 5, in potem dobimo število 10. če je 2*(-5), potem štejemo dvakrat glede na število 5, vendar v negativno smer, in dobimo število (-10), zdaj predstavljajo 2*(-5) kot
2*5*(-1)=-10, prepišemo odgovor iz prejšnji izračun, in ni pridobljeno v tem, Torej lahko rečemo, da ko je število pomnoženo z (-1), pride do inverzije numerične dvopolarne osi, tj. obračanje polarnosti. Kar smo dali v pozitivni del, je postalo negativno in obratno. Zdaj (-2)*(-5), zapišemo kot (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), pri čemer pustimo število (-10) in spremenimo polarnost osi, ker . pomnožimo z (-1), dobimo +10, samo ne vem, ali se je izkazalo lažje?

Odgovori

Mislim, da imaš prav. Poskušal bom samo bolj podrobno prikazati vaše stališče, ker... Vidim, da tega niso vsi razumeli.
Minus pomeni odvzeti. Če so vam enkrat vzeli 5 jabolk, so vam na koncu vzeli 5 jabolk, kar je običajno označeno z minusom, tj. – (+5). Navsezadnje morate nekako navesti dejanje. Če je bilo 5-krat izbrano 1 jabolko, je bilo na koncu izbrano enako: – (+5). Pri tem izbrana jabolka niso postala namišljena, saj Zakon o ohranitvi snovi ni bil razveljavljen. Pozitivna jabolka so preprosto šla k tistemu, ki jih je vzel. To pomeni, da ni namišljenih števil, obstaja relativno gibanje snovi z znakom + ali -. Če pa je tako, potem zapis: (-5) * (+1) = -5 ali (+5) * (-1) = -5 ne odraža natančno realnosti, ampak jo označuje le pogojno. Ker ni namišljenih števil, je celoten produkt vedno pozitiven → “+” (5*1). Nato se pozitivni produkt negira, kar pomeni odštevanje → “- +” (5*1). Tu minus ne nadomesti plusa, ampak ga zanika in prevzame njegovo mesto. Potem na koncu dobimo: -(5*1) = -(+5).
Za dva minusa lahko zapišete: “- -” (5*1) = 5. Znak “- -” pomeni “+”, tj. razlastitev razlaščencev. Najprej so jabolka vzeli tebi, nato pa si jih ti vzel svojemu storilcu. Posledično so vsa jabolka ostala pozitivna, vendar do selekcije ni prišlo, ker zgodila se je socialna revolucija.
Na splošno je dejstvo, da zanikanje zanikanja odpravlja zanikanje in vse, na kar se zanikanje nanaša, otrokom jasno in brez razlage, ker Očitno je. Otrokom morate le razložiti, kaj so odrasli umetno zamešali, tako zelo, da tega sami ne morejo ugotoviti. In zmeda je v tem, da so namesto zanikanja dejanja uvedli negativna števila, tj. negativna zadeva. Tako so otroci zmedeni, zakaj se pri seštevanju negativne snovi vsota izkaže za negativno, kar je povsem logično: (-5) + (-3) = -8, pri množenju iste negativne snovi pa: (-5) * (-3) = 15, je nenadoma pozitiven, kar ni logično! Navsezadnje bi se moralo z negativno snovjo vse zgoditi enako kot s pozitivno snovjo, le z drugačnim predznakom. Zato se zdi otrokom bolj logično, da se pri razmnoževanju negativne materije razmnožuje ravno negativna materija.
A tudi tu ni vse gladko, saj je za množenje negativne snovi dovolj, da je le eno število negativno. V tem primeru je vedno pozitiven eden od faktorjev, ki ne označuje materialne vsebine, temveč čase ponavljanja izbrane snovi, saj časi ne morejo biti negativni, tudi če se negativna (izbrana) snov ponovi. Zato je pri množenju (deljenju) pravilneje postaviti znake pred celoten produkt (delitev), ki smo ga prikazali zgoraj: "- +" (5*1) ali "- -" (5*1).
In da znak minus ne bi zaznali kot znak namišljenega števila, tj. negativna snov, kot dejanje pa se morajo odrasli najprej dogovoriti med seboj, da če je znak minus pred številko, potem pomeni negativno dejanje s številom, ki je vedno pozitivno in ne namišljeno. Če je znak minus pred drugim znakom, potem pomeni negativno dejanje s prvim znakom, tj. spremeni v nasprotno. Potem se bo vse postavilo na svoje mesto naravno. Potem morate to razložiti otrokom in oni bodo popolnoma razumeli in usvojili tako razumljivo pravilo odraslih. Konec koncev zdaj vsi odrasli udeleženci v razpravi pravzaprav poskušajo razložiti nerazložljivo, ker ... Za to težavo ni fizične razlage, je le konvencija, pravilo. Toda pojasnjevanje abstrakcije z abstrakcijo je tavtologija.
Če znak minus zanika število, potem je to fizično dejanje, če pa zanika samo dejanje, potem je preprosto pogojno pravilo. Se pravi, odrasli so se preprosto strinjali, da če je izbor zavrnjen, kot v obravnavanem vprašanju, potem ni izbora, ne glede na to, kolikokrat! Hkrati pa ostane s teboj vse, kar si imel, pa naj bo samo številka, naj bo produkt števil, tj. veliko selekcijskih poskusov. To je vse.
Če se kdo ne strinja, potem še enkrat mirno premisli. Navsezadnje je primer z avtomobili, pri katerih sta sekundo pred srečanjem negativna hitrost in negativni čas, le pogojno pravilo, povezano z referenčnim sistemom. V drugem referenčnem okviru bosta enaka hitrost in enak čas postala pozitivna. In primer z ogledalom je povezan s pravljičnim pravilom, v katerem minus, ki se odseva v ogledalu le pogojno, nikakor pa fizično, postane plus.

Odgovori

Z matematičnimi pomanjkljivostmi se zdi vse jasno. Toda v jeziku, ko se postavi negativno vprašanje, kako nanj odgovorite? Na primer, vedno me je begalo vprašanje: "Bi čaj?" Kako naj odgovorim na to, če želim čaj? Zdi se, da če rečeš "Da", ti ne bodo dali čaja (to je kot + in -), če ne, naj ti dajo (- in -), in če "Ne, nočem ”???

Odgovori

Če želite odgovoriti na tako otročje vprašanje, morate najprej odgovoriti na nekaj vprašanj za odrasle: "Kaj je minus pri matematiki?" in "Kaj sta množenje in deljenje?" Kolikor razumem, se tu začnejo težave, ki na koncu pripeljejo do prstanov in drugih neumnosti pri odgovoru na tako preprosto otročje vprašanje.

Odgovori

Odgovor očitno ni za navadne šolarje!
V osnovni šoli sem bral čudovito knjigo - tisto o pritlikavosti in Al-Jebri, mogoče pa so v matematičnem krožku dali primer - na nasprotno stran enačaja so postavili dve osebi z jabolki različnih barv in ponudili, da jabolka drug drugemu. Nato so bili med udeleženci igre postavljeni drugi znaki - plus, minus, več, manj.

Odgovori

Otročji odgovor, kaj??))
Morda se sliši kruto, vendar avtor sam ne razume, zakaj minus na minusu daje plus :-)
Vse na svetu je mogoče razložiti vizualno, saj so abstrakcije potrebne samo za razlago sveta. Vezani so na realnost in ne živijo sami v blodnjavih učbenikih.
Čeprav je za razlago treba poznati vsaj fiziko in včasih biologijo, skupaj z osnovami človeške nevrofiziologije.

Toda kljub temu je prvi del dal upanje za razumevanje in zelo jasno razložil potrebo po negativnih številih.
Toda drugi je tradicionalno zdrsnil v shizofrenijo. A in B - to morata biti prava predmeta! zakaj bi jih torej imenovali s temi črkami, ko pa lahko vzamete na primer štruce kruha ali jabolka
Če bi.. če bi bilo mogoče... ja?))))))

In ... tudi če uporabimo pravilno osnovo iz prvega dela (da je množenje enako seštevanju) - z minusi dobimo protislovje))
-2 + -2 = -4
Ampak
-2 * -2 =+4))))
in tudi če upoštevamo, da je to minus dva, vzeto minus dva, se bo izkazalo
-2 -(-2) -(-2) = +2

Vredno je bilo preprosto priznati, da ker so številke virtualne, potem moramo za razmeroma pravilno računovodstvo pripraviti virtualna pravila.
In to bi bila RESNICA, ne pa obrobljene neumnosti.

Odgovori

V svojem primeru je Academon naredil napako:
Dejansko je (-2)+(-2) = (-4) 2 krat (-2), tj. (-2) * 2 = (-4).
Kar se tiče množenja dveh negativnih števil, je to brez protislovja isti dodatek, le na drugi strani "0" na številski premici. namreč:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Vse se torej sešteje.
No, glede realnosti negativnih števil, kako vam je všeč ta primer?
Če imam v žepu, recimo, 1000 $, lahko moje razpoloženje imenujemo "pozitivno".
Če je $0, bo stanje "brez".
Kaj pa če je (-1000)$ dolg, ki ga je treba odplačati, denarja pa ni...?

Odgovori

Minus za minus - vedno bo plus,
Zakaj se to zgodi, ne morem reči.

Zakaj -na-=+ me je begalo že v šoli, v 7. razredu (1961). Poskušal sem najti drugo, bolj "pošteno" algebro, kjer je +na+=+ in -na-=-. Zdelo se mi je, da bi bilo bolj pošteno. Toda kaj potem narediti z +na- in -na+? Nisem želel izgubiti komutativnosti xy=yx, vendar ni druge poti.
Kaj pa, če ne vzamete dveh znakov, ampak tri, na primer +, - in *. Enakomerno in simetrično.

DODATEK
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) se ne seštevajo(!), tako kot realni in imaginarni deli kompleksnega števila.
Ampak za to (+a)+(-a)+(*a)=0.

Čemu je na primer enako (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Ni enostavno, a se da navaditi.

Zdaj pa MNOŽENJE.
Naj postuliramo:
+na+=+ -na-=- *na*=* (pošteno?)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (pošteno!)
Zdi se, da je vse v redu, vendar množenje ni asociativno, tj.
a(bc) ni enako (ab)c.

In če je tako
+on+=+ -on-=* *on*=-
+na-=-na+=- +na*=*na+=* -na*=*na-=+
Spet nepošteno, + izločeno kot posebno. A rodila se je NOVA ALGEBRA s tremi predznaki. Komutativni, asociativni in distributivni. Ima geometrijsko razlago. Je izomorfen kompleksnim številom. Lahko se še razširi: štirje znaki, pet ...
To se še ni zgodilo. Vzemite, ljudje, uporabite.

