En esta lección, recordaremos qué es una expresión algebraica, cómo encontrar su valor para valores dados de variables. Averigüemos qué valores de variables pueden no ser válidos para una expresión dada. También aprenderemos a realizar diversas acciones con expresiones numéricas y algebraicas.
Definición: Una expresión algebraica es cualquier notación significativa que solo puede contener números, letras, signos de acción y paréntesis. Por ejemplo, .
Es posible calcular el valor de una expresión algebraica dados los valores de las variables, para ello basta con sustituir el valor en la expresión y realizar los cálculos. Por ejemplo, cuando el valor de la expresión es : .
Tarea 1 . Encuentre el valor de la expresión para .
Solución . Sustituya el valor en la expresión y realice los cálculos:
Responder: .
En el problema 1, resultó la división por 0. Puede intentar dividir 3 por 0, por ejemplo, en una calculadora. Comprueba por ti mismo que la calculadora no pudo encontrar el valor de esta expresión. A nosotros tampoco nos funcionará. Dividir por 0 no tiene sentido, no está definido.
¿Por qué la división por cero no está definida?
0 se introdujo como parte de un mecanismo más grande llamado números enteros para indicar la ausencia de algo. El 0 hace que sea más fácil contar y escribir números, pero no hay una cantidad cero, no puedes señalarlo con el dedo, por lo que no puedes saber cuántos 0 hay en otro número.
Dividir 3 por 0 significa decir cuántas veces 3 es nada. Para responder a la pregunta de cuántos metros cuadrados en el garaje es posible, pero para responder cuánto vacío hay en él, no.
Si se inventara algún sentido para la expresión, entonces esto contradiría algunas propiedades y definiciones conocidas, por ejemplo, las propiedades de la multiplicación, por lo que la división por 0 no está definida.
Todavía puedes intentar dividir 3 entre 0. La división es el inverso de la multiplicación, es decir, si .
Pero multiplicar por 0 siempre da como resultado 0, es decir simplemente no existe.
Consideremos el caso de dividir 0 entre 0 para que no se sienta que es especial y diferente de dividir 3 entre 0.
La igualdad será válida para cualquiera, porque Pero el resultado de la división debe ser un número determinado. Nuevamente obtenemos una contradicción.
Por lo tanto, la división por 0 no está definida en matemáticas.
Puedes sustituir cualquier número en una expresión algebraica, pero no siempre es posible calcular su valor.
Definición: tales valores de una variable para la cual la expresión no está definida (es imposible calcular su valor) se llaman valores inválidos.
Hasta ahora, solo conocemos un caso de este tipo. Por ejemplo, si la expresión contiene una fracción o división, entonces no sustituiremos en la expresión los valores de la variable en los que el denominador se convierte en 0: .
Hay otros casos de valores de variables no válidos, pero aprenderemos sobre ellos más adelante, a medida que estudiemos varias funciones.
Consideremos ejemplos para determinar valores inválidos de variables en expresiones.
Ejemplo 1
Solución . La expresión es una fracción, por lo que su denominador no puede ser 0: .
Por lo tanto, el valor inválido de la variable es 0, es decir expresión se define para cualquier .
Responder: 0.
Ejemplo 2 . Definir valores no válidos para una variable en una expresión.
Solución
. La expresión es una fracción, por lo que su denominador no puede ir a 0: 
.
Por lo tanto, el valor inválido de la variable es 5, es decir expresión se define para cualquier .
Responder: 5.
¿Dónde más puedes encontrar la división por cero?
Probemos eso. Introduzcamos variables , vamos .
Obtenemos la igualdad:
Reordenamos los términos y obtenemos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis en cada una de las partes de la igualdad:
Divida ambos lados de la ecuación por y obtenemos:
Lo tengo. ¿Cuál es el truco? El hecho es que un error se deslizó en nuestra "prueba": la división por 0 se realizó al dividir ambas partes de la igualdad por la expresión (suponiendo que estos números son iguales:).
Esto es un ejemplo sofisticación matemática- declaraciones con prueba, en las que se ocultan errores. Los sofismas no son solo matemáticos, por ejemplo, la frase “No perdiste lo que tienes. No perdiste tus cuernos y tu cola. Así que tienes cuernos y cola” contiene un error lógico: no se sigue de la primera frase que tienes todo lo que no has perdido.
Los sofismas más famosos son aporías de Zenón. Puedes conocer más sobre ellos en esta Enlace.
Ya hemos encontrado expresiones equivalentes cuando reducimos fracciones a un denominador común. Escribimos cadenas de fracciones equivalentes y elegimos de ellas aquellas que tienen el mismo denominador:
Y 
Por ejemplo, en este caso serán fracciones: .
Las expresiones equivalentes se pueden reemplazar entre sí, esto no cambiará el significado y el significado de la entrada.
Por ejemplo, digamos que hay una expresión. Puedes hacer la multiplicación y obtener la expresión. Ambas expresiones numéricas son iguales, equivalentes.
Si realiza todas las acciones en alguna expresión numérica, obtiene su valor: , es decir - el valor de la expresión numérica. Habiendo completado todos los pasos, hemos simplificado la expresión numérica.
Las expresiones algebraicas se pueden escribir de diferentes maneras, pero significan lo mismo, por ejemplo: y .
¿Podemos decir que la expresión está simplificada? Por lo general, la simplificación significa una notación equivalente de tal manera que para calcular el valor de la expresión, sería necesario realizar la menor cantidad de acciones posible.
Por ejemplo, para calcular el valor de una expresión para un valor dado de una variable, debe realizar 3 acciones y, para una expresión, una acción. Por supuesto, la diferencia en 2 acciones es pequeña, pero si tal operación tuviera que realizarse 50 veces, entonces la diferencia ya sería de 100 acciones.
Tarea 2
. Demostrar que la expresión 
es equivalente a la expresión .
Prueba
Usamos la ley distributiva dos veces:
Tarea 3 . Simplifica la expresión: .
Solución . Usemos la fórmula de la diferencia de cuadrados:
Responder: .
Comparemos la cantidad de pasos que se deben realizar para evaluar la primera expresión y la segunda. En el primer caso, fue necesario realizar 5 acciones, y en el segundo, solo 1. En tales casos, decimos que nosotros simplificó la expresión algebraica.
Valores de variables no válidos
Busquemos valores no válidos de variables para la expresión: .
El denominador de la fracción contiene variables, determinamos cuando se convierte en 0:
Esos. los valores de variables inválidas serán valores opuestos. Por ejemplo, si , entonces .
Equivalencia de expresiones
Las expresiones y no son equivalentes para ninguna y , porque la primera expresión no está definida cuando , y la segunda expresión está definida para cualquier valor de las variables y .
Esos. estas expresiones sólo serán equivalentes para aquellas y que no sean números opuestos.
Tarea 4 . Simplifica la expresión: .
Podemos escribir algunas expresiones matemáticas de diferentes maneras. Dependiendo de nuestros objetivos, si tenemos suficientes datos, etc. Expresiones numéricas y algebraicas se diferencian en que escribimos los primeros solo como números combinados usando signos de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) y paréntesis.
Si en lugar de números ingresa letras latinas (variables) en la expresión, se volverá algebraica. Las expresiones algebraicas utilizan letras, números, signos de suma y resta, multiplicación y división. Y también se puede utilizar el signo de la raíz, grado, corchetes.
En cualquier caso, ya sea que esta expresión sea numérica o algebraica, no puede ser solo un conjunto aleatorio de caracteres, números y letras, debe tener un significado. Esto significa que las letras, los números y los signos deben estar conectados por algún tipo de relación. Ejemplo correcto: 7x + 2: (y + 1). Mal ejemplo): + 7x - * 1.
La palabra "variable" se mencionó anteriormente, ¿qué significa? Esta es una letra latina, en lugar de la cual puede sustituir un número. Y si estamos hablando de variables, en este caso, las expresiones algebraicas se pueden llamar funciones algebraicas.
La variable puede tomar diferentes valores. Y sustituyendo algún número en su lugar, podemos encontrar el valor de la expresión algebraica para este valor particular de la variable. Cuando el valor de la variable es diferente, el valor de la expresión también será diferente.
¿Cómo resolver expresiones algebraicas?
Para calcular los valores que necesita hacer transformación de expresiones algebraicas. Y para esto aún debe considerar algunas reglas.
Primero, el dominio de una expresión algebraica son todos los valores posibles de una variable para los cuales la expresión puede tener sentido. ¿Qué significa? Por ejemplo, no puede sustituir un valor por una variable que requeriría dividir por cero. En la expresión 1 / (x - 2), 2 debe ser excluido del dominio de definición.
En segundo lugar, recuerda cómo simplificar expresiones: factorizar, poner entre paréntesis variables idénticas, etc. Por ejemplo: si intercambias los términos, la suma no cambiará (y + x = x + y). Del mismo modo, el producto no cambiará si se intercambian los factores (x * y \u003d y * x).
En general, son excelentes para simplificar expresiones algebraicas. fórmulas de multiplicación abreviadas. Aquellos que aún no los hayan aprendido definitivamente deberían hacer esto; aún serán útiles más de una vez:
encontramos la diferencia de las variables al cuadrado: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);
encontramos la suma al cuadrado: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;
calculamos la diferencia al cuadrado: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;
elevamos al cubo la suma: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 o (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
cubo la diferencia: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 o (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);
encontramos la suma de las variables al cubo: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);
calculamos la diferencia de las variables al cubo: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);
usamos las raíces: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), y 1 y a 2 son las raíces de la expresión xa 2 + ya + z.
También debe tener una idea sobre los tipos de expresiones algebraicas. Ellos son:
racionales, y estos a su vez se dividen en:
números enteros (no tienen división en variables, no hay extracción de raíces de las variables y no hay elevación a una potencia fraccionaria): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). El alcance es todos los valores posibles de variables;
fraccionario (salvo otras operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación, en estas expresiones dividen por una variable y elevan a una potencia (con exponente natural): (2/b - 3/a + c/4) 2 .Dominio de definición - todas las variables de valores para las cuales la expresión no es igual a cero;
irracional - para que una expresión algebraica sea considerada como tal, debe contener la exponenciación de variables a una potencia con exponente fraccionario y/o la extracción de raíces de variables: √a + b 3/4. El dominio de definición son todos los valores de las variables, excluyendo aquellos en los que la expresión bajo la raíz de un grado par o bajo un grado fraccionario se convierte en un número negativo.
Transformaciones de identidad de expresiones algebraicas es otro truco útil para resolverlos.Una identidad es una expresión que será verdadera para cualquier variable incluida en el dominio de definición que se sustituya en él.
Una expresión que depende de algunas variables puede ser idénticamente igual a otra expresión si depende de las mismas variables y si los valores de ambas expresiones son iguales, cualquiera que sea el valor de las variables que se elija. En otras palabras, si una expresión se puede expresar de dos formas diferentes (expresiones) cuyos valores son iguales, estas expresiones son idénticamente iguales. Por ejemplo: y + y \u003d 2y, o x 7 \u003d x 4 * x 3, o x + y + z \u003d z + x + y.
Al realizar tareas con expresiones algebraicas, la transformación idéntica sirve para garantizar que una expresión pueda ser reemplazada por otra idéntica. Por ejemplo, reemplace x 9 con el producto x 5 * x 4.
Ejemplos de solución
Para que quede más claro, veamos algunos ejemplos. transformaciones de expresiones algebraicas. Las tareas de este nivel se pueden encontrar en KIM para el Examen estatal unificado.
Tarea 1: Encuentra el valor de la expresión ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1).
Solución: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.
Tarea 2: Encuentra el valor de la expresión (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3).
Solución: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6.
Conclusión
Al prepararse para las pruebas escolares, los exámenes USE y GIA, siempre puede usar este material como una pista. Tenga en cuenta que una expresión algebraica es una combinación de números y variables expresadas en letras latinas. Y también signos de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división), paréntesis, grados, raíces.
Usar fórmulas cortas de multiplicación y conocimiento de ecuaciones de identidad para transformar expresiones algebraicas.
Escríbanos sus comentarios y deseos en los comentarios; es importante para nosotros saber que nos está leyendo.
sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.
Expresión algebraica- es cualquier registro de letras, números, signos aritméticos y corchetes, compuestos con significado. De hecho, una expresión algebraica es una expresión numérica, en la que, además de números, también se utilizan letras. Por lo tanto, las expresiones algebraicas también se llaman expresiones literales.
Básicamente, las letras del alfabeto latino se utilizan en expresiones literales. ¿Para qué son estas cartas? En lugar de ellos, podemos sustituir diferentes números. Por lo tanto, estas letras se llaman variables. Es decir, pueden cambiar su significado.
Ejemplos de expresiones algebraicas.
$\begin(alinear) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (xy);\,\,\,\,\,\frac(ab)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(alinear)$
Si, por ejemplo, en la expresión x + 5 sustituimos la variable x por algún número, entonces obtenemos una expresión numérica. En este caso, el valor de esta expresión numérica será el valor de la expresión algebraica x + 5 para el valor dado de la variable. Es decir, en x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. Y en x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.
Hay tales valores de una variable en los que la expresión algebraica pierde su significado. Así será, por ejemplo, si sustituimos el valor 0 en lugar de x en la expresión 1:x.
Porque no se puede dividir por cero.
Dominio de definición de una expresión algebraica.
El conjunto de valores de una variable para los cuales la expresión no pierde su significado se llama dominio de definición esta expresión. También podemos decir que el alcance de una expresión es el conjunto de todos los valores posibles de la variable.
Considere ejemplos:
- y+5: el alcance será cualquier valor de y.
- 1:x: la expresión tendrá sentido para todos los valores de x excepto 0. Por lo tanto, el alcance será cualquier valor de x excepto cero.
- (x+y):(x-y) – dominio de definición – cualquier valor de x e y para el cual x ≠ y.
Expresiones algebraicas racionales son expresiones algebraicas enteras y fraccionarias.
- Expresión algebraica entera: no contiene exponenciación con un exponente fraccionario, extrayendo la raíz de una variable, así como dividiendo por una variable. En expresiones algebraicas enteras, todos los valores de las variables son válidos. Por ejemplo, ax + bx + c es una expresión algebraica entera.
- Fraccionario: contiene la división por una variable. $\frac(1)(a)+bx+c$ es una expresión algebraica fraccionaria. En las expresiones algebraicas fraccionarias, se permiten todos los valores de las variables para los que no se produce la división por cero.
$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- Expresiones algebraicas irracionales. En las expresiones algebraicas irracionales son admisibles todos los valores de las variables para los cuales la expresión bajo el signo de la raíz de un grado par no es negativa.
Expresiones numéricas y algebraicas. Conversión de expresiones.
¿Qué es una expresión en matemáticas? ¿Por qué son necesarias las conversiones de expresión?
La pregunta, como dicen, es interesante... El hecho es que estos conceptos son la base de todas las matemáticas. Todas las matemáticas consisten en expresiones y sus transformaciones. ¿No está muy claro? Dejame explicar.
Digamos que tienes un ejemplo malvado. Muy grande y muy complejo. ¡Digamos que eres bueno en matemáticas y no le tienes miedo a nada! ¿Puedes responder de inmediato?
Tendrás que resolver este ejemplo Secuencialmente, paso a paso, este ejemplo simplificar. De acuerdo con ciertas reglas, por supuesto. Esos. hacer conversión de expresiones. Con qué éxito llevas a cabo estas transformaciones, por lo que eres fuerte en matemáticas. Si no sabes cómo hacer las transformaciones correctas, en matemáticas no puedes hacer nada...
Para evitar un futuro (o presente ...) tan incómodo, no está de más entender este tema).
Para empezar, averigüemos que es una expresion en matematicas. Qué ha pasado expresión numérica Y lo que es expresión algebraica.
¿Qué es una expresión en matemáticas?
expresión en matemáticas es un concepto muy amplio. Casi todo lo que tratamos en matemáticas es un conjunto de expresiones matemáticas. Todos los ejemplos, fórmulas, fracciones, ecuaciones, etc., todo consiste en expresiones matematicas.
3+2 es una expresión matemática. c 2 - d 2 es también una expresión matemática. Y una fracción saludable, e incluso un número: todas estas son expresiones matemáticas. La ecuación, por ejemplo, es:
5x + 2 = 12
consta de dos expresiones matemáticas conectadas por un signo igual. Una expresión está a la izquierda, la otra está a la derecha.
En términos generales, el término expresión matemática" se usa, con mayor frecuencia, para no murmurar. ¿Te preguntarán qué es una fracción ordinaria, por ejemplo? ¿Y cómo responder?
Respuesta 1: "Es... m-m-m-m... tal cosa... en la que... ¿Puedo escribir una fracción mejor? ¿Cuál quieres?"
La segunda opción de respuesta: "Una fracción ordinaria es (¡con alegría y alegría!) expresión matemática , que consta de un numerador y un denominador!"
La segunda opción es de alguna manera más impresionante, ¿verdad?)
Para este propósito, la frase " expresión matemática "muy bueno. Tanto correcto como sólido. Pero para la aplicación práctica, debe estar bien versado en tipos específicos de expresiones en matemáticas .
El tipo específico es otro asunto. Esta ¡otra cosa muy distinta! Cada tipo de expresión matemática tiene Mia un conjunto de reglas y técnicas que deben ser utilizadas en la decisión. Para trabajar con fracciones - un conjunto. Para trabajar con expresiones trigonométricas - el segundo. Para trabajar con logaritmos - el tercero. Etc En algún lugar estas reglas coinciden, en algún lugar difieren marcadamente. Pero no tengas miedo de estas terribles palabras. Logaritmos, trigonometría y otras cosas misteriosas que dominaremos en las secciones correspondientes.
Aquí dominaremos (o repetiremos, como quieras...) dos tipos principales de expresiones matemáticas. Expresiones numéricas y expresiones algebraicas.
Expresiones numéricas.
Qué ha pasado expresión numérica? Este es un concepto muy simple. El propio nombre sugiere que se trata de una expresión con números. Así es como es. Una expresión matemática formada por números, corchetes y signos de operaciones aritméticas se denomina expresión numérica.
7-3 es una expresión numérica.
(8+3.2) 5.4 también es una expresión numérica.
Y este monstruo:
también una expresión numérica, sí...
Un número ordinario, una fracción, cualquier ejemplo de cálculo sin x y otras letras, todas estas son expresiones numéricas.
caracteristica principal numérico expresiones en ella sin letras. Ninguna. Solo números e íconos matemáticos (si es necesario). Es sencillo, ¿verdad?
¿Y qué se puede hacer con las expresiones numéricas? Las expresiones numéricas generalmente se pueden contar. Para hacer esto, a veces tiene que abrir corchetes, cambiar signos, abreviar, intercambiar términos, es decir hacer conversiones de expresiones. Pero más sobre eso a continuación.
Aquí trataremos un caso tan divertido cuando con una expresión numérica no tienes que hacer nada¡Pues nada de nada! esta linda operacion Hacer nada)- se ejecuta cuando la expresión no tiene sentido.
¿Cuándo no tiene sentido una expresión numérica?
Por supuesto, si vemos algún tipo de abracadabra frente a nosotros, como
entonces no haremos nada. Ya que no está claro qué hacer con él. Algunas tonterías. A menos que, para contar el número de ventajas ...
Pero hay expresiones exteriormente bastante decentes. Por ejemplo esto:
(2+3) : (16 - 2 8)
Sin embargo, esta expresión también es no tiene sentido! Por la sencilla razón de que en el segundo paréntesis, si cuenta, obtiene cero. ¡No puedes dividir por cero! Esta es una operación prohibida en matemáticas. Por lo tanto, tampoco hay necesidad de hacer nada con esta expresión. Para cualquier tarea con tal expresión, la respuesta siempre será la misma: "¡La expresión no tiene sentido!"
Para dar tal respuesta, por supuesto, tuve que calcular lo que estaría entre paréntesis. Y a veces, entre paréntesis, tal giro ... Bueno, no hay nada que hacer al respecto.
No hay tantas operaciones prohibidas en matemáticas. Solo hay uno en este hilo. División por cero. Las prohibiciones adicionales que surgen en raíces y logaritmos se discuten en los temas relevantes.
Entonces, una idea de lo que es expresión numérica- recibió. concepto expresión numérica no tiene sentido- dio cuenta. Vayamos más lejos.
Expresiones algebraicas.
Si aparecen letras en una expresión numérica, esta expresión se convierte en... La expresión se convierte en... ¡Sí! Se vuelve expresión algebraica. Por ejemplo:
5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2+4x-4; (a + b) 2; ...
A este tipo de expresiones también se les llama expresiones literales. O Expresiones con variables. Es practicamente lo mismo. Expresión 5a +c, por ejemplo, tanto literal como algebraica, y expresión con variables.
concepto expresión algebraica - más amplio que numérico. Eso incluye y todas las expresiones numéricas. Esos. una expresión numérica también es una expresión algebraica, solo que sin las letras. Todo arenque es un pez, pero no todo pez es un arenque...)
Por qué literal- está vacío. Bueno, ya que hay letras... Frase expresión con variables tampoco muy desconcertante. Si entiendes que los números están ocultos debajo de las letras. Se pueden ocultar todo tipo de números debajo de las letras ... Y 5, y -18, y lo que quieras. Es decir, una carta puede reemplazar para números diferentes. Por eso las letras se llaman Variables.
en la expresión y+5, por ejemplo, en- variable. O simplemente decir " variable", sin la palabra "valor". A diferencia del cinco, que es un valor constante. O simplemente - constante.
Término expresión algebraica significa que para trabajar con esta expresión, necesitas usar las leyes y reglas álgebra. Si aritmética trabaja con números específicos, entonces álgebra- con todos los números a la vez. Un ejemplo sencillo para aclaración.
En aritmética, se puede escribir que
Pero si escribimos una igualdad similar mediante expresiones algebraicas:
un + segundo = segundo + un
decidiremos inmediatamente todos preguntas. Para todos los numeros carrera. Para una infinidad de cosas. porque debajo de las letras pero Y B implícito todos números. Y no solo números, sino incluso otras expresiones matemáticas. Así es como funciona el álgebra.
¿Cuándo una expresión algebraica no tiene sentido?
Todo está claro acerca de la expresión numérica. No se puede dividir por cero. Y con letras, ¿es posible saber por qué estamos dividiendo?
Tomemos como ejemplo la siguiente expresión variable:
2: (pero - 5)
¿Tiene sentido? ¿Pero quién lo conoce? pero- cualquier número...
Cualquier, cualquier... Pero hay un significado pero, por lo que esta expresión exactamente no tiene sentido! ¿Y cuál es ese número? ¡Sí! ¡Son las 5! Si la variable pero reemplace (dicen - "sustituir") con el número 5, entre paréntesis, resultará cero. que no se puede dividir. Entonces resulta que nuestra expresión no tiene sentido, si un = 5. Pero para otros valores pero¿tiene sentido? ¿Puedes sustituir otros números?
Ciertamente. En tales casos, simplemente se dice que la expresión
2: (pero - 5)
tiene sentido para cualquier valor pero, excepto a = 5 .
Todo el conjunto de números. lata sustituir en la expresión dada se llama rango válido esta expresión.
Como puedes ver, no hay nada complicado. Observamos la expresión con variables, y pensamos: ¿a qué valor de la variable se obtiene la operación prohibida (división por cero)?
Y luego asegúrese de mirar la pregunta de la tarea. ¿Qué están preguntando?
no tiene sentido, nuestro valor prohibido será la respuesta.
Si preguntan en qué valor de la variable la expresión tiene el significado(¡siente la diferencia!), la respuesta será todos los demás números salvo lo prohibido.
¿Por qué necesitamos el significado de la expresión? Él está ahí, él no está... ¡¿Cuál es la diferencia?! El caso es que este concepto cobra mucha importancia en la secundaria. ¡Extremadamente importante! Esta es la base de conceptos tan sólidos como el rango de valores válidos o el alcance de una función. Sin esto, no podrás resolver ecuaciones o desigualdades serias en absoluto. Me gusta esto.
Conversión de expresiones. Transformaciones de identidad.
Nos familiarizamos con expresiones numéricas y algebraicas. Comprende lo que significa la frase "la expresión no tiene sentido". Ahora tenemos que averiguar qué conversión de expresiones. La respuesta es simple, escandalosamente). Esta es cualquier acción con una expresión. Y eso es. Has estado haciendo estas transformaciones desde la primera clase.
Tome la genial expresión numérica 3+5. ¿Cómo se puede convertir? ¡Sí, muy fácil! Calcular:
Este cálculo será la transformación de la expresión. Puedes escribir la misma expresión de otra manera:
No contamos nada aquí. Solo escribe la expresión en una forma diferente. Esto también será una transformación de la expresión. Se puede escribir así:
Y esto, también, es la transformación de una expresión. Puedes hacer tantas de estas transformaciones como quieras.
Ninguna acción sobre una expresión ninguna escribirlo en una forma diferente se llama transformación de expresión. Y todas las cosas Todo es muy simple. Pero hay una cosa aquí regla muy importante. Tan importante que puede llamarse con seguridad regla principal todas las matemáticas. Rompiendo esta regla inevitablemente conduce a errores. ¿Entendemos?)
Digamos que hemos transformado nuestra expresión arbitrariamente, así:
¿Transformación? Ciertamente. Escribimos la expresión en una forma diferente, ¿qué está mal aquí?
No es así.) El hecho es que las transformaciones "lo que" las matemáticas no están interesadas en absoluto). Todas las matemáticas se basan en transformaciones en las que la apariencia cambia, pero la esencia de la expresión no cambia. Tres más cinco se pueden escribir de cualquier forma, pero debe ser ocho.
transformaciones, expresiones que no cambian la esencia llamado idéntico.
Exactamente transformaciones idénticas y permítanos, paso a paso, convertir un ejemplo complejo en una expresión simple, manteniendo esencia del ejemplo. Si nos equivocamos en la cadena de transformaciones, haremos una transformación NO idéntica, entonces decidiremos otro ejemplo. Con otras respuestas que no tienen relación con las correctas.)
Aquí está la regla principal para resolver cualquier tarea: el cumplimiento de la identidad de las transformaciones.
Di un ejemplo con una expresión numérica 3 + 5 para mayor claridad. En las expresiones algebraicas, las fórmulas y las reglas dan transformaciones idénticas. Digamos que hay una fórmula en álgebra:
a(b+c) = ab + ac
Entonces, en cualquier ejemplo, podemos en lugar de la expresión a(b+c) siéntase libre de escribir una expresión ab+ac. Y viceversa. Esta transformación idéntica. Las matemáticas nos dan a elegir entre estas dos expresiones. Y cuál escribir depende del ejemplo específico.
Otro ejemplo. Una de las transformaciones más importantes y necesarias es la propiedad básica de una fracción. Puedes ver más detalles en el enlace, pero aquí solo te recuerdo la regla: si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, o una expresión que no es igual a cero, la fracción no cambiará. Aquí hay un ejemplo de transformaciones idénticas para esta propiedad:
Como probablemente haya adivinado, esta cadena puede continuar indefinidamente...) Una propiedad muy importante. Es lo que te permite convertir todo tipo de monstruos de ejemplo en blancos y esponjosos).
Hay muchas fórmulas que definen transformaciones idénticas. Pero lo más importante - una cantidad bastante razonable. Una de las transformaciones básicas es la factorización. Se utiliza en todas las matemáticas, desde elementales hasta avanzadas. Comencemos con él. en la próxima lección.)
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
La operación aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de la expresión es la "principal".
Es decir, si sustituye algunos (cualesquiera) números en lugar de letras e intenta calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión se descompone en factores).
Si la última acción es suma o resta, significa que la expresión no está factorizada (y por lo tanto no puede reducirse).
Para solucionarlo usted mismo, algunos ejemplos:
Ejemplos:
Soluciones:
1. Espero que no te hayas apresurado inmediatamente a cortar y? Todavía no era suficiente para "reducir" unidades como esta:
El primer paso debe ser factorizar:
4. Suma y resta de fracciones. Llevar fracciones a un denominador común.
Sumar y restar fracciones ordinarias es una operación bien conocida: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores.
Recordemos:
Respuestas:
1. Los denominadores y son coprimos, es decir, no tienen factores comunes. Por lo tanto, el MCM de estos números es igual a su producto. Este será el común denominador:
2. Aquí el común denominador es:
3. Aquí, en primer lugar, convertimos las fracciones mixtas en impropias y luego, de acuerdo con el esquema habitual:
Otra cosa es si las fracciones contienen letras, por ejemplo:
Comencemos simple:
a) Los denominadores no contienen letras
Aquí todo es igual que con las fracciones numéricas ordinarias: encontramos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores:
ahora en el numerador puedes traer los similares, si los hay, y factorizarlos:
Inténtalo tú mismo:
Respuestas:
b) Los denominadores contienen letras
Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:
En primer lugar, determinamos los factores comunes;
Luego escribimos todos los factores comunes una vez;
y multiplícalos por todos los demás factores, no los comunes.
Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los descomponemos en factores simples:
Destacamos los factores comunes:
Ahora escribimos los factores comunes una vez y les agregamos todos los factores no comunes (no subrayados):
Este es el común denominador.
Volvamos a las letras. Los denominadores se dan exactamente de la misma manera:
Descomponemos los denominadores en factores;
determinar multiplicadores comunes (idénticos);
escriba todos los factores comunes una vez;
Los multiplicamos por todos los demás factores, no los comunes.
Entonces, en orden:
1) descomponer los denominadores en factores:
2) determinar los factores comunes (idénticos):
3) escribe todos los factores comunes una vez y multiplícalos por todos los demás factores (no subrayados):
Así que el denominador común está aquí. La primera fracción debe multiplicarse por, la segunda, por:
Por cierto, hay un truco:
Por ejemplo: .
Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con diferentes indicadores. El común denominador será:
en la medida
en la medida
en la medida
en grado
Compliquemos la tarea:
¿Cómo hacer que las fracciones tengan el mismo denominador?
Recordemos la propiedad básica de una fracción:
En ninguna parte se dice que el mismo número se puede restar (o sumar) del numerador y el denominador de una fracción. ¡Porque no es verdad!
Compruébelo usted mismo: tome cualquier fracción, por ejemplo, y agregue algún número al numerador y al denominador, por ejemplo, . ¿Qué se ha aprendido?
Entonces, otra regla inquebrantable:
Cuando llevas fracciones a un denominador común, ¡usa solo la operación de multiplicación!
Pero, ¿qué necesitas multiplicar para obtener?
Aquí en y multiplicar. Y multiplicar por:
Las expresiones que no se pueden factorizar se denominarán "factores elementales".
Por ejemplo, es un factor elemental. - también. Pero - no: se descompone en factores.
¿Qué pasa con la expresión? es elemental?
No, porque se puede factorizar:
(ya leíste sobre la factorización en el tema "").
Entonces, los factores elementales en los que se descompone una expresión con letras son análogos a los factores simples en los que se descomponen los números. Y nosotros haremos lo mismo con ellos.
Vemos que ambos denominadores tienen un factor. Irá al denominador común en la potencia (¿recuerdas por qué?).
El multiplicador es elemental, y no lo tienen en común, por lo que simplemente habrá que multiplicar la primera fracción por él:
Otro ejemplo:
Solución:
Antes de multiplicar estos denominadores en pánico, ¿debes pensar en cómo factorizarlos? Ambos representan:
¡Multa! Luego:
Otro ejemplo:
Solución:
Como de costumbre, factorizamos los denominadores. En el primer denominador, simplemente lo ponemos fuera de paréntesis; en el segundo - la diferencia de cuadrados:
Parecería que no hay factores comunes. Pero si te fijas bien, ya son tan parecidos... Y la verdad es que:
Así que escribamos:
Es decir, resultó así: dentro del corchete, intercambiamos los términos y, al mismo tiempo, el signo frente a la fracción cambió al opuesto. Toma nota, tendrás que hacer esto a menudo.
Ahora traemos a un común denominador:
¿Entiendo? Ahora vamos a comprobar.
Tareas para solución independiente:
Respuestas:
Aquí debemos recordar una cosa más: la diferencia de cubos:
¡Tenga en cuenta que el denominador de la segunda fracción no contiene la fórmula "cuadrado de la suma"! El cuadrado de la suma quedaría así:
A es el llamado cuadrado incompleto de la suma: el segundo término en él es el producto del primero y el último, y no su producto duplicado. El cuadrado incompleto de la suma es uno de los factores en la expansión de la diferencia de cubos:
¿Qué pasa si ya hay tres fracciones?
¡Si lo mismo! En primer lugar, nos aseguraremos de que el número máximo de factores en los denominadores sea el mismo:
Presta atención: si cambias los signos dentro de un paréntesis, el signo delante de la fracción cambia al opuesto. Cuando cambiamos los signos en el segundo paréntesis, el signo delante de la fracción se invierte nuevamente. Como resultado, él (el signo frente a la fracción) no ha cambiado.
Escribimos el primer denominador completo en el denominador común, y luego le sumamos todos los factores que aún no se han escrito, del segundo y luego del tercero (y así sucesivamente, si hay más fracciones). Es decir, queda así:
Hmm ... Con fracciones, está claro qué hacer. Pero, ¿y los dos?
Es simple: sabes sumar fracciones, ¿verdad? ¡Entonces, debes asegurarte de que el dos se convierta en una fracción! Recuerda: una fracción es una operación de división (el numerador se divide por el denominador, en caso de que lo olvides de repente). Y no hay nada más fácil que dividir un número por. En este caso, el número en sí no cambiará, sino que se convertirá en una fracción:
¡Exactamente lo que se necesita!
5. Multiplicación y división de fracciones.
Bueno, la parte más difícil ya ha terminado. Y delante de nosotros está el más simple, pero al mismo tiempo el más importante:
Procedimiento
¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerde, considerando el valor de tal expresión:
¿Contaste?
Deberia de funcionar.
Entonces, te recuerdo.
El primer paso es calcular el grado.
El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, puedes hacerlas en cualquier orden.
Y finalmente, realizamos sumas y restas. De nuevo, en cualquier orden.
Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de orden!
Si varios paréntesis se multiplican o dividen entre sí, primero evaluamos la expresión en cada uno de los paréntesis y luego los multiplicamos o dividimos.
¿Qué pasa si hay otros paréntesis dentro de los corchetes? Bueno, pensemos: entre paréntesis se escribe alguna expresión. ¿Qué es lo primero que se debe hacer al evaluar una expresión? Así es, calcula los paréntesis. Bueno, lo descubrimos: primero calculamos los corchetes internos, luego todo lo demás.
Entonces, el orden de las acciones para la expresión anterior es el siguiente (la acción actual está resaltada en rojo, es decir, la acción que estoy realizando en este momento):
Está bien, todo es simple.
Pero eso no es lo mismo que una expresión con letras, ¿verdad?
¡No, es lo mismo! Solo que en lugar de operaciones