На цьому уроці ми згадаємо, що таке вираз алгебри, як знайти його значення при заданих значеннях змінних. З'ясуємо, які значення змінних можуть бути неприпустимими для цього виразу. А також навчимося виконувати різні дії з числовими та алгебраїчними виразами.

Визначення: Алгебраїчне вираз - це будь-яка складена зі змістом запис, яка може містити лише числа, літери, знаки дії та дужки. Наприклад, .

Можна обчислити значення виразу алгебри при заданих значеннях змінних, для цього достатньо підставити значення у вираз і виконати обчислення. Наприклад, за значення виразу : .

Завдання 1 . Знайдіть значення виразу при .

Рішення . Підставимо значення у вираз і виконаємо обчислення:

Відповідь: .

У задачі 1 вийшло розподілення на 0. Можна спробувати поділити 3 на 0, наприклад, на калькуляторі. Переконайтеся, що калькулятор не зміг знайти значення цього виразу. Не вийде й у нас. Поділ на 0 немає сенсу, не визначено.

Чому розподіл на нуль не визначено?

0 був уведений як частина великого механізму під назвою цілі числа для позначення відсутності чогось. 0 полегшує рахунок та запис чисел, але нульової кількості немає, на нього не вкажеш пальцем, тому сказати, скільки 0 міститься в іншому числі не можна.

Розділити 3 на 0 означає сказати, скільки разів на 3 нічого немає. Відповісти питанням, скільки у гаражі квадратних метрів можна, але відповісти, скільки у ньому порожнечі, - немає.

Якби був придуманий якийсь сенс для висловлювання, це суперечило б деяким відомим властивостям і визначенням, наприклад властивостям множення, тому розподіл на 0 не визначають.

Можна все ж таки спробувати розділити 3 на 0. Поділ - це дія, зворотне до множення, тобто, якщо .

Але за множенні на 0 завжди виходить 0, тобто. такого просто немає.

Розглянемо випадок розподілу 0 на 0, щоб не виникало відчуття, що він – особливий і відрізняється від розподілу 3 на 0.

Рівність буде справедливою для будь-кого, тому що результат розподілу повинен бути конкретним числом. Знову отримуємо протиріччя.

Тому розподіл на 0 у математиці не визначено.

Підставити в алгебраїчне вираз можна будь-яке число, але не завжди вдасться порахувати його значення.

Визначення: такі значення змінної, у яких вираз не визначено (не можна обчислити його значення), називають неприпустимими значеннями.

На даний момент ми знайомі лише з одним таким випадком. Наприклад, якщо у вираженні є дріб або поділ, то ми не будемо підставляти у вираз такі значення змінної, у яких знаменник звертається до 0: .

Є й інші випадки появи неприпустимих значень змінних, але ми дізнаємося пізніше, з вивчення різних функцій.

Розглянемо приклади визначення неприпустимих значень змінних у висловлюваннях.

Приклад 1

Рішення . Вираз є дріб, тому його знаменник неспроможна звертатися до 0: .

Отже, неприпустимим значенням змінної є 0, тобто. вираз визначено для будь-яких.

Відповідь: 0.

Приклад 2 . Визначити неприпустимі значення змінної у виразі.

Рішення . Вираз є дріб, тому його знаменник не може звертатися в 0: .

Отже, неприпустимим значенням змінної є 5, тобто. вираз визначено для будь-яких.

Відповідь: 5.

Де ще можна зустріти поділ на нуль?

Доведемо, що . Введемо змінні, нехай.

Отримаємо рівність:

Перегрупуємо складові та отримаємо:

Винесемо загальний множник за дужки в кожній частині рівності:

Розділимо обидві частини рівності на та отримаємо:

Отримали, що . У чому каверза? Річ у тім, що у наш «доказ» вкралася помилка: було виконано розподіл на 0 при розподілі обох частин рівності вираз (за припущенням ці числа рівні: ).

Це приклад математичного софізму- затвердження із доказом, у якому криються помилки. Софізми бувають не тільки математичними, наприклад фраза «Ти не втрачав те, що в тебе є. Ти не втрачав роги та хвіст. Значить, у тебе є роги та хвіст» містить логічну помилку: з першої фрази не випливає, що в тебе є все, що ти не втрачав.

Найбільш відомими софізмами є апорії Зенона. Детальніше дізнатися про них ви можете цієюпосилання.

Ми вже стикалися з еквівалентними виразами, коли наводили дроби до спільного знаменника. Ми записували ланцюжки еквівалентних дробів та вибирали з них ті, у яких однаковий знаменник:

І

Наприклад, у разі це будуть дроби: .

Еквівалентні висловлювання можна заміняти один одним, від цього зміст і значення запису не зміниться.

Наприклад, нехай є вираз. Можна виконати множення та отримати вираз. Обидва ці числові вирази рівні, еквівалентні.

Якщо ж виконати всі події у якомусь числовому вираженні, то вийде його значення: , тобто. - Значення числового виразу. Виконавши всі дії, ми спростили числовий вираз.

Алгебраїчні вирази можуть бути записані по-різному, але означати те саме, наприклад: і .

Чи можна сказати, що вираз спрощено? Зазвичай під спрощенням мають на увазі еквівалентну запис у такому вигляді, щоб для обчислення значення виразу потрібно було виконати якнайменше дій.

Наприклад, щоб обчислити значення виразу при заданому значенні змінної необхідно виконати 3 дії, а виразу - одне дію. Звичайно, різниця в 2 дії невелика, але, якби таку операцію потрібно було б зробити 50 разів, тоді різниця була б вже в цілих 100 дій.

Завдання 2 . Доведіть, що вираз еквівалентно виразу.

Доказ

Двічі скористаємося розподільчим законом:

Завдання 3 . Спростіть вираз: .

Рішення . Скористаємося формулою різниці квадратів:

Відповідь: .

Порівняємо кількість дій, які необхідно зробити, щоб обчислити перше вираз і друге. У першому випадку потрібно було виконати 5 дій, а в другому – лише 1. У таких випадках кажуть, що ми спростили вираз алгебри.

Неприпустимі значення змінних

Знайдемо неприпустимі значення змінних висловлювання: .

Знаменник дробу містить змінні, визначимо, коли він звернеться до 0:

Тобто. неприпустимим значеннями змінних будуть протилежні значення. Наприклад, якщо , то .

Еквівалентність виразів

Висловлювання і є еквівалентними будь-яких і , т.к. перше вираз не визначено, коли , а друге вираз визначено за будь-яких значеннях змінних і .

Тобто. ці вирази будуть еквівалентними тільки для таких і , які не є протилежними числами.

Завдання 4 . Спростіть вираз: .

Якісь математичні висловлювання ми можемо записати різними способами. Залежно від наших цілей того, чи вистачає нам даних і т.д. Числові та алгебраїчні виразивідрізняються тим, що ми записуємо лише числами, об'єднаними з допомогою символів арифметичних процесів (складання, віднімання, множення, розподіл) і дужок.

Якщо замість чисел ввести у вираз латинські літери (змінні), воно стане алгебраїчним. В алгебраїчних виразах використовуються літери, числа, знаки складання та віднімання, множення та поділу. А також може бути використаний знак кореня, ступеня, дужки.

У будь-якому випадку, числове це вираз або алгебраїчне, воно не може бути просто випадковим набором знаків, чисел і букв – у ньому має бути сенс. Це означає, що букви, числа, знаки мають бути пов'язані якимись відносинами. Правильний приклад: 7х + 2: (у + 1). Поганий приклад): + 7х - *1.

Вище було згадано слово «змінна» – що воно означає? Це латинська буква, натомість можна підставити число. І якщо говоримо про змінних, у разі алгебраїчні висловлювання можна назвати алгебраїчною функцією.

Змінна може набувати різних значень. І підставляючи якесь число на її місце, ми можемо знайти значення виразу алгебри при цьому конкретному значенні змінної. Коли значення змінної інше, іншим буде значення виразу.

Як вирішувати вирази алгебри?

Для обчислення значень потрібно робити перетворення алгебраїчних виразів. А для цього вам потрібно врахувати кілька правил.

По-перше: областю визначення алгебраїчних виразів є всі можливі значення змінної, у яких цей вираз може мати сенс. Що мається на увазі? Наприклад, не можна підставляти таке значення змінної, у якому довелося б ділити на нуль. У виразі 1/(х – 2) з області визначення треба виключити 2.

По-друге, запам'ятайте, як спрощувати вирази: розкладати на множники, виносити за дужки однакові змінні тощо. Наприклад: якщо поміняти місцями доданки, сума від цього не зміниться (у + х = х + у). Аналогічно і твір не зміниться, якщо поміняти місцями множники (х * у = у * х).

А взагалі для спрощення алгебраїчних виразів відмінно служать формули скороченого множення. Тим, хто їх ще не вивчив, обов'язково треба це зробити – однаково знадобляться неодноразово:

знаходимо різницю змінних, зведених у квадрат: х 2 – у 2 = (х – у) (х + у);

знаходимо суму, зведену в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2;

обчислюємо різницю, зведену в квадрат: (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2;

зводимо суму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 або (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху (х + у);

зводимо в куб різницю: (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 або (х - у) 3 = х 3 - у 3 - 3ху (х - у);

знаходимо суму змінних, зведених у куб: х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2);

обчислюємо різницю змінних, зведених у куб: х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2);

використовуємо коріння: ха 2 + уа + z = х (а - а 1) (а - а 2), а 1 і а 2 - це коріння виразу ха 2 + уа + z.

Ще вам варто мати уявлення про види виразів алгебри. Вони бувають:

раціональні, і ті у свою чергу поділяються на:

цілі (у них немає поділу на змінні, немає вилучення коренів із змінних і немає зведення в дробовий ступінь): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ). Область визначення – всі можливі значення змінних;

дробові(крім інших математичних операцій, на кшталт складання, віднімання, множення, у цих виразах ділять на змінну і зводять у ступінь (з натуральним показником): (2/b – 3/a + с/4) 2. Область визначення – всі значення змінних, у яких вираз не дорівнює нулю;

ірраціональні – щоб алгебраїчне вираз вважалося таким, у ньому має бути зведення змінних у ступінь з дробовим показником та/або вилучення коренів із змінних: √а + b 3/4 . Область визначення – всі значення змінних, крім тих, у яких вираз під коренем парного ступеня чи під дробовим ступенем стає негативним числом.

Тотожні перетворення алгебраїчних виразів- Ще один корисний прийом для їх вирішення. Тотожність - такий вираз, який буде вірним за будь-яких вхідних в область визначення змінних, які в нього підставлять.

Вираз, яке залежить від деяких змінних, може бути тотожно дорівнює іншому виразу, якщо то залежить від тих же змінних і якщо значення обох виразів рівні, які значення змінних не були обрані. Іншими словами, якщо вираз можна висловити двома різними способами (виразами), значення яких однакові, ці вирази тотожно рівні. Наприклад: у + у = 2у, або х 7 = х 4 * х 3 або x + y + z = z + x + y.

При виконанні завдань з виразами алгебри тотожне перетворення служить для того, щоб один вираз можна було замінити на інше, тотожне йому. Наприклад, замінити х 9 на твір х 5 * х 4 .

Приклади рішення

Щоб було зрозуміліше, розберемо кілька прикладів перетворення алгебраїчних виразів. Завдання такого рівня можуть потрапити у КІМах на ЄДІ.

Завдання 1: Знайти значення виразу ((12х) 2 - 12х) / (12х 2 -1).

Рішення: ((12х) 2 - 12х) / (12х 2 - 1) = (12х (12х -1)) / х * (12х - 1) = 12.

Завдання 2: Знайти значення виразу (4х2 - 9) * (1 / (2х - 3) - 1 / (2х +3).

Рішення: (4х 2 - 9) * (1 / (2х - 3) - 1 / (2х +3) = (2х - 3) (2х + 3) (2х + 3 - 2х + 3) / (2х - 3) ) (2х + 3) = 6.

Висновок

Під час підготовки до шкільних контрольних, іспитів ЄДІ та ДПА ви завжди можете використовувати цей матеріал як підказку. Тримайте у пам'яті, що алгебраїчним виразом називається комбінація з чисел та змінних, виражених латинськими літерами. А ще знаків арифметичних операцій (складання, віднімання, множення, поділ), дужок, ступенів, коріння.

Використовуйте формули скороченого множення та знання про тотожні рівність, щоб перетворювати алгебраїчні вирази.

Пишіть нам свої зауваження та побажання у коментарях – нам важливо знати, що ви читаєте.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Алгебраїчний вираз- це будь-який запис з букв, чисел, знаків арифметичних дій та дужок, складений із змістом. Власне, алгебраїчне вираз – це числове вираз , у якому крім чисел використовуються ще й букви. Тому алгебраїчні вирази також називають літерними виразами.

В основному в буквених виразах використовують літери латинського алфавіту. Навіщо ж ці літери? Натомість ми можемо підставити різні числа. Тому ці літери називаються змінними. Тобто, вони можуть змінювати своє значення.

Приклади виразів алгебри.

$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (xy);\,\,\,\,\,\frac(ab)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(align)$

Якщо, наприклад, у виразі x + 5 ми підставимо замість змінної х якесь число, ми отримаємо числове вираз. При цьому значення цього числового виразу буде значенням алгебраїчного виразу x + 5 при даному значенні змінної. Тобто при x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. А при x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.

Бувають такі значення змінної, у якому алгебраїчне вираз втрачає сенс. Так, наприклад, буде, якщо вираз 1:x ми підставимо замість x значення 0.
Бо на нуль ділити не можна.

Область визначення алгебраїчного виразу.

Безліч значень змінної, у яких вираз не втрачає сенс, називається областю визначенняцього виразу. Також можна сказати, що область визначення виразу – це множина всіх допустимих значень змінної.

Розглянемо приклади:

1. y+5 – областю визначення будуть будь-які значення y.
2. 1:x – вираз матиме сенс при всіх значеннях x, крім 0. Тому областю визначення будуть будь-які значення x за винятком нуля.
3. (x+y):(x-y) – область визначення – будь-які значення x та y, при яких x ≠ y.

Види алгебраїчних виразів.

Раціональні вирази алгебри– це цілі та дробові алгебраїчні вирази.

1. Ціле вираз алгебри – не містить зведення в ступінь з дробовим показником, вилучення кореня з змінної, а також поділу на змінну. У цілих виразах алгебри всі значення змінних є допустимими. Наприклад, ax + bx + c - ціле вираз алгебри.
2. Дробне – містить поділ на змінну. $\frac(1)(a)+bx+c$ - дрібне алгебраїчне вираз. У дробових алгебраїчних виразах допустимими є значення змінних, у яких немає поділу на нуль.

Ірраціональні вирази алгебримістять вилучення кореня із змінної або зведення змінної в дробовий ступінь.

$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- ірраціональні вирази алгебри. У ірраціональних алгебраїчних виразах допустимими є значення змінних, у яких вираз, що стоїть під знаком кореня парного ступеня не негативно.

Числові та алгебраїчні вирази. Перетворення виразів.

Що таке вираз у математиці? Навіщо потрібні перетворення виразів?

Питання, як кажуть, цікаве... Справа в тому, що ці поняття – основа всієї математики. Вся математика складається з виразів та його перетворень. Не дуже зрозуміло? Поясню.

Допустимо, перед вами злий приклад. Дуже великий та дуже складний. Допустимо, ви сильні в математиці і нічого не боїтеся! Чи зможете відразу дати відповідь?

Вам доведеться вирішуватицей приклад. Послідовно, крок за кроком, цей приклад спрощувати. За певними правилами, звісно. Тобто. робити перетворення виразів. Наскільки успішно ви проведете ці перетворення, настільки ви сильні в математиці. Якщо ви не вмієте робити правильні перетворення, у математиці ви не зможете зробити нічого...

Щоб уникнути такого незатишного майбутнього (або сьогодення...), не заважає розібратися в цій темі.