Odgovori

Otroško vprašanje je praviloma otrokov odgovor.
Obstaja naš svet, kjer je vse "plus": jabolka, igrače, mačke in psi, resnični so. Lahko poješ jabolko, lahko pobožaš mačko. In obstaja tudi domišljijski svet, ogledalo. Tam so tudi jabolka in igrače, skozi ogledalo si jih lahko predstavljamo, ne moremo pa se jih dotakniti - izmišljene so. Z znakom minus lahko pridemo iz enega sveta v drugega. Če imamo dve pravi jabolki (2 jabolki) in postavimo znak minus (-2 jabolki), bomo skozi ogledalo dobili dve namišljeni jabolki. Znak minus nas popelje iz enega sveta v drugega, naprej in nazaj. V našem svetu ni zrcalnih jabolk. Lahko si jih predstavljamo cel kup, tudi milijon (minus milijon jabolk). Vendar jih ne boste mogli jesti, saj nimamo minus jabolk, vsa jabolka v naših trgovinah so plus jabolka.
Množiti pomeni razporediti nekaj predmetov v obliki pravokotnika. Vzemimo dve piki ":" in ju pomnožimo s tri, dobimo: ": : :" - skupaj šest pik. Lahko vzamete pravo jabolko (+I) in ga pomnožite s tri, dobimo: "+YAYA" - tri prava jabolka.
Zdaj pa pomnožimo jabolko z minus tri. Spet bomo dobili tri jabolka "+YAYA", vendar nas bo znak minus popeljal do ogledala in imeli bomo tri jabolka v ogledalu (minus tri jabolka -YAYA).
Zdaj pa pomnožimo minus jabolko (-I) z minus tri. Se pravi, vzamemo jabolko in če je pred njim minus, ga prenesemo v ogledalo. Tam ga pomnožimo s tri. Zdaj imamo tri steklena jabolka! Vendar obstaja še ena pomanjkljivost. Prejeta jabolka bo preselil nazaj v naš svet. Kot rezultat dobimo tri prava okusna jabolka +YAYA, ki jih lahko pojeste.

Odgovori

Vse je v redu do zadnjega koraka. Ko pomnožimo z minus eno od treh zrcalnih jabolk, moramo ta jabolka odsevati v drugem zrcalu. Njihova lokacija bo sovpadala z resničnimi, vendar bodo tako namišljeni kot prvi zrcalni in prav tako neužitni. To je (-1)*(-1)= --1<> 1.
Pravzaprav me bega še ena točka, povezana z množenjem negativnih števil, in sicer:
Ali enakost velja:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
To vprašanje je nastalo pri poskusu razumevanja obnašanja grafa funkcije y=x^n, kjer sta x in n realni števili.
Izkazalo se je, da se bo graf funkcije vedno nahajal v 1. in 3. četrtini, razen v primerih, ko je n sodo. V tem primeru se spremeni samo ukrivljenost grafa. Toda pariteta n je relativna vrednost, ker lahko vzamemo drug referenčni sistem, v katerem je n = 1,1*k, potem dobimo
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
in pariteta tukaj bo drugačna ...
In poleg tega predlagam, da argumentu dodamo, kaj se zgodi z grafom funkcije y = x^(1/n). Predvidevam, ne brez razloga, da mora biti graf funkcije simetričen grafu y = x^n glede na graf funkcije y = x.

Odgovori

Obstaja več načinov za razlago pravila "minus za minus daje plus." Tukaj je najpreprostejši. Množenje z naravnimi. število n je raztezanje segmenta (ki se nahaja na številski osi) n-krat. Množenje z -1 je odraz segmenta glede na izvor. Kot najkrajša razlaga, zakaj je (-1)*(-1) = +1, je ta metoda primerna, ozko grlo tega pristopa je, da je treba ločeno določiti vsoto takih operatorjev.

Odgovori

Lahko greste, ko razlagate iz kompleksnih števil
kot bolj splošna oblika predstavljanja števil
Trigonometrična oblika kompleksnega števila
Eulerjeva formula
Znak je v tem primeru samo argument (kot vrtenja)
Pri množenju se koti seštevajo
0 stopinj ustreza +
180 stopinj ustreza -
Množenje - z - je enakovredno 180+180=360=0

Odgovori

Bo to delovalo?

Zanikanja so nasprotna. Zaradi poenostavitve, da bi se začasno oddaljili od minusov, bomo trditve zamenjali in povečali izhodišče. Začnimo šteti ne od nič, ampak od 1000.

Recimo, da mi dve osebi dolgujeta dva rublja: skupaj mi dolgujeta 2_osebi*2_rublja=4_rubljev. (moje stanje je 1004)

Zdaj inverzi (negativna števila, vendar inverzne/pozitivne izjave):

minus 2 osebi = pomeni, da mi niso dolžni, ampak jaz dolgujem (dolžen sem več ljudem kot oni meni). Na primer, dolgujem 10 ljudem, dolgujem pa le 8. Medsebojne izračune je mogoče zmanjšati in jih ne upoštevati, vendar lahko to upoštevate, če je bolj priročno delati s pozitivnimi številkami. Se pravi, da vsak drug drugemu daje denar.

minus 2 rublja = podoben princip - vzeti morate več, kot dati. Tako sem vsem dolžan dva rublja.

-(2_osebi)*2_rubljev=vsakemu_dobim_2_=-4 od mene. Moje stanje je 996 rubljev.

2_osebi*(-2_rublja) = dva_naj_vzameta_2_rublja_od_mene=- 4 od mene. Moje stanje je 996 rubljev.

-(2_osebe)*(-2_rublja) = vsak_bi_mi_vzel_manj_kot_bi_moral_dati_za_2_rublja

Na splošno, če si predstavljate, da se vse ne vrti okoli 0, ampak okoli, na primer, 1000, in dajo denar v korakih po 10, odvzamejo 8 v korakih, potem lahko dosledno izvajate vse operacije dajanja denarja oz odvzeti in prišli do zaključka, da če mi bosta dodatna dva (preostanek bomo zmanjšali z medsebojnim pobotom) vzela dva rublja manj, kot ju bodo vrnili, se bo moje počutje povečalo za pozitivno številko 4.

Odgovori

V iskanju PREPROSTEGA (otroku razumljivega) odgovora na zastavljeno vprašanje (»Zakaj minus na minusu daje plus«) sem natančno prebral članek, ki ga je predlagal avtor, in vse komentarje. Menim, da je najuspešnejši odgovor tisti, ki je vključen v epigraf: "Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj." Veliko bolj jasno! Enostavno in briljantno!

Neki popotnik prispe na otok, o prebivalcih katerega ve samo eno: nekateri govorijo samo resnico, drugi le laži. Navzven jih je nemogoče razlikovati. Popotnik pristane na obali in zagleda cesto. Želi izvedeti, ali ta cesta vodi v mesto. Ko na cesti vidi lokalnega prebivalca, mu postavi SAMO ENO vprašanje, s čimer ugotovi, da cesta vodi v mesto. Kako je to vprašal?

Rešitev je tri vrstice nižje (samo za premor in vam odraslim damo priložnost, da se ustavite in razmislite o tej čudoviti težavi!) Mojemu vnuku tretješolcu se je težava zdela nekoliko pretežka zanj, a razumevanje odgovora mu je nedvomno prineslo bližje razumevanju prihodnje matematične modrosti, kot je "minus za minus daje plus."

Torej je odgovor:

"Če bi te vprašal, ali ta cesta vodi v mesto, kaj bi mi rekel?"

»Algebraična« razlaga ni mogla omajati ne moje goreče ljubezni do očeta ne mojega globokega spoštovanja do njegove znanosti. Za vedno pa sem sovražil aksiomatsko metodo z njenimi nemotiviranimi definicijami.

Zanimivo je, da je ta odgovor I.V. Arnolda na otroško vprašanje praktično sovpadal z objavo njegove knjige Negativna števila v tečaju algebre. Tam (v 7. poglavju) je podan povsem drugačen odgovor, po mojem mnenju zelo jasen. Knjiga je na voljo v v elektronski obliki http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Odgovori

Če obstaja paradoks, morate iskati napake v osnovah. V formulaciji množenja so tri napake. Od tod izvira "paradoks". Samo dodati morate ničlo.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Množenje je vedno znova dodajanje (ali odštevanje) ničli.

Množitelj (4) prikazuje število operacij seštevanja ali odštevanja (število minusov ali plusov pri razgradnji množenja na seštevanje).

Znaka minus in plus za množitelja (4) pomenita odštevanje množitelja od nič ali dodajanje množitelja ničli.

V tem posebnem primeru (-4) označuje, da morate štirikrat odšteti ("-") od nič množitelja (-3) (4).

Popravite besedilo (tri logične napake). Dodajte samo ničlo. Pravila aritmetike se zaradi tega ne bodo spremenila.

Več podrobnosti o tej temi tukaj:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Kakšna je ta navada mehaničnega verjanja učbenikom? Imeti je treba tudi lastne možgane. Še posebej, če obstajajo paradoksi, slepe pege, očitna protislovja. Vse to je posledica napak v teoriji.

Produkt dveh negativnih števil je nemogoče razstaviti na člene glede na trenutno formulacijo množenja (brez ničle). Ali to nikogar ne moti?

Kakšna oblika množenja je to, ki onemogoča izvedbo množenja? :)

Težava je tudi čisto psihična. Slepo zaupanje avtoritetam, nepripravljenost razmišljati z lastno glavo. Če tako piše v učbenikih, če tako učijo v šoli, potem je to končna resnica. Vse se spreminja, tudi znanost. V nasprotnem primeru razvoja civilizacije ne bi bilo.

Popravite besedilo množenja v vseh učbenikih! Zaradi tega se pravila aritmetike ne bodo spremenila.

Poleg tega bo, kot izhaja iz zgoraj povezanega članka, popravljena formulacija množenja podobna formulaciji dviga števila na potenco. Tudi tam ob vgradnji ne zapišejo enote pozitivna stopnja. Ena pa je zapisana pri dvigovanju števila na negativno potenco.

Gospodje matematiki, vaša mama, vedno morate zapisati ničlo in ena, tudi če se zaradi njune odsotnosti rezultat ne spremeni.

Pomen skrajšanih zapisov se spremeni (ali celo izgine). In šolarji imajo težave z razumevanjem.

Odgovori

Napišite komentar

Ali pravilno razumemo množenje?

"- A in B sta sedela na cevi. A je padel, B je izginil, kaj je ostalo na cevi?
"Vaše pismo I ostaja."

(Iz filma "Mladi v vesolju")

Zakaj množenje števila z nič povzroči nič?

7 * 0 = 0

Zakaj z množenjem dveh negativnih števil nastane pozitivno število?

7 * (-3) = + 21

Učitelji najdejo vse, kar lahko, da bi odgovorili na ti dve vprašanji.

A nihče nima poguma priznati, da so v formulaciji množenja tri pomenske napake!

Ali je možna napaka pri osnovni aritmetiki? Navsezadnje se matematika postavlja kot natančna znanost ...

Šolski učbeniki matematike ne dajejo odgovorov na ta vprašanja, razlage nadomeščajo s pravili, ki si jih je treba zapomniti. Morda je to temo težko razložiti v srednji šoli? Poskusimo razumeti ta vprašanja.

7 je množitelj. 3 je množitelj. 21-delo.

Po uradnem besedilu:

pomnožiti število z drugim številom pomeni prišteti toliko množiteljev, kot jih predpisuje množitelj.

V skladu s sprejeto formulacijo nam faktor 3 pove, da bi morale biti na desni strani enakosti tri sedmice.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Toda ta formulacija množenja ne more pojasniti zgoraj zastavljenih vprašanj.

Popravimo besedilo množenja

Ponavadi je pri matematiki veliko mišljenega, a se o tem ne govori in ne zapisuje.

To se nanaša na znak plus pred prvimi sedmimi na desni strani enačbe. Zapišimo ta plus.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Toda čemu je dodano prvih sedem? To seveda pomeni na nulo. Zapišimo nulo.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Kaj pa, če pomnožimo s tri minus sedem?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Zapišemo seštevek množitelja -7, v resnici pa večkrat odštejemo od nič. Odprimo oklepaje.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Zdaj lahko damo natančnejšo formulacijo množenja.

Množenje je postopek večkratnega dodajanja (ali odštevanja od nič) množitelju (-7) tolikokrat, kot kaže množitelj. Množitelj (3) in njegov predznak (+ ali -) označujeta število operacij, ki se dodajo ali odštejejo od nič.

Z uporabo te izpopolnjene in nekoliko spremenjene formulacije množenja so preprosto razložena "predznakovalna pravila" za množenje, ko je množitelj negativen.

7 * (-3) - za ničlo morajo biti trije znaki minus = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - spet morajo biti trije znaki minus za ničlo =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Pomnoži z nič

7 * 0 = 0 + ... brez dodatka ničelnim operacijam.

Če je množenje dodatek k ničli in množitelj prikazuje število operacij dodajanja k ničli, potem množitelj nič kaže, da nič ni dodano nič. Zato ostaja nič.

Tako smo v obstoječi formulaciji množenja našli tri semantične napake, ki blokirajo razumevanje dveh "predznakovnih pravil" (ko je množitelj negativen) in množenje števila z ničlo.

Ni vam treba dodati množitelja, ampak ga dodajte ničli.
Množenje ni samo seštevanje na nič, ampak tudi odštevanje od nič.
Množitelj in njegov predznak ne kažeta števila členov, temveč število predznakov plus ali minus pri razgradnji množenja na člene (ali odštete).

Ko smo formulacijo nekoliko razjasnili, smo lahko razložili pravila predznakov za množenje in množenje števila z nič brez pomoči komutativnega zakona množenja, brez distribucijskega zakona, brez vpletanja analogij s številsko premico, brez enačb. , brez dokaza iz nasprotne strani itd.

Pravila znakov za prečiščeno formulacijo množenja so izpeljana zelo preprosto.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Množitelj in njegov znak (+3 ali -3) označujeta število znakov "+" ali "-" na desni strani enačbe.

Spremenjena formulacija množenja ustreza operaciji dviga števila na potenco.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (ena se ne pomnoži ali deli z ničemer, tako da ostane ena)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematiki se strinjajo, da dvig števila na pozitivno potenco pomeni večkratno množenje števila. In povišanje števila na negativno potenco je deljenje ena večkrat.

Operacija množenja bi morala biti podobna operaciji potenciranja.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (nič ni dodano nič in nič ni odšteto od nič)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Spremenjena formulacija množenja ne spreminja ničesar v matematiki, ampak vrača prvotni pomen operacije množenja, pojasnjuje "pravila znakov", množenje števila z ničlo in usklajuje množenje s potenciranjem.

Preverimo, ali je naša formulacija množenja skladna z operacijo deljenja.

15: 5 = 3 (obratno množenje 5 * 3 = 15)

Kvocient (3) ustreza številu operacij dodajanja na nič (+3) med množenjem.

Deljenje števila 15 s 5 pomeni ugotoviti, kolikokrat morate 5 odšteti od 15. To se naredi z zaporednim odštevanjem, dokler ne dobimo rezultata nič.

Če želite najti rezultat deljenja, morate prešteti število minusov. Trije so.

15: 5 = 3 operacije odštevanja pet od 15, da dobimo nič.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (delitev 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (množenje 5 * 3)

Deljenje z ostankom.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 in 2 ostanek

Če obstaja deljenje z ostankom, zakaj ne bi bilo množenja z dodatkom?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Poglejmo razliko v besedilu na kalkulatorju

Obstoječa formulacija množenja (trije členi).

10 + 10 + 10 = 30

Popravljena formulacija množenja (trije dodatki k ničelnim operacijam).

0 + 10 = = = 30

(Trikrat pritisnite »enako«.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množitelj 3 pomeni, da je treba množitelj 10 trikrat dodati ničli.

Poskusite pomnožiti (-10) * (-3) tako, da trikrat dodate člen (-10) minus!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Kaj pomeni znak minus za tri? Morda?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops ... produkta ne morem razstaviti na vsoto (ali razliko) členov (-10).

Spremenjeno besedilo je to pravilno.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množitelj (-3) pomeni, da je treba množitelj (-10) trikrat odšteti od nič.

Pravila znaka za seštevanje in odštevanje

Zgoraj smo pokazali preprost način za izpeljavo pravil znakov za množenje s spreminjanjem pomena besedila množenja.

Za zaključek pa smo uporabili pravila znakov za seštevanje in odštevanje. So skoraj enaki kot pri množenju. Ustvarimo vizualizacijo pravil znakov za seštevanje in odštevanje, da jo bo razumel tudi prvošolec.

Kaj je "minus", "negativ"?

V naravi ni nič negativnega. Ni negativne temperature, ni negativne smeri, ni negativne mase, ni negativnih nabojev ... Tudi sinus je po svoji naravi lahko le pozitiven.

Toda matematiki so prišli do negativnih števil. Za kaj? Kaj pomeni "minus"?

Znak minus pomeni nasprotno smer. Levo desno. Zgoraj spodaj. V smeri urinega kazalca - v nasprotni smeri urinega kazalca. Naprej in nazaj. Hladno - vroče. Lahka težka. Počasi - hitro. Če dobro razmislite, lahko navedete veliko drugih primerov, kjer je priročno uporabljati negativne vrednosti.

V svetu, ki ga poznamo, se neskončnost začne od nič in gre do plus neskončnosti.

"Minus neskončnost" v resnični svet ne obstaja. To je ista matematična konvencija kot koncept "minus".

Torej "minus" označuje nasprotno smer: gibanje, vrtenje, proces, množenje, seštevanje. Analizirajmo različne smeri pri seštevanju in odštevanju pozitivnih in negativnih (naraščajočih v drugo smer) števil.

Težave pri razumevanju pravil znakov za seštevanje in odštevanje so posledica dejstva, da so ta pravila običajno razložena na številski premici. Na številski premici se mešajo tri različne komponente, iz katerih izhajajo pravila. In zaradi zmede, zaradi zlaganja različnih pojmov na en kup, nastajajo težave z razumevanjem.

Da bi razumeli pravila, moramo razdeliti:

prvi člen in vsota (na vodoravni osi bosta);
drugi člen (bo na navpični osi);
smer operacij seštevanja in odštevanja.

Ta delitev je jasno prikazana na sliki. Mentalno si predstavljajte, da se navpična os lahko vrti in se prekriva z vodoravno osjo.

Operacija seštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v smeri urinega kazalca (znak plus). Operacija odštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v nasprotni smeri urnega kazalca (predznak minus).

Primer. Diagram v spodnjem desnem kotu.

Vidimo, da imata dva sosednja znaka minus (znak odštevalne operacije in znak števila 3) različna pomena. Prvi minus kaže smer odštevanja. Drugi minus je predznak števila na navpični osi.

Poiščite prvi člen (-2) na vodoravni osi. Drugi člen (-3) najdemo na navpični osi. Mentalno zavrtite navpično os v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler se (-3) ne poravna s številko (+1) na vodoravni osi. Število (+1) je rezultat seštevanja.

Operacija odštevanja

daje enak rezultat kot operacija seštevanja v diagramu v zgornjem desnem kotu.

Zato lahko dva sosednja znaka minus nadomestimo z enim znakom plus.

Vsi smo navajeni uporabljati že pripravljena aritmetična pravila, ne da bi razmišljali o njihovem pomenu. Zato pogosto sploh ne opazimo, kako se pravila znakov za seštevanje (odštevanje) razlikujejo od pravil znakov za množenje (deljenje). Ali se zdijo enaki? Skoraj ... Rahlo razliko lahko vidite na naslednji sliki.

Zdaj imamo vse, kar potrebujemo za izpeljavo predznakovnih pravil za množenje. Izhodno zaporedje je naslednje.

Nazorno pokažemo, kako dobimo pravila znakov za seštevanje in odštevanje.
Pomensko spremenimo obstoječo formulacijo množenja.
Na podlagi spremenjene formulacije množenja in pravil znakov za seštevanje izpeljemo pravila znakov za množenje.

Opomba.

Spodaj so napisani Pravila znaka za seštevanje in odštevanje, pridobljeno iz vizualizacije. In v rdeči barvi, za primerjavo, ista pravila znakov iz učbenika za matematiko. Sivi plus v oklepaju je nevidni plus, ki se ne zapiše za pozitivno število.

Med pojmi sta vedno dva znaka: znak operacije in znak števila (ne pišemo plusa, ampak mislimo). Pravila znakov predpisujejo zamenjavo enega para znakov z drugim parom brez spreminjanja rezultata seštevanja (odštevanja). Pravzaprav obstajata le dve pravili.

Pravili 1 in 3 (za vizualizacijo) - dvojnik pravil 4 in 2.. Pravili 1 in 3 v šolski interpretaciji ne sovpadata z vizualno shemo, zato ne veljata za pravila znakov za dodajanje. To so neka druga pravila...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Šolsko pravilo 1. (rdeča) omogoča zamenjavo dveh plusov zapored z enim plusom. Pravilo ne velja za zamenjavo znakov pri seštevanju in odštevanju.

Šolsko pravilo 3. (rdeča) dovoljuje, da po operaciji odštevanja ne zapišete plusa za pozitivno število. Pravilo ne velja za zamenjavo znakov pri seštevanju in odštevanju.

Pomen pravil znakov za seštevanje je zamenjava enega PARA znakov z drugim PAR znakov brez spreminjanja rezultata seštevanja.

Šolski metodologi so zmešali dve pravili v eno pravilo:

Dva pravila predznakov pri seštevanju in odštevanju pozitivnih in negativnih števil (zamenjava enega para predznakov z drugim parom predznakov);

Dve pravili, da ne pišete znaka plus za pozitivno število.

Dve različni pravili, pomešani v eno, sta podobni pravilom predznakov pri množenju, kjer dva predznaka povzročita tretjega. Izgledata popolnoma enako.

Velika zmeda! Še enkrat isto, za boljše razčesavanje. Označimo operacijske znake z rdečo barvo, da jih ločimo od številskih znakov.

1. Seštevanje in odštevanje. Dve predznakovni pravili, po katerih se pari predznakov med pojmi zamenjujejo. Znak operacije in znak številke.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dve pravili, po katerih je dovoljeno, da znaka plus za pozitivno število ne pišemo. To so pravila za prijavnico. Ne velja za dodajanje. Pri pozitivnem številu se zapiše samo predznak operacije.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Štiri pravila znakov za množenje. Kadar dva znaka dejavnikov povzročita tretji znak produkta. Znakovna pravila za množenje vsebujejo samo številska znamenja.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Zdaj, ko smo ločili pravila oblike, mora biti jasno, da predznakovna pravila za seštevanje in odštevanje niso prav nič podobna predznakovalnim pravilom za množenje.

V. Kozarenko

Zdaj si bomo ogledali primere odštevanje negativnih števil, in videli boste, da je zelo enostavno. Samo zapomniti si morate pravilo: dva minusa drug poleg drugega dajeta plus.

Primer 1: Odštevanje negativnega števila od pozitivnega števila

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Kot lahko vidite, morate za odštevanje negativnega števila od pozitivnega števila preprosto dodati njihove module.

Primer 2: Odštevanje negativnega števila od negativnega števila

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Tako se pri odštevanju negativnega števila od negativnega držimo pravila in na koncu lahko dobimo tako pozitivno kot negativno število.

Obstaja eno samo pravilo, ki ureja odštevanje poljubnih števil: tako negativnih kot pozitivnih, in zveni takole:

Pravilo znakov

Da se znebimo odvečnih oklepajev pri odštevanju negativnih števil, lahko uporabimo pravilo predznaka.To pravilo pravi:

Na primer:

Sedaj pa naredite test in se preizkusite!

Seštevanje in odštevanje negativnih števil

Časovna omejitev: 0

Navigacija (samo številke delovnih mest)

0 od 20 opravljenih nalog

"Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj"

Zakaj je minus ena krat minus ena enako plus ena? Zakaj je minus ena krat plus ena enako minus ena? Najlažji odgovor je: "Ker so to pravila za delovanje z negativnimi števili." Pravila, ki se jih naučimo v šoli in jih uporabljamo vse življenje. Učbeniki pa ne pojasnjujejo, zakaj so pravila takšna, kot so. Najprej bomo to poskušali razumeti na podlagi zgodovine razvoja aritmetike, nato pa bomo na to vprašanje odgovorili z vidika sodobne matematike.

Pred davnimi časi so ljudje poznali samo naravna števila: uporabljali so jih za štetje pripomočkov, plena, sovražnikov itd. Številke same po sebi pa so precej neuporabne - z njimi je treba znati ravnati. Seštevanje je jasno in razumljivo, poleg tega pa je naravno število tudi vsota dveh naravnih števil (matematik bi rekel, da je množica naravnih števil sklenjena glede na operacijo seštevanja). Če govorimo o naravnih številih, je množenje v bistvu enako seštevanju. V življenju pogosto izvajamo dejanja, povezana s tema dvema operacijama (na primer pri nakupovanju seštevamo in množimo), in nenavadno je misliti, da so se naši predniki srečevali z njimi manj pogosto - seštevanje in množenje je človeštvo obvladalo zelo dolgo nazaj. Pogosto morate nekatere količine deliti z drugimi, vendar tukaj rezultat ni vedno izražen kot naravno število - tako so se pojavila ulomna števila.

Seveda tudi brez odštevanja ne gre. Toda v praksi običajno odštejemo manjše število od večjega števila in ni treba uporabljati negativnih števil. (Če imam sladkarije in jih dam svoji sestri, mi bo ostalo nekaj sladkarij, vendar ji ne morem dati sladkarij, tudi če hočem.) To lahko pojasni, zakaj ljudje že dolgo ne uporabljajo negativnih števil.

Vzemimo enačbo kot primer. Rešimo ga lahko tako: člene z neznanko premaknemo na levo stran, ostale pa na desno, izkaže se , , . S to rešitvijo sploh nismo naleteli na negativna števila.

Vendar je bilo mogoče pomotoma narediti drugače: člene z neznanko premakniti na desno stran in dobiti , . Če želite najti neznanko, morate eno negativno število deliti z drugim: . Toda pravilen odgovor je znan in še vedno je treba sklepati, da .

Kaj dokazuje ta preprost primer? Prvič, postane jasna logika, ki je določala pravila za dejanja na negativnih številih: rezultati teh dejanj morajo sovpadati z odgovori, ki so pridobljeni na drugačen način, brez negativnih števil. Drugič, z dovoljenjem uporabe negativnih števil se znebimo dolgočasnega (če se enačba izkaže za bolj zapleteno, z velikim številom členov) iskanja rešitve, pri kateri se vsa dejanja izvajajo samo na naravnih številih. Še več, morda ne bomo več vsakič razmišljali o smiselnosti preoblikovanih količin - in to je že korak k temu, da matematiko spremenimo v abstraktno znanost.

Posledično se je pojavil nov koncept: prstan. To je samo niz elementov in dejanj, ki jih je mogoče izvesti na njih. Temeljna so tukaj ravno pravila (imenujejo se aksiomi), ki so podvržena dejanjem, in ne narava elementov nabora (tukaj je, nova raven abstrakcije!). V želji poudariti, da je pomembna struktura, ki nastane po uvedbi aksiomov, matematiki pravijo: obroč celih števil, obroč polinomov itd. Izhajajoč iz aksiomov je mogoče izpeljati druge lastnosti obročev.

Oblikovali bomo aksiome obroča (ki so seveda podobni pravilom za delovanje s celimi števili) in nato dokazali, da v vsakem obroču množenje minusa z minusom ustvari plus.

Obroč je niz z dvema binarnima operacijama (to pomeni, da vsaka operacija vključuje dva elementa obroča), ki ju tradicionalno imenujemo seštevanje in množenje, in naslednjimi aksiomi:

Zdaj pa dokažimo, da za vse elemente in poljuben obroč velja, prvič, , In drugič, . Iz tega zlahka sledijo izjave o enotah: in .

Za to bomo morali ugotoviti nekaj dejstev. Najprej dokažemo, da ima lahko vsak element samo eno nasprotje. Pravzaprav naj ima element dve nasprotji: in . To je .

Razmislimo o znesku. Z uporabo asociativnih in komutativnih zakonov ter lastnosti ničle ugotovimo, da je vsota na eni strani enaka , na drugi strani pa enaka . Pomeni,.

Upoštevajte zdaj, da sta oba in nasprotja istega elementa, zato morata biti enaka.

Prvo dejstvo se izkaže takole: to je, da je nasprotno, kar pomeni, da je enako.

In dejstvo, da je v obroču natanko ena ničla (navsezadnje aksiomi pravijo, da tak element obstaja, nič pa ne pove o njegovi edinstvenosti!), bomo bralcu prepustili kot preprosto vajo.

Če želimo biti matematično strogi, razložimo tudi, zakaj za kateri koli element. Prav zares, . To pomeni, da dodajanje ne spremeni količine. To pomeni, da je ta produkt enak nič.
Evgenij Epifanov

"Elementi"

Komentarji: 0

Richard Feynman

Vzame ocene: zhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzh - "Da," se strinja. In potem se mi posveti: ne pozna številk. Ko imate abakus, vam ni treba zapomniti veliko aritmetičnih kombinacij; le naučiti se moraš klikati s členki gor in dol. Ni treba zapomniti, da je 9 + 7 = 16; Veš le, da ko dodaš 9, moraš premakniti decimalno domino navzgor in enoto domino navzdol. Zato osnovne računske operacije izvajamo počasneje, poznamo pa števila.

Jacques Sesiano V dveh tisočletjih je prišlo do treh pomembnih širitev numerične domene. Prvič, okoli leta 450 pr. znanstveniki pitagorejske šole so dokazali obstoj iracionalna števila . Njihov začetni cilj je bilštevilski izraz

diagonale enotskega kvadrata. Drugič, v 13.–15. stoletju so evropski znanstveniki, ki so reševali sisteme linearnih enačb, dopuščali možnost ene negativne rešitve. In tretjič, leta 1572 je italijanski algebraist Raphael Bombelli uporabil kompleksna števila, da bi dobil resnično rešitev določene kubične enačbe.

Ilja Ščurov

Matematik Ilya Shchurov o decimalnih ulomkih, transcendenci in iracionalnosti števila Pi.

Namen te knjige je strogo opredeliti števila, polinome in algebraične ulomke ter utemeljiti njihove že iz šole znane lastnosti in ne seznanjati bralca z novimi lastnostmi. Zato bralec tu ne bo našel dejstev, ki so mu nova (mogoče z izjemo nekaterih lastnosti, realnih in kompleksnih števil), ampak bo izvedel, kako se dokazujejo stvari, ki so mu dobro znane, začenši z "dvakrat je štiri" in konča s pravili delovanja s polinomi in algebrskimi ulomki. Toda bralec se bo seznanil s številnimi splošnimi koncepti, ki igrajo pomembno vlogo v algebri.

O Diofantu vemo malo. Mislim, da je živel v Aleksandriji. Nihče od grških matematikov ga ne omenja pred 4. stoletjem, zato je verjetno živel sredi 3. stoletja. Najpomembnejše Diofantovo delo, »Aritmetika« (Ἀριθμητικά), je bilo na začetku 13 »knjig« (βιβλία), to je poglavij. Danes jih imamo 10, in sicer: 6 v grškem besedilu in 4 druge v srednjeveškem arabskem prevodu, katerih mesto je v sredini grških knjig: knjige I-III v grščini, IV-VII v arabščini, VIII-X. v grščini. Diofantova "Aritmetika" je predvsem zbirka problemov, skupaj približno 260. Resnici na ljubo ni teorije; V uvodu knjige so le splošna navodila, pri nekaterih problemih pa po potrebi tudi konkretni komentarji. »Aritmetika« ima že značilnosti algebraične razprave. Sprva uporablja Diofant različne znake za izražanje neznanke in njenih stopinj ter nekaj izračunov; tako kot vsa algebraična simbolika srednjega veka, njena simbolika izvira iz matematičnih besed. Nato Diofant razloži, kako algebraično rešiti problem. Toda Diofantovi problemi niso algebrski v običajnem smislu, saj se skoraj vsi zvodijo na reševanje nedoločene enačbe ali sistemov takih enačb.

Svet matematike je nepredstavljiv brez njih – brez praštevil. Kaj so praštevila, kaj so njihova posebna in kakšen pomen imajo Vsakdanje življenje? V tem filmu bo britanski profesor matematike Marcus du Sautoy razkril skrivnost praštevil.

Georgij Šabat

V šoli nam vsi vcepljajo zmotno idejo, da na množici racionalnih števil Q obstaja edinstvena naravna razdalja (modul razlike), glede na katero so vse aritmetične operacije zvezne. Obstaja pa tudi neskončno število razdalj, tako imenovanih p-adic, ena za vsako število p. Po teoremu Ostrovskega “navadna” distanca skupaj z vsemi p-adičnimi že v resnici izčrpa vse razumne distance Q. Izraz adelična demokracija je uvedel Yu I. Manin. V skladu z načelom adelne demokracije so vse razumne razdalje na Q enake pred zakoni matematike (morda le tradicionalno "malo=nekoliko enako ..."). z vsemi temi razdaljami hkrati.

Vladimir Arnold

J. L. Lagrange je dokazal, da je zaporedje nepopolnih količnikov (ki se začnejo z določenega mesta) periodično, če in samo če je število x kvadratna iracionalnost. R. O. Kuzmin je dokazal, da je v zaporedju nepopolnih količnikov skoraj katerega koli realnega števila ulomek d_m, ki je enak m nepopolnim količnikom, enak (za tipična realna števila). Ulomek d_m pada kot m→∞ kot 1/m^2 in njegovo vrednost je napovedal Gauss (ki ni dokazal ničesar). V.I. Arnol'd je (pred približno 20 leti) izrazil hipotezo, da Gauss–Kuzminova statistika d_m velja tudi za obdobja zveznih ulomkov korenov. kvadratne enačbe x^2+px+q=0 (s celim številom p in q): če skupaj zapišemo nepopolne količnike, ki sestavljajo periode vseh zveznih ulomkov korenov takih enačb s p^2+q^2≤R ^2, potem se bo delež nepopolnega kvocienta m med njimi nagibal k številu d_m kot R→∞. V. A. Bykovsky in njegovi učenci iz Habarovska so nedavno dokazali to dolgoletno hipotezo. Kljub temu vprašanje statistike ne črk, temveč iz njih sestavljenih besed, ki so periode zveznih ulomkov poljubnih korenov x enačb x^2+px+q=0, še zdaleč ni rešeno.

Tudi na temo

Vladavina in reforme Petra Velikega

Koliko besed je v ruščini in koliko besed v angleščini?

Oglejte si, kaj je "stopalo" v drugih slovarjih

Kako se je začelo odkrivanje naše galaksije

Slovanska kronologija: zgodovina