Tarea 1
La lógica es simple: haremos lo que hicimos antes, ¡a pesar de que las funciones trigonométricas ahora tienen un argumento más complejo!
Si tuviéramos que resolver una ecuación de la forma:
Entonces escribiríamos la siguiente respuesta:
O porque)
Pero ahora estamos jugando la siguiente expresión:
Entonces puedes escribir:
¡Nuestro objetivo con usted es hacer que se pare a la izquierda simplemente, sin "impurezas"!
¡Vamos a deshacernos de ellos!
Primero, elimina el denominador en: para hacer esto, multiplica nuestra igualdad por:
Ahora nos deshacemos de dividir ambas partes por ella:
Ahora vamos a deshacernos de los ocho:
La expresión resultante se puede escribir como 2 series de soluciones (por analogía con una ecuación cuadrática, donde sumamos o restamos el discriminante)
¡Necesitamos encontrar la raíz negativa más grande! Está claro que es necesario ordenar.
Veamos primero la primera serie:
Está claro que si tomamos, como resultado obtendremos números positivos, pero no estamos interesados en ellos.
Por lo tanto, debe tomarse negativo. Permitir.
Cuando la raíz ya estará:
¡Y necesitamos encontrar el mayor negativo! Así que ir en la dirección negativa aquí ya no tiene sentido. Y la raíz negativa más grande de esta serie será igual.
Ahora considere la segunda serie:
Y de nuevo sustituimos: , luego:
¡No interesado!
¡Entonces ya no tiene sentido aumentarlo! ¡Reduzcamos! Sea entonces:
¡Encaja!
Permitir. Luego
Entonces, ¡la raíz negativa más grande!
Responder:
Tarea 2
Nuevamente, resolvemos, independientemente del argumento del coseno complejo:
Ahora volvemos a expresar por la izquierda:
Multiplica ambos lados por
Dividir ambos lados
Todo lo que queda es moverlo hacia la derecha, cambiando su signo de menos a más.
Nuevamente obtenemos 2 series de raíces, una con y la otra con.
Necesitamos encontrar la raíz negativa más grande. Considere la primera serie:
Está claro que obtendremos la primera raíz negativa en, será igual y será la raíz negativa más grande en la serie 1.
Para la segunda serie
La primera raíz negativa también se obtendrá en y será igual a. Dado que, entonces es la mayor raíz negativa de la ecuación.
Responder: .
Tarea #3
Nosotros decidimos, independientemente del complejo argumento de la tangente.
Eso parece no ser nada complicado, ¿verdad?
Como antes, expresamos en el lado izquierdo:
Bueno, eso es genial, ¡generalmente solo hay una serie de raíces! De nuevo, encuentra el mayor negativo.
Está claro que resulta que si ponemos . Y esta raíz es igual.
Responder:
Ahora trata de resolver los siguientes problemas por tu cuenta.
Tarea o 3 tareas para solución independiente.
- Re-shi-te ecuación.
- Re-shi-te ecuación.
En from-ve-te on-pi-shi-te la raíz más pequeña de in-lo-zhi-tel-ny. - Re-shi-te ecuación.
En from-ve-te on-pi-shi-te la raíz más pequeña de in-lo-zhi-tel-ny.
¿Listo? Verificamos. No describiré en detalle todo el algoritmo de solución, me parece que ya se le ha prestado suficiente atención anteriormente.
Bueno, ¿está todo bien? ¡Oh, esos desagradables senos paranasales, siempre hay algunos problemas con ellos!
Bueno, ¡ahora puedes resolver las ecuaciones trigonométricas más simples!
Mira las soluciones y respuestas:
Tarea 1
Rápido
La raíz positiva más pequeña se obtiene si ponemos, ya que, entonces
Responder:
Tarea 2
La raíz positiva más pequeña se obtendrá en.
Él será igual.
Responder: .
Tarea #3
Cuando lleguemos, cuando tengamos.
Responder: .
Este conocimiento te ayudará a resolver muchos de los problemas que enfrentarás en el examen.
Si está solicitando una calificación de "5", solo necesita proceder a leer el artículo para nivel medio, que se dedicará a la resolución de ecuaciones trigonométricas más complejas (tarea C1).
NIVEL PROMEDIO
En este artículo describiré solución de ecuaciones trigonométricas de un tipo más complejo y cómo seleccionar sus raíces. Aquí me centraré en los siguientes temas:
- Ecuaciones trigonométricas para el nivel de entrada (ver arriba).
Ecuaciones trigonométricas más complejas son la base de problemas de mayor complejidad. Requieren resolver la ecuación en sí misma en forma general y encontrar las raíces de esta ecuación que pertenecen a algún intervalo dado.
La solución de ecuaciones trigonométricas se reduce a dos subtareas:
- Solución de ecuación
- Selección de raíz
Cabe señalar que no siempre se requiere el segundo, pero aún así en la mayoría de los ejemplos se requiere hacer una selección. Y si no es necesario, entonces puede simpatizar, esto significa que la ecuación es bastante complicada en sí misma.
Mi experiencia con el análisis de tareas C1 muestra que generalmente se dividen en las siguientes categorías.
Cuatro categorías de tareas de mayor complejidad (anteriormente C1)
- Ecuaciones que se reducen a factorización.
- Ecuaciones que se reducen a la forma.
- Ecuaciones Resueltas por Cambio de Variable.
- Ecuaciones que requieren una selección adicional de raíces debido a la irracionalidad o al denominador.
En pocas palabras: si obtiene uno de los primeros tres tipos de ecuaciones entonces considérate afortunado. Para ellos, como regla, es necesario seleccionar adicionalmente las raíces que pertenecen a un cierto intervalo.
Si te encuentras con una ecuación de tipo 4, eres menos afortunado: necesitas jugar con ella más tiempo y con más cuidado, pero con frecuencia no requiere una selección adicional de raíces. No obstante, analizaré este tipo de ecuaciones en el próximo artículo, y éste lo dedicaré a resolver ecuaciones de los tres primeros tipos.