Для початку з'ясуємо, що таке вираз у математиці. Що таке числовий виразі що таке алгебраїчний вираз.

Що таке вираз у математиці?

Вираз у математиці– це дуже широке поняття. Майже все те, з чим ми маємо справу в математиці - це набір математичних виразів. Будь-які приклади, формули, дроби, рівняння тощо - це все складається з математичних виразів.

3+2 – це математичний вираз. з 2 - d 2- Це теж математичний вираз. І здоровий дріб, і навіть одне число - це все математичні висловлювання. Рівняння, наприклад, ось таке:

5х + 2 = 12

складається з двох математичних виразів, поєднаних знаком рівності. Один вираз – ліворуч, другий – праворуч.

У загальному вигляді термін " математичний виразЗастосовуються, найчастіше, щоб не мукати. Запитають вас, що таке звичайний дріб, наприклад? І як відповісти?!

Перший варіант відповіді: "Це... м-м-м-м... така штука... у якій... А можна я краще напишу дріб? Вам яку?

Другий варіант відповіді: "Звичайний дріб - це (бадьоро і радісно!) математичний вираз , Що складається з чисельника та знаменника!"

Другий варіант якось солідніше буде, правда?)

Ось у цих цілях фраза " математичний вираз дуже хороша. І правильно, і солідно. Але для практичного застосування треба добре розбиратися в конкретних видах виразів у математиці .

Конкретний вид-це інша справа. Це зовсім інша справа!У кожного виду математичних виразів є свійнабір правил та прийомів, який необхідно використовувати під час вирішення. Для роботи з дробами – один набір. Для роботи з тригонометричними виразами – другий. Для роботи з логарифмами – третій. І так далі. Десь ці правила збігаються, десь різко відрізняються. Але не лякайтеся цих страшних слів. Логарифми, тригонометрію та інші загадкові речі ми освоюватимемо у відповідних розділах.

Тут ми освоїмо (або - повторимо, кому як...) два основні види математичних виразів. Числові вирази та алгебраїчні вирази.

Числові висловлювання.

Що таке числовий вираз? Це дуже звичайне поняття. Сама назва натякає, що це вираз із числами. Та так воно і є. Математичний вираз, складений із чисел, дужок та знаків арифметичних дій називається числовим виразом.

7-3 - числове вираження.

(8 +3,2) · 5,4 - теж числове вираження.

І ось цей монстр:

теж числове вираження, так...

Звичайне число, дріб, будь-який приклад на обчислення без іксів та інших літер – все це числові вирази.

Головна ознака числовоговисловлювання - у ньому немає букв. Жодних. Тільки числа та математичні значки (якщо треба). Все просто, правда?

І що можна робити з числовими виразами? Числові висловлювання, зазвичай, вважатимуться. І тому доводиться, буває, розкривати дужки, міняти знаки, скорочувати, міняти місцями доданки - тобто. робити перетворення виразів. Але про це трохи нижче.

Тут же ми розберемося з таким кумедним випадком, коли з числовим виразом нічого робити не треба.Ну ось зовсім нічого! Ця приємна операція - нічого не робити)- виконується, коли вираз не має сенсу.

Коли числове вираження немає сенсу?

Зрозуміло, якщо ми бачимо перед собою якусь абракадабру, типу

щось робити нічого і не будемо. Бо незрозуміло, що із цим робити. Безглуздя якесь. Хіба що, порахувати кількість плюсиків.

Але бувають зовні цілком пристойні висловлювання. Наприклад таке:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однак, цей вираз теж не має сенсу! З тієї простої причини, що в других дужках - якщо порахувати - виходить нуль. А на нуль ділити не можна! Це заборонена операція з математики. Отже, із цим виразом теж нічого робити не треба. За будь-якого завдання з таким виразом, відповідь буде завжди одна: "Вираз не має сенсу!"

Щоб дати таку відповідь, довелося, звичайно, порахувати, що у дужках буде. А іноді в скобочках такого наворочено... Ну, тут уже нічого не поробиш.

Заборонених операцій у математиці не так уже й багато. У цій темі – лише одна. Ділення на нуль. Додаткові заборони, що виникають у коренях та логарифмах, обговорюються у відповідних темах.

Отже, уявлення про те, що таке числовий вираз– отримали. Концепція числове вираження немає сенсу- усвідомили. Їдемо далі.

Алгебраїчні вирази.

Якщо у числовому вираженні з'являються літери - це вираз стає... Вираз стає... Так! Воно стає алгебраїчним виразом. Наприклад:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 м/н; x 2+4x-4; (а+b) 2; ...

Ще такі вирази називають літерними виразами.Або виразами із змінними.Це, практично, одне й те саме. Вираз 5а +с, Наприклад - і буквене, і алгебраїчне, і вираз зі змінними.

Концепція алгебраїчний вираз -ширше, ніж числове. Воно включає в себеі всі числові висловлювання. Тобто. числове вираз - це теж алгебраїчне вираз, лише без літер. Будь-яка оселедець - риба, але не всяка риба - оселедець...)

Чому буквене- Зрозуміло. Ну, якщо літери є... Фраза вираз зі зміннимитеж не сильно спантеличує. Якщо розуміти, що під буквами ховаються цифри. Будь-які числа можуть ховатися під буквами... І 5, і -18, і все, що завгодно. Тобто букву можна замінюватина різні числа. Тому літери і називаються змінними.

У виразі у+5, наприклад, у- Змінна величина. Або кажуть просто змінна", без слова "величина". На відміну від п'ятірки, яка – величина постійна. Або просто - постійна.

Термін алгебраїчний виразозначає, що для роботи з цим виразом необхідно використовувати закони та правила алгебри. Якщо арифметикапрацює з конкретними числами, то алгебра- З усіма числами разом. Простий приклад пояснення.

В арифметиці можна записати, що

А ось якщо ми таку рівність запишемо через алгебраїчні вирази:

а + b = b + a

ми відразу вирішимо Усепитання. Для всіх чиселмахом. Для всієї нескінченної кількості. Тому що під літерами аі bмаються на увазі Усечисла. І не тільки числа, а й інші математичні висловлювання. Ось так працює алгебра.

Коли вираз алгебри не має сенсу?

Про числове вираз все відомо. Там на нуль ділити не можна. А з літерами, хіба можна дізнатися, на що ділимо?

Візьмемо для прикладу такий вираз зі змінними:

2: (а - 5)

Чи має воно сенс? Та хто ж його знає? а- будь-яке число...

Будь-яке будь-яке... Але є одне значення а, при якому цей вираз точноне має сенсу! І що за число? Так! Це 5! Якщо змінну азамінити (говорять - "підставити") на число 5, у дужках нуль вийде. На яку ділити не можна. Ось і виходить, що наш вираз не має сенсу, якщо а = 5. Але при інших значеннях асенс є? Інші числа підставити можна?

Звичайно. Просто у таких випадках кажуть, що вираз

2: (а - 5)

має сенс для будь-яких значень а, крім а = 5 .

Весь набір чисел, які можна, можливопідставляти в заданий вираз, називається областю допустимих значеньцього виразу.

Як бачите, нічого хитрого нема. Дивимося на вираз зі змінними, та розуміємо: за якого значення змінної виходить заборонена операція (розподіл на нуль)?

А потім обов'язково дивимось на запитання завдання. Чого питають?

не має сенсу, наше заборонене значення буде відповіддю.

Якщо запитують, за якого значення змінної вираз має сенс(відчуйте різницю!), відповіддю будуть всі інші числакрім забороненого.

Навіщо нам сенс висловлювання? Є він, немає його... Яка різниця? Справа в тому, що це поняття стає дуже важливим у старших класах. Вкрай важливим! Це основа таких солідних понять, як область допустимих значень чи область визначення функції. Без цього ви взагалі зможете вирішувати серйозні рівняння чи нерівності. Ось так.

Перетворення виразів. Тотожні перетворення.

Ми познайомилися з числовими та алгебраїчними виразами. Зрозуміли, що означає фраза "вираз немає сенсу". Тепер треба розібратися, що таке перетворення виразів.Відповідь проста, до неподобства.) Це будь-яка дія з виразом. І все. Ви ці перетворення робили із першого класу.

Візьмемо крутий числовий вираз 3+5. Як його можна перетворити? Так, дуже просто! Порахувати:

Ось цей розрахунок і буде перетворення виразу. Можна записати те саме вираз по-іншому:

Тут ми взагалі нічого не рахували. Просто записали вираз у іншому вигляді.Це також буде перетворенням висловлювання. Можна записати ось так:

І це теж – перетворення вираження. Таких перетворень можна зробити скільки хочеш.

Будь-якедія над виразом, будь-яказапис його в іншому вигляді називається перетворенням виразу. І всі справи. Все дуже просто. Але є тут одне дуже важливе правило.Таке важливе, що його сміливо можна назвати головним правиломвсієї математики. Порушення цього правила неминучепризводить до помилок. Вникаємо?)

Припустимо, ми перетворили наш вираз абияк, ось так:

Перетворення? Звичайно. Ми ж записали вираз у іншому вигляді, що тут не так?

Все не так.) Справа в тому, що перетворення "абияк"математику не цікавлять взагалі.) Вся математика побудована на перетвореннях, у яких змінюється зовнішній вигляд, але суть висловлювання не змінюється.Три плюс п'ять можна записати в будь-якому вигляді, але це має бути вісім.

Перетворення, не міняючі суті вираженняназиваються тотожними.

Саме тотожні перетворенняі дозволяють нам, крок за кроком, перетворювати складний приклад на простий вираз, зберігаючи суть прикладу.Якщо в ланцюжку перетворень ми помилимося, зробимо не тотожне перетворення, далі ми вирішуватимемо вже іншийприклад. З іншими відповідями, які не мають відношення до правильних.)

Ось і головне правило вирішення будь-яких завдань: дотримання тотожності перетворень.

Приклад із числовими виразами 3+5 я навів для наочності. У алгебраїчних висловлюваннях тотожні перетворення даються формулами та правилами. Скажімо, в алгебрі є формула:

a(b+c) = ab + ac

Отже, ми у будь-якому прикладі можемо замість висловлювання a(b+c)сміливо написати вираз ab + ac. І навпаки. Це тотожне перетворення.Математика надає нам вибір із цих двох виразів. А яке з них писати - від конкретного прикладу залежить.

Ще приклад. Одне з найголовніших і необхідних перетворень – це основна властивість дробу. Докладніше можна за посиланням подивитися, а тут просто нагадаю правило: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, або нерівне нулю вираз, дріб не зміниться.Ось вам приклад тотожних перетворень за цією властивістю:

Як ви, напевно, здогадалися, цей ланцюжок можна продовжувати до нескінченності... Дуже важлива властивість. Саме воно дозволяє перетворювати всякі монстри-приклади на білі та пухнасті.)

Формул, що задають тотожні перетворення - багато. Але найголовніших – цілком розумна кількість. Одне з базових перетворень – розкладання на множники. Воно використовується у всій математиці – від елементарної до вищої. З нього і почнемо. У наступному уроці.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».

Тобто, якщо ти підставиш замість букв якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останнім дією буде додавання чи віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Приклади:

Рішення:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «скоротити» одиниці типу:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.

Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша справа, якщо дроби містять букви, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

Відповіді:

b) Знаменники містять літери

Пригадаймо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не спільні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спочатку розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і примножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Виходить, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й ті самі множники, тільки всі з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника та знаменника дробу можна віднімати (або додавати) одне й те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся лише операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоби отримати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».

Наприклад, це елементарний множник. - теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо виразу? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(про розкладання на множники ти вже читав у темі «Розділ»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними таким же чином.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у мірі (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто помножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі… І справді:

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли подекуди, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер приводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів аж три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється на протилежний. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

До загального знаменника виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну давай подумаємо: усередині дужок написаний якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо під час роботи з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – уявити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простішим.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і вже потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.

Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.

Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.
• Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
• Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник та знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

• Додавання та віднімання дробів:
  ;
• Розмноження та розподіл дробів:
  ;