Reducción de ecuaciones a factorización
Lo más importante que debes recordar para resolver ecuaciones de este tipo es
Como muestra la práctica, por regla general, este conocimiento es suficiente. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1. Una ecuación que se reduce a factorización usando las fórmulas de reducción y el seno de un ángulo doble
- Re-shi-te ecuación
- Encuentra-di-esas todas las raíces de esta ecuación
Aquí, como prometí, funcionan las fórmulas de casting:
Entonces mi ecuación se verá así:
Entonces mi ecuación tomará la siguiente forma:
Un estudiante miope podría decir: ¡y ahora voy a reducir ambas partes, obtener la ecuación más simple y disfrutar de la vida! ¡Y se equivocará amargamente!
| RECUERDE: ¡NUNCA REDUZCA AMBAS PARTES DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA PARA UNA FUNCIÓN QUE CONTIENE LO DESCONOCIDO! ¡DE ESTA MANERA, SE PIERDE LA RAÍZ! |
¿Entonces lo que hay que hacer? Sí, todo es simple, transfiera todo en una dirección y saque el factor común:
Bueno, lo hemos factorizado, ¡hurra! Ahora decidimos:
La primera ecuación tiene raíces:
Y el segundo:
Esto completa la primera parte del problema. Ahora tenemos que seleccionar las raíces:
La brecha es así:
O también se puede escribir así:
Bueno, vamos a tomar las raíces:
Primero, trabajemos con la primera serie (¡y es más fácil, por decir lo menos!)
Dado que nuestro intervalo es completamente negativo, no hay necesidad de tomar los no negativos, todavía darán raíces no negativas.
Asumámoslo, entonces, un poco demasiado, no encaja.
Vamos, entonces - de nuevo no golpeó.
Un intento más - entonces - ahí, ¡golpea! ¡Primera raíz encontrada!
Vuelvo a disparar: luego, ¡golpeo de nuevo!
Bueno, una vez más: - esto ya es un vuelo.
Entonces de la primera serie, 2 raíces pertenecen al intervalo: .
Estamos trabajando con la segunda serie (estamos construyendo a una potencia según la regla):
¡Subir!
Falta otra vez!
¡Otra vez el déficit!
¡Entiendo!
¡Vuelo!
Por lo tanto, las siguientes raíces pertenecen a mi lapso:
Usaremos este algoritmo para resolver todos los demás ejemplos. Practiquemos un ejemplo más juntos.
Ejemplo 2. Una ecuación que se reduce a factorización usando fórmulas de reducción
- Resuelve la ecuación
Solución:
De nuevo las notorias fórmulas de reparto:
De nuevo, ¡no intentes cortar!
La primera ecuación tiene raíces:
Y el segundo:
Ahora de nuevo la búsqueda de raíces.
¡Comenzaré con la segunda serie, ya sé todo sobre ella del ejemplo anterior! Mire y asegúrese de que las raíces que pertenecen a la brecha sean las siguientes:
Ahora la primera serie y es más simple:
Si - adecuado
Si - también bueno
Si - ya vuelo.
Entonces las raíces serán:
Trabajo independiente. 3 ecuaciones.
Bueno, ¿entiendes la técnica? ¿Resolver ecuaciones trigonométricas ya no parece tan difícil? Luego, resuelva rápidamente los siguientes problemas usted mismo, y luego usted y yo resolveremos otros ejemplos:
- Resuelve la ecuación
Encuentra todas las raíces de esta ecuación que están unidas a la brecha. - Re-shi-te ecuación
Indique las raíces de la ecuación, que están unidas al corte. - Re-shi-te ecuación
Encuentre-di-esas todas las raíces de esta ecuación, en-arriba-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Ecuación 1
Y de nuevo la fórmula de casting:
Primera serie de raíces:
Segunda serie de raíces:
Comenzamos la selección para el intervalo.
Responder: , .
ecuación 2 Comprobación del trabajo independiente.
Agrupación bastante complicada en factores (usaré la fórmula para el seno de un ángulo doble):
entonces o
Esta es una solución general. Ahora tenemos que tomar las raíces. El problema es que no podemos decir el valor exacto de un ángulo cuyo coseno es igual a un cuarto. Por lo tanto, no puedo simplemente deshacerme del arcocoseno, ¡qué molestia!
Lo que puedo hacer es averiguar eso desde entonces.
Hagamos una tabla: intervalo:
Bueno, a través de búsquedas dolorosas, llegamos a la decepcionante conclusión de que nuestra ecuación tiene una raíz en el intervalo indicado: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Ecuación 3. Verificación del trabajo independiente.
Una ecuación aterradora. Sin embargo, se resuelve de forma muy sencilla aplicando la fórmula del seno de un ángulo doble:
Vamos a reducirlo en 2:
Agrupamos el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto y sacamos los factores comunes:
Está claro que la primera ecuación no tiene raíces, y ahora considere la segunda:
En general, iba a detenerme en resolver tales ecuaciones un poco más tarde, pero como apareció, no había nada que hacer, teníamos que decidir ...
Ecuaciones de la forma:
Esta ecuación se resuelve dividiendo ambos lados por:
Por lo tanto, nuestra ecuación tiene una sola serie de raíces:
Necesitas encontrar aquellos de ellos que pertenecen al intervalo: .
Construyamos la tabla de nuevo, como lo hice antes:
Responder: .
Ecuaciones que se reducen a la forma:
Bueno, ahora es momento de pasar a la segunda parte de las ecuaciones, sobre todo porque ya expliqué en qué consiste la solución del nuevo tipo de ecuaciones trigonométricas. Pero no estará de más repetir que la ecuación de la forma
Se resuelve dividiendo ambas partes por el coseno:
- Re-shi-te ecuación
Indique las raíces de la ecuación que están unidas al corte. - Re-shi-te ecuación
Indique las raíces de la ecuación, en-arriba-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Ejemplo 1
El primero es bastante simple. Muévase hacia la derecha y aplique la fórmula del coseno de doble ángulo:
¡Ajá! Tipo ecuación: . Divido ambas partes en
Hacemos eliminación de raíz:
Brecha:
Responder:
Ejemplo 2
Todo es también bastante trivial: abramos los paréntesis de la derecha:
Identidad trigonométrica básica:
Seno de un doble ángulo:
Finalmente obtenemos:
Cribado de raíces: brecha.
Responder: .
Bueno, ¿qué te parece la técnica, no es demasiado complicada? Espero que no. Inmediatamente podemos hacer una reserva: en su forma pura, las ecuaciones que se reducen inmediatamente a una ecuación para la tangente son bastante raras. Por lo general, esta transición (dividir por el coseno) es solo una parte de un problema mayor. Aquí tienes un ejemplo para que practiques:
- Re-shi-te ecuación
- Encuentre-di-esas todas las raíces de esta ecuación, en-arriba-le-zha-schie de corte.
Vamos a revisar:
La ecuación se resuelve inmediatamente, basta dividir ambas partes por:
Tamizado de raíces:
Responder: .
De una forma u otra, todavía tenemos que encontrar ecuaciones del tipo que acabamos de discutir. Sin embargo, todavía es demasiado pronto para terminar: hay una "capa" más de ecuaciones que no hemos analizado. Entonces:
Solución de ecuaciones trigonométricas por cambio de variable
Aquí todo es transparente: miramos de cerca la ecuación, la simplificamos lo más posible, hacemos un reemplazo, resolvemos, ¡hacemos un reemplazo inverso! En palabras, todo es muy fácil. Veámoslo en acción:
Ejemplo.
- Resuelve la ecuación: .
- Encuentre-di-esas todas las raíces de esta ecuación, en-arriba-le-zha-schie de corte.
Bueno, ¡aquí el reemplazo en sí mismo se sugiere en nuestras manos!
Entonces nuestra ecuación se convierte en esta:
La primera ecuación tiene raíces:
Y el segundo es así:
Ahora encontremos las raíces que pertenecen al intervalo
Responder: .
Veamos juntos un ejemplo un poco más complejo:
- Re-shi-te ecuación
- Indique las raíces de la ecuación dada, en-arriba-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Aquí el reemplazo no es inmediatamente visible, además, no es muy obvio. Pensemos primero: ¿qué podemos hacer?
Podemos, por ejemplo, imaginar
Y al mismo tiempo
Entonces mi ecuación se convierte en:
Y ahora atención, foco:
Dividamos ambos lados de la ecuación en:
¡De repente, tú y yo obtuvimos una ecuación cuadrática para! Hagamos una sustitución, entonces obtenemos:
La ecuación tiene las siguientes raíces:
Una desagradable segunda serie de raíces, ¡pero no hay nada que hacer! Hacemos una selección de raíces en el intervalo.
También tenemos que tener en cuenta que
desde entonces
Responder:
Para consolidar, antes de que resuelva los problemas usted mismo, aquí hay otro ejercicio para usted:
- Re-shi-te ecuación
- Encuentre-di-esas todas las raíces de esta ecuación, en-arriba-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Aquí debe mantener los ojos abiertos: ¡tenemos denominadores que pueden ser cero! Por lo tanto, ¡debes estar especialmente atento a las raíces!
En primer lugar, necesito transformar la ecuación para poder hacer una sustitución adecuada. No puedo pensar en nada mejor en este momento que reescribir la tangente en términos de seno y coseno:
Ahora pasaré de coseno a seno según la identidad trigonométrica básica:
Y finalmente, traeré todo a un denominador común:
Ahora puedo ir a la ecuación:
Pero en (es decir, en).
Ahora todo está listo para el reemplazo:
Entonces tambien
Sin embargo, tenga en cuenta que si, ¡entonces al mismo tiempo!
¿Quién sufre de esto? El problema es con la tangente, no está definida cuando el coseno es cero (se produce la división por cero).
Entonces las raíces de la ecuación son:
Ahora filtramos las raíces en el intervalo:
| - encaja | |
| - búsqueda |
Por lo tanto, nuestra ecuación tiene una sola raíz en el intervalo y es igual.
Verá: la apariencia del denominador (así como la tangente, ¡lleva a ciertas dificultades con las raíces! ¡Debe tener más cuidado aquí!).
Bueno, tú y yo casi hemos terminado el análisis de ecuaciones trigonométricas, queda muy poco, para resolver dos problemas por nuestra cuenta. Aquí están.
- Resuelve la ecuación
Encuentre-di-esas todas las raíces de esta ecuación, en-arriba-le-zha-schie de corte. - Re-shi-te ecuación
Indique las raíces de esta ecuación, que están unidas al corte.
¿Decidido? ¿No es muy difícil? Vamos a revisar:
- Trabajamos según las fórmulas de reducción:
Sustituimos en la ecuación:
Reescribamos todo en términos de cosenos, para que sea más conveniente hacer el reemplazo:
Ahora es fácil hacer la sustitución:
Es claro que es una raíz extraña, ya que la ecuación no tiene soluciones. Luego:
Estamos buscando las raíces que necesitamos en el intervalo
Responder: .
Aquí el reemplazo es inmediatamente visible:Entonces tambien
- ¡encaja! - ¡encaja! - ¡encaja! - ¡encaja! - ¡muchos! - ¡también mucho! Responder:
Bueno, ahora todo! Pero la solución de ecuaciones trigonométricas no termina ahí, dejamos atrás los casos más difíciles: cuando hay irracionalidad o varios tipos de “denominadores complejos” en las ecuaciones. Cómo resolver tales tareas, lo consideraremos en un artículo para un nivel avanzado.
NIVEL AVANZADO
Además de las ecuaciones trigonométricas consideradas en los dos artículos anteriores, consideramos otra clase de ecuaciones que requieren un análisis aún más cuidadoso. Estos ejemplos trigonométricos contienen una irracionalidad o un denominador, lo que dificulta su análisis.. Sin embargo, es posible que encuentre estas ecuaciones en la Parte C del examen. Sin embargo, hay un resquicio de esperanza: para tales ecuaciones, por regla general, ya no se plantea la cuestión de cuáles de sus raíces pertenecen a un intervalo dado. No nos andemos con rodeos, sino solo ejemplos trigonométricos.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación y encuentra las raíces que pertenecen al segmento.
Solución:
¡Tenemos un denominador que no debe ser igual a cero! Entonces resolver esta ecuación es lo mismo que resolver el sistema
Resolvamos cada una de las ecuaciones:
Y ahora el segundo:
Ahora veamos la serie:
Está claro que la opción no nos conviene, ya que en este caso el denominador se pone a cero (ver la fórmula para las raíces de la segunda ecuación)
Si, ¡entonces todo está en orden y el denominador no es igual a cero! Entonces las raíces de la ecuación son: , .
Ahora seleccionamos las raíces pertenecientes al intervalo.
| - no adecuado | - encaja | |
| - encaja | - encaja | |
| enumeración | enumeración |
Entonces las raíces son:
Verás, incluso la aparición de una pequeña interferencia en forma de denominador afectó significativamente la solución de la ecuación: descartamos una serie de raíces que anulan el denominador. Las cosas pueden complicarse aún más si te encuentras con ejemplos trigonométricos que tienen irracionalidad.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación:
Solución:
Bueno, al menos no necesitas seleccionar las raíces, ¡y eso es bueno! Primero resolvamos la ecuación, independientemente de la irracionalidad:
¿Y qué, eso es todo? ¡No, por desgracia, eso sería demasiado fácil! Debe recordarse que solo los números no negativos pueden estar debajo de la raíz. Luego:
Solución a esta desigualdad:
Ahora queda por averiguar si una parte de las raíces de la primera ecuación no cayó sin darse cuenta en un lugar donde la desigualdad no se cumple.
Para hacer esto, puede usar nuevamente la tabla:
| : , pero | ¡No! | |
| ¡Sí! | ||
| ¡Sí! |
¡Por lo tanto, una de las raíces se “cayó” para mí! Resulta que si pones . Entonces la respuesta se puede escribir de la siguiente manera:
Responder:
Verá, ¡la raíz requiere una atención aún más cercana! Compliquemos: ahora tengo una función trigonométrica debajo de la raíz.
Ejemplo 3
Como antes: primero resolveremos cada uno por separado, y luego pensaremos en lo que hemos hecho.
Ahora la segunda ecuación:
Ahora lo mas dificil es saber si se obtienen valores negativos bajo la raiz aritmetica si sustituimos ahi las raices de la primera ecuacion:
El número debe entenderse como radianes. Dado que un radián se trata de grados, los radianes se refieren a grados. Esta es la esquina del segundo cuarto. ¿Cuál es el signo del coseno del segundo cuarto? Menos. ¿Qué pasa con el seno? Más. Entonces, ¿qué pasa con la expresión:
¡Es menos que cero!
Entonces - no es la raíz de la ecuación.
Ahora gira.
Comparemos este número con cero.
La cotangente es una función decreciente en 1 cuarto (cuanto menor es el argumento, mayor es la cotangente). los radianes son aproximadamente grados. Al mismo tiempo
desde entonces y por lo tanto
,
Responder: .
¿Podría ser aún más difícil? ¡Por favor! Será más difícil si la raíz sigue siendo una función trigonométrica y la segunda parte de la ecuación es nuevamente una función trigonométrica.
Cuantos más ejemplos trigonométricos mejor, busca más:
Ejemplo 4
La raíz no es adecuada, debido al coseno limitado.
Ahora el segundo:
Al mismo tiempo, por definición de la raíz:
Debemos recordar el círculo unitario: es decir, aquellos cuartos donde el seno es menor que cero. ¿Qué son estos cuartos? Tercero y cuarto. Entonces nos interesarán aquellas soluciones de la primera ecuación que se encuentran en el tercer o cuarto cuadrante.
La primera serie da raíces que se encuentran en la intersección de los cuartos tercero y cuarto. La segunda serie es diametralmente opuesta a ésta y da lugar a raíces situadas en el borde del primer y segundo cuartel. Por lo tanto, esta serie no nos conviene.
Responder: ,
Y otra vez ejemplos trigonométricos con "irracionalidad difícil". ¡No solo tenemos nuevamente una función trigonométrica debajo de la raíz, sino que ahora también está en el denominador!
Ejemplo 5
Bueno, no hay nada que hacer, actuamos como antes.
Ahora trabajamos con el denominador:
No quiero resolver la desigualdad trigonométrica y, por lo tanto, lo haré con trampa: tomaré y sustituiré mi serie de raíces en la desigualdad:
Si es par, entonces tenemos:
ya que, entonces, todos los ángulos de la vista se encuentran en el cuarto cuarto. Y de nuevo la pregunta sagrada: ¿cuál es el signo del seno en el cuarto cuarto? Negativo. Entonces la desigualdad
Si es impar, entonces:
¿En qué cuarto está el ángulo? Esta es la esquina del segundo cuarto. Entonces todas las esquinas son nuevamente las esquinas del segundo cuarto. El seno es positivo. ¡Justo lo que necesitas! Entonces la serie es:
¡Encaja!
Tratamos la segunda serie de raíces de la misma manera:
Sustituir en nuestra desigualdad:
Si es par, entonces
Córners del primer cuarto. El seno es positivo allí, por lo que la serie es adecuada. Ahora bien, si es impar, entonces:
encaja también!
¡Pues ahora anotamos la respuesta!
Responder:
Bueno, este fue quizás el caso más laborioso. Ahora te ofrezco tareas para una solución independiente.
Capacitación
- Resuelve y encuentra todas las raíces de la ecuación que pertenecen al segmento.
Soluciones:
Primera ecuación:
o
ODZ raíz:Segunda ecuación:
Selección de raíces que pertenecen al intervalo
Responder:
O
o
Pero
Considerar: . Si es par, entonces
- ¡no se ajusta!
Si - impar, : - encaja!
Entonces nuestra ecuación tiene la siguiente serie de raíces:
o
Selección de raíces en el intervalo:
| - no adecuado | - encaja | |
| - encaja | - muchos | |
| - encaja | muchos |
Responder: , .
O
Desde entonces, cuando la tangente no está definida. ¡Descarta inmediatamente esta serie de raíces!
La segunda parte:
Al mismo tiempo, ODZ requiere que
Comprobamos las raíces encontradas en la primera ecuación:
Si firmar:
Ángulos del primer cuarto, donde la tangente es positiva. ¡No adecuado!
Si firmar:
Esquina del cuarto cuarto. Allí la tangente es negativa. Encaja. Anota la respuesta:
Responder: , .
Hemos desglosado ejemplos trigonométricos complejos en este artículo, pero deberías poder resolver las ecuaciones por ti mismo.
RESUMEN Y FÓRMULA BÁSICA
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está estrictamente bajo el signo de la función trigonométrica.
Hay dos formas de resolver ecuaciones trigonométricas:
La primera forma es usando fórmulas.
La segunda forma es a través de un círculo trigonométrico.
Le permite medir ángulos, encontrar sus senos, cosenos y más.
Ecuaciones trigonométricas .
Las ecuaciones trigonométricas más simples. .
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
Ecuaciones trigonométricas. Una ecuación que contiene una incógnita bajo el signo de la función trigonométrica se llama trigonométrico.
Las ecuaciones trigonométricas más simples.
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. La solución de la ecuación trigonométrica consta de dos etapas: transformación de ecuaciones para que sea sencillo tipo (ver arriba) y soluciónobtenido más simple ecuación trigonométrica. Hay siete Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
1. Método algebraico. Este método es bien conocido por nosotros del álgebra.
(sustitución de variables y método de sustitución).
2. Factorización. Veamos este método con ejemplos.
EJEMPLO 1. Resuelve la ecuación: pecado X+ porque X = 1 .
Solución Mover todos los términos de la ecuación a la izquierda:
Pecado X+ porque X – 1 = 0 ,
Transformemos y factoricemos la expresión en
Lado izquierdo de la ecuación:
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación: porque 2 X+ pecado X porque X = 1.
SOLUCIÓN porque 2 X+ pecado X porque X– pecado 2 X– porque 2 X = 0 ,
Pecado X porque X– pecado 2 X = 0 ,
Pecado X(porque X– pecado X ) = 0 ,
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación: porque 2 X– porque 8 X+ porque 6 X = 1.
SOLUCIÓN porque 2 X+ porque 6 X= 1 + cos8 X,
2 porque 4 X porque 2 X= 2 porque² 4 X ,
Porque 4 X · (porque 2 X– porque 4 X) = 0 ,
Porque 4 X 2 pecado 3 X pecado X = 0 ,
una). porque 4 X= 0, 2). pecado 3 X= 0, 3). pecado X = 0 ,
| 3. |
Casting a ecuación uniforme. La ecuacion llamado homogéneo de relativamente pecado Y porque , si todo ello términos del mismo grado con respecto a pecado Y porque el mismo ángulo. Para resolver una ecuación homogénea, necesitas: pero) mover todos sus miembros hacia el lado izquierdo; B) poner todos los factores comunes fuera de paréntesis; en) igualar todos los factores y corchetes a cero; GRAMO) los paréntesis puestos a cero dan ecuación homogénea de menor grado, que debe dividirse por porque(o pecado) en el grado superior; D) resolver la ecuación algebraica resultante con respecto abroncearse . EJEMPLO Resolver Ecuación: 3 pecado 2 X+ 4 pecado X porque X+ 5 porque 2 X = 2. Solución: 3sen 2 X+ 4 pecado X porque X+ 5 porque 2 X= 2 sen 2 X+ 2 porque 2 X , pecado 2 X+ 4 pecado X porque X+ 3 porque 2 X = 0 , bronceado 2 X+ 4 bronceado X + 3 = 0 , de aquí y 2 + 4y +3 = 0 , Las raíces de esta ecuación son:y 1 = - 1, y 2 = - 3, por lo tanto 1) bronceado X= –1, 2) bronceado X = –3, |
4. Transición a media esquina. Veamos este método con un ejemplo:
EJEMPLO Resolver Ecuación: 3 pecado X– 5cos X = 7.
Solución: 6 pecado ( X/ 2) porque ( X/ 2) – 5cos² ( X/ 2) + 5 sen² ( X/ 2) =
7 pecado² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,
2 pecado² ( X/ 2) – 6 pecado ( X/ 2) porque ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,
bronceado²( X/ 2) – 3 bronceado ( X/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Introducción de un ángulo auxiliar. Considere una ecuación de la forma:
a pecado X + B porque X = C ,
Donde a, B, C– coeficientes;X- desconocido.
Ahora los coeficientes de la ecuación tienen las propiedades de seno y coseno, a saber: módulo (valor absoluto) de cada
Las ecuaciones trigonométricas no son el tema más fácil. Dolorosamente son diversos.) Por ejemplo, estos:
sen2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
senx + cos2x + tg3x = ctg4x
Etc...
Pero estos (y todos los demás) monstruos trigonométricos tienen dos características comunes y obligatorias. Primero - no lo vas a creer - hay funciones trigonométricas en las ecuaciones.) Segundo: todas las expresiones con x son dentro de estas mismas funciones.¡Y sólo allí! Si x aparece en alguna parte fuera de, por ejemplo, sen2x + 3x = 3, esta será una ecuación de tipo mixto. Tales ecuaciones requieren un enfoque individual. Aquí no los consideraremos.
Tampoco resolveremos ecuaciones malvadas en esta lección.) Aquí trataremos con las ecuaciones trigonométricas más simples.¿Por qué? Sí, porque la decisión ninguna Las ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas. En la primera etapa, la ecuación del mal se reduce a una simple mediante varias transformaciones. En el segundo, se resuelve esta ecuación más simple. Ninguna otra manera.
Entonces, si tiene problemas en la segunda etapa, la primera etapa no tiene mucho sentido).
¿Cómo son las ecuaciones trigonométricas elementales?
senx = un
cos x = a
tgx = un
ctgx = un
Aquí pero representa cualquier número. Ninguna.
Por cierto, dentro de la función puede que no haya una x pura, sino algún tipo de expresión, como por ejemplo:
cos(3x+π /3) = 1/2
etc Esto complica la vida, pero no afecta el método de resolución de la ecuación trigonométrica.
¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas?
Las ecuaciones trigonométricas se pueden resolver de dos maneras. La primera forma: usando la lógica y un círculo trigonométrico. Exploraremos este camino aquí. La segunda forma, usando memoria y fórmulas, se considerará en la próxima lección.
La primera forma es clara, confiable y difícil de olvidar). Es buena para resolver ecuaciones trigonométricas, desigualdades y todo tipo de ejemplos engañosos no estándar. ¡La lógica es más fuerte que la memoria!
Resolvemos ecuaciones usando un círculo trigonométrico.
Incluimos lógica elemental y la habilidad de usar un círculo trigonométrico. ¿No puedes? Sin embargo... Te será difícil en trigonometría...) Pero no importa. Eche un vistazo a las lecciones "Círculo trigonométrico ... ¿Qué es?" y "Contar ángulos en un círculo trigonométrico". Allí todo es sencillo. A diferencia de los libros de texto...)
Ah, ¿sabes? ¿¡E incluso dominó "Trabajo práctico con un círculo trigonométrico"!? Acepta felicitaciones. Este tema será cercano y comprensible para usted). Lo que es especialmente agradable es que al círculo trigonométrico no le importa qué ecuación resuelva. Seno, coseno, tangente, cotangente: todo es igual para él. El principio de solución es el mismo.
Así que tomamos cualquier ecuación trigonométrica elemental. Al menos esto:
cos x = 0,5
necesito encontrar x. Hablando en lenguaje humano, necesitas encuentra el ángulo (x) cuyo coseno es 0.5.
¿Cómo usamos el círculo antes? Le dibujamos una esquina. En grados o radianes. Y inmediatamente visto funciones trigonométricas de este ángulo. Ahora hagamos lo contrario. Dibuja un coseno igual a 0.5 en el círculo e inmediatamente ya veremos inyección. Solo queda escribir la respuesta.) ¡Sí, sí!
Dibujamos un círculo y marcamos el coseno igual a 0,5. En el eje del coseno, por supuesto. Me gusta esto:
Ahora dibujemos el ángulo que nos da este coseno. Pase el mouse sobre la imagen (o toque la imagen en una tableta) y ver este mismo rincón X.
¿Qué ángulo tiene un coseno de 0.5?
x \u003d π / 3
porque 60°= porque( π /3) = 0,5
Algunas personas gruñirán con escepticismo, sí... Dicen, ¿valió la pena cerrar el círculo, cuando todo está claro de todos modos... Puedes, por supuesto, gruñir...) Pero el hecho es que esto es un error. responder. O mejor dicho, insuficiente. Los conocedores del círculo entienden que todavía hay un montón de ángulos que también dan un coseno igual a 0,5.
Si giras el lado móvil OA por una vuelta completa, el punto A volverá a su posición original. Con el mismo coseno igual a 0,5. Esos. el ángulo cambiará 360° o 2π radianes, y el coseno no lo es. El nuevo ángulo 60° + 360° = 420° también será una solución a nuestra ecuación, porque
Hay un número infinito de tales rotaciones completas... Y todos estos nuevos ángulos serán soluciones a nuestra ecuación trigonométrica. Y todos ellos necesitan ser escritos de alguna manera. Todo. De lo contrario, la decisión no se considera, sí ...)
Las matemáticas pueden hacer esto simple y elegantemente. En una respuesta corta, escribe conjunto infinito soluciones Así es como se ve para nuestra ecuación:
x = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
voy a descifrar. Todavía escribe significativamente mejor que dibujar estúpidamente algunas letras misteriosas, ¿verdad?)
π /3 es el mismo ángulo que nosotros vio en el círculo y identificado según la tabla de cosenos.
2π es una vuelta completa en radianes.
norte - este es el número de completo, es decir entero revoluciones Está claro que norte puede ser 0, ±1, ±2, ±3.... y así sucesivamente. Como lo indica la entrada breve:
norte ∈ Z
norte pertenece ( ∈ ) al conjunto de enteros ( Z ). Por cierto, en lugar de la letra norte se pueden usar letras k, m, t etc
Esta notación significa que puede tomar cualquier número entero norte . Al menos -3, al menos 0, al menos +55. Qué quieres. Si conecta ese número en su respuesta, obtiene un ángulo específico, que seguramente será la solución a nuestra dura ecuación).
O, en otras palabras, x \u003d π / 3 es la única raíz de un conjunto infinito. Para obtener todas las demás raíces, basta con sumar cualquier número de vueltas completas a π / 3 ( norte ) en radianes. Esos. 2πn radián.
¿Todo? No. Específicamente estiro el placer. Para recordar mejor.) Recibimos solo una parte de las respuestas a nuestra ecuación. Escribiré esta primera parte de la solución de la siguiente manera:
x 1 = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
x1 - no una raíz, es toda una serie de raíces, escritas en forma abreviada.
¡Pero hay otros ángulos que también dan un coseno igual a 0,5!
Volvamos a nuestra imagen, según la cual escribimos la respuesta. Aqui esta ella:
Mueva el mouse sobre la imagen y ver otro rincón que también da un coseno de 0.5.¿A qué crees que equivale? Los triángulos son iguales... ¡Sí! es igual al ángulo X , solo graficada en la dirección negativa. esta es la esquina -X. Pero ya hemos calculado x. π /3 o 60°. Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:
x 2 \u003d - π / 3
Y, por supuesto, sumamos todos los ángulos que se obtienen mediante giros completos:
x 2 = - π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo ahora.) En un círculo trigonométrico, vio(que entienda, por supuesto)) todosángulos que dan un coseno igual a 0.5. Y escribieron estos ángulos en una forma matemática breve. La respuesta es dos series infinitas de raíces:
x 1 = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
Esta es la respuesta correcta.
Esperar, principio general para resolver ecuaciones trigonométricas con la ayuda de un círculo es comprensible. Marcamos el coseno (seno, tangente, cotangente) de la ecuación dada en el círculo, dibujamos los ángulos correspondientes y escribimos la respuesta. Por supuesto, debes averiguar qué tipo de esquinas somos. vio en el circulo A veces no es tan obvio. Bueno, como dije, aquí se requiere lógica).
Por ejemplo, analicemos otra ecuación trigonométrica:
¡Tenga en cuenta que el número 0.5 no es el único número posible en las ecuaciones!) Simplemente es más conveniente para mí escribirlo que raíces y fracciones.
Trabajamos según el principio general. Dibujamos un círculo, marcamos (¡en el eje del seno, por supuesto!) 0.5. Dibujamos a la vez todos los ángulos correspondientes a este seno. Obtenemos esta imagen:
Tratemos primero con el ángulo. X en el primer trimestre. Recordamos la tabla de senos y determinamos el valor de este ángulo. El asunto es sencillo:
x \u003d π / 6
Recordamos turnos completos y, con la conciencia tranquila, anotamos la primera serie de respuestas:
x 1 = π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
La mitad del trabajo está hecho. Ahora tenemos que definir segunda esquina... Esto es más complicado que en cosenos, sí... ¡Pero la lógica nos salvará! Cómo determinar el segundo ángulo a través de x? ¡Sí, fácil! Los triángulos en la imagen son iguales y la esquina roja X igual al ángulo X . Solo se cuenta a partir del ángulo π en sentido negativo. Por eso es rojo.) Y para la respuesta, necesitamos un ángulo medido correctamente desde el semieje positivo OX, es decir desde un ángulo de 0 grados.
Pase el cursor sobre la imagen y vea todo. Eliminé la primera esquina para no complicar la imagen. El ángulo que nos interesa (dibujado en verde) será igual a:
π - x
x lo sabemos π /6 . Entonces el segundo ángulo será:
π - π /6 = 5π /6
Nuevamente, recordamos la adición de revoluciones completas y escribimos la segunda serie de respuestas:
x 2 = 5π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo. Una respuesta completa consta de dos series de raíces:
x 1 = π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
Las ecuaciones con tangente y cotangente se pueden resolver fácilmente usando el mismo principio general para resolver ecuaciones trigonométricas. A menos, por supuesto, que sepas dibujar la tangente y la cotangente en un círculo trigonométrico.
En los ejemplos anteriores, utilicé el valor tabular de seno y coseno: 0,5. Esos. uno de esos significados que el estudiante conoce deber. Ahora ampliemos nuestras capacidades para todos los demás valores.¡Decide, entonces decide!)
Entonces, digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
No existe tal valor del coseno en las tablas cortas. Fríamente ignoramos este terrible hecho. Dibujamos un círculo, marcamos 2/3 en el eje del coseno y dibujamos los ángulos correspondientes. Obtenemos esta imagen.
Nos entendemos, para empezar, con un ángulo en el primer cuarto. ¡Para saber a qué es igual x, inmediatamente escribirían la respuesta! No sabemos... ¿¡Fracaso!? ¡Tranquilo! ¡Las matemáticas no dejan a los suyos en apuros! Ella inventó el arco coseno para este caso. ¿No lo sé? En vano. Descúbrelo, es mucho más fácil de lo que piensas. Según este enlace, no hay un solo hechizo engañoso sobre "funciones trigonométricas inversas" ... Es superfluo en este tema.
Si lo sabes, solo dite a ti mismo: "X es un ángulo cuyo coseno es 2/3". E inmediatamente, puramente por definición del arcocoseno, podemos escribir:
Recordamos las revoluciones adicionales y escribimos con calma la primera serie de raíces de nuestra ecuación trigonométrica:
x 1 = arccos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
La segunda serie de raíces también se escribe casi automáticamente, para el segundo ángulo. Todo es igual, solo x (arccos 2/3) estará con un menos:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
¡Y todas las cosas! Esta es la respuesta correcta. Incluso más fácil que con valores tabulares. No necesitas recordar nada). Por cierto, los más atentos notarán que esta imagen con la solución a través del arco coseno esencialmente no es diferente de la imagen para la ecuación cosx = 0.5.
¡Exactamente! ¡El principio general sobre eso y el general! Dibujé específicamente dos imágenes casi idénticas. El círculo nos muestra el ángulo. X por su coseno. Es un coseno tabular, o no, el círculo no lo sabe. Qué tipo de ángulo es este, π / 3, o qué tipo de arco coseno depende de nosotros decidir.
Con un seno la misma canción. Por ejemplo:
Nuevamente dibujamos un círculo, marcamos el seno igual a 1/3, dibujamos las esquinas. Resulta esta imagen:
Y nuevamente, la imagen es casi la misma que para la ecuación. senx = 0,5. De nuevo partimos desde el córner en el primer cuarto. ¿A qué es igual x si su seno es 1/3? ¡No hay problema!
Entonces el primer paquete de raíces está listo:
x 1 = arcosen 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Echemos un vistazo al segundo ángulo. En el ejemplo con un valor de tabla de 0,5, era igual a:
π - x
¡Así que aquí será exactamente igual! Sólo x es diferente, arcsen 1/3. ¿¡Así que lo que!? Puede escribir con seguridad el segundo paquete de raíces:
x 2 = π - arcosen 1/3 + 2π norte, norte ∈ Z
Esta es una respuesta completamente correcta. Aunque no parece muy familiar. Pero es comprensible, espero.)
Así es como se resuelven las ecuaciones trigonométricas usando un círculo. Este camino es claro y comprensible. Es él quien ahorra en ecuaciones trigonométricas con la selección de raíces en un intervalo dado, en desigualdades trigonométricas; generalmente se resuelven casi siempre en un círculo. En definitiva, en cualquier tarea un poco más complicada que las estándar.
¿Poniendo el conocimiento en práctica?
Resolver ecuaciones trigonométricas:
Al principio es más simple, directamente en esta lección.
Ahora es más difícil.
Pista: aquí tienes que pensar en el círculo. Personalmente.)
Y ahora aparentemente sin pretensiones ... También se les llama casos especiales.
senx = 0
senx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Sugerencia: aquí debe averiguar en un círculo dónde hay dos series de respuestas y dónde hay una ... Y cómo escribir una en lugar de dos series de respuestas. ¡Sí, para que no se pierda ni una sola raíz de un número infinito!)
Bueno, bastante simple):
senx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Pista: aquí necesitas saber que es el arcoseno, arcocoseno? ¿Qué es arco tangente, arco tangente? Las definiciones más simples. ¡Pero no necesita recordar ningún valor tabular!)
Las respuestas están, por supuesto, en desorden):
x1= arcosen0,3 + 2πn, n ∈ Z
x2= π - arcosen0.3 + 2
¿No todo sale bien? Sucede. Lee la lección de nuevo. Solamente pensativamente(hay una palabra tan obsoleta...) Y sigue los enlaces. Los enlaces principales son sobre el círculo. Sin él en trigonometría: cómo cruzar la calle con los ojos vendados. A veces funciona.)
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Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Al resolver muchos problemas de matematicas, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Dichos problemas incluyen, por ejemplo, ecuaciones lineales y cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio de la solución exitosa de cada una de las tareas mencionadas es el siguiente: es necesario establecer qué tipo de tarea se está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir. responde y sigue estos pasos.
Obviamente, el éxito o el fracaso en la resolución de un problema particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve, qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso, es necesario tener las habilidades para realizar transformaciones y cálculos idénticos.
Una situación diferente ocurre con ecuaciones trigonométricas. No es difícil establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades al determinar la secuencia de acciones que llevarían a la respuesta correcta.
A veces es difícil determinar su tipo por la aparición de una ecuación. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.
Para resolver la ecuación trigonométrica, debemos intentar:
1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a "las mismas funciones";
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.
Considerar Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples
Esquema de solución
Paso 1. Expresar la función trigonométrica en términos de componentes conocidas.
Paso 2 Encuentre el argumento de la función usando fórmulas:
cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.
sen x = a; x \u003d (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.
bronceado x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Paso 3 Encuentra una variable desconocida.
Ejemplo.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Solución.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Sustitución de variables
Esquema de solución
Paso 1. Lleva la ecuación a una forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.
Paso 2 Denote la función resultante por la variable t (si es necesario, introduzca restricciones en t).
Paso 3 Escriba y resuelva la ecuación algebraica resultante.
Etapa 4 Haz una sustitución inversa.
Paso 5 Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.
Ejemplo.
2cos 2 (x/2) - 5sen (x/2) - 5 = 0.
Solución.
1) 2(1 - sen 2 (x/2)) - 5 sen (x/2) - 5 = 0;
2sen 2(x/2) + 5sen(x/2) + 3 = 0.
2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2 no satisface la condición |t| ≤ 1.
4) sen (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.
tercero Método de reducción del orden de la ecuación
Esquema de solución
Paso 1. Reemplace esta ecuación con una lineal usando las fórmulas de reducción de potencia:
sen 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Paso 2 Resuelva la ecuación resultante utilizando los métodos I y II.
Ejemplo.
cos2x + cos2x = 5/4.
Solución.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 porque 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuaciones homogéneas
Esquema de solución
Paso 1. Llevar esta ecuación a la forma
a) a sen x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)
o a la vista
b) a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).
Paso 2 Divide ambos lados de la ecuación por
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
y obtener la ecuación para tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Paso 3 Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.
Ejemplo.
5sen 2 x + 3sen x cos x - 4 = 0.
Solución.
1) 5sen 2 x + 3sen x cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;
5sen 2 x + 3sen x cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;
sen 2 x + 3 sen x cos x - 4 cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Sea tg x = t, entonces
t2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 o t = -4, entonces
tg x = 1 o tg x = -4.
De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas
Esquema de solución
Paso 1. Usando todo tipo de fórmulas trigonométricas, convierta esta ecuación en una ecuación que pueda resolverse mediante los métodos I, II, III, IV.
Paso 2 Resuelve la ecuación resultante usando métodos conocidos.
Ejemplo.
senx + sen2x + sen3x = 0.
Solución.
1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;
2sen 2x cos x + sen 2x = 0.
2) sen 2x (2 cos x + 1) = 0;
sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;
De la primera ecuación 2x = π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.
Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Como resultado, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Respuesta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
La capacidad y las habilidades para resolver ecuaciones trigonométricas son muy 
importante, su desarrollo requiere un esfuerzo considerable, tanto por parte del alumno como del profesor.
Muchos problemas de estereometría, física, etc., están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas.El proceso de resolver tales problemas, por así decirlo, contiene muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.
Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de enseñanza de las matemáticas y el desarrollo de la personalidad en general.
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El concepto de resolución de ecuaciones trigonométricas.
- Para resolver una ecuación trigonométrica, conviértala en una o más ecuaciones trigonométricas básicas. Resolver la ecuación trigonométrica en última instancia se reduce a resolver las cuatro ecuaciones trigonométricas básicas.
Solución de ecuaciones trigonométricas básicas.
- Hay 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:
- sen x = a; porque x = un
- bronceado x = a; ctg x = un
- Resolver ecuaciones trigonométricas básicas implica mirar las diferentes posiciones de x en el círculo unitario, así como usar una tabla de conversión (o calculadora).
- Ejemplo 1. sen x = 0,866. Usando una tabla de conversión (o calculadora), obtienes la respuesta: x = π/3. El círculo unitario da otra respuesta: 2π/3. Recuerda: todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten. Por ejemplo, la periodicidad de sen x y cos x es 2πn, y la periodicidad de tg x y ctg x es πn. Así que la respuesta se escribe así:
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
- Ejemplo 2 cos x = -1/2. Usando una tabla de conversión (o calculadora), obtienes la respuesta: x = 2π/3. El círculo unitario da otra respuesta: -2π/3.
- x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
- Ejemplo 3. tg (x - π/4) = 0.
- Respuesta: x \u003d π / 4 + πn.
- Ejemplo 4. ctg 2x = 1.732.
- Respuesta: x \u003d π / 12 + πn.
Transformaciones utilizadas en la resolución de ecuaciones trigonométricas.
- Para transformar ecuaciones trigonométricas se utilizan transformaciones algebraicas (factorización, reducción de términos homogéneos, etc.) e identidades trigonométricas.
- Ejemplo 5. Usando identidades trigonométricas, la ecuación sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se convierte en la ecuación 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Por lo tanto, las siguientes ecuaciones trigonométricas básicas necesita ser resuelto: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
-
Hallar ángulos a partir de valores conocidos de funciones.
- Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debe aprender a encontrar ángulos a partir de valores conocidos de funciones. Esto se puede hacer usando una tabla de conversión o una calculadora.
- Ejemplo: cos x = 0,732. La calculadora dará la respuesta x = 42,95 grados. El círculo unitario dará ángulos adicionales, cuyo coseno también es igual a 0.732.
-
Reserva la solución en el círculo unitario.
- Puedes poner soluciones a la ecuación trigonométrica en el círculo unitario. Las soluciones de la ecuación trigonométrica en el círculo unitario son los vértices de un polígono regular.
- Ejemplo: Las soluciones x = π/3 + πn/2 en el círculo unitario son los vértices del cuadrado.
- Ejemplo: Las soluciones x = π/4 + πn/3 en el círculo unitario son los vértices de un hexágono regular.
-
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
- Si la ecuación trigonométrica dada contiene solo una función trigonométrica, resuelve esta ecuación como una ecuación trigonométrica básica. Si esta ecuación incluye dos o más funciones trigonométricas, entonces existen 2 métodos para resolver dicha ecuación (dependiendo de la posibilidad de su transformación).
- Método 1
- Transforme esta ecuación en una ecuación de la forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, donde f(x), g(x), h(x) son las ecuaciones trigonométricas básicas.
- Ejemplo 6. 2cos x + sen 2x = 0. (0< x < 2π)
- Solución. Usando la fórmula del ángulo doble sin 2x = 2*sin x*cos x, reemplaza sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ahora resuelve dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos x = 0 y (sin x + 1) = 0.
- Ejemplo 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ahora resuelve dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2cos x + 1) = 0.
- Ejemplo 8. sen x - sen 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: -cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Ahora resuelve dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2sen x + 1) = 0.
- Método 2
- Convierta la ecuación trigonométrica dada en una ecuación que contenga solo una función trigonométrica. Luego reemplace esta función trigonométrica con alguna incógnita, por ejemplo, t (sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, etc.).
- Ejemplo 9. 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7 (0< x < 2π).
- Solución. En esta ecuación, reemplaza (cos^2 x) con (1 - sen^2 x) (según la identidad). La ecuación transformada se ve como:
- 3sen^2 x - 2 + 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Reemplace sen x con t. Ahora la ecuación se ve así: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación cuadrática con dos raíces: t1 = -1 y t2 = 9/5. La segunda raíz t2 no satisface el rango de la función (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Ejemplo 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Solución. Reemplace tg x con t. Reescribe la ecuación original de la siguiente manera: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ahora encuentra t y luego encuentra x para t = tg x.
- Si la ecuación trigonométrica dada contiene solo una función trigonométrica, resuelve esta ecuación como una ecuación trigonométrica básica. Si esta ecuación incluye dos o más funciones trigonométricas, entonces existen 2 métodos para resolver dicha ecuación (dependiendo de la posibilidad de su transformación).
-
Ecuaciones trigonométricas especiales.
- Hay varias ecuaciones trigonométricas especiales que requieren transformaciones específicas. Ejemplos:
- a*sen x+ b*cos x = c ; a(sen x + cos x) + b*cos x*sen x = c;
- a*sen^2 x + b*sen x*cos x + c*cos^2 x = 0
-
Periodicidad de las funciones trigonométricas.
- Como se mencionó anteriormente, todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten después de cierto período. Ejemplos:
- El periodo de la función f(x) = sen x es 2π.
- El periodo de la función f(x) = tg x es igual a π.
- El periodo de la función f(x) = sen 2x es igual a π.
- El periodo de la función f(x) = cos (x/2) es 4π.
- Si se especifica un período en el problema, calcule el valor de x dentro de ese período.
- Nota: Resolver ecuaciones trigonométricas no es una tarea fácil y, a menudo, conduce a errores. Así que revisa tus respuestas cuidadosamente. Para hacer esto, puede usar una calculadora gráfica para trazar la ecuación dada R(x) = 0. En tales casos, las soluciones se representarán como decimales (es decir, π se reemplaza por 3.14).
- Como se mencionó anteriormente, todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten después de cierto período. Ejemplos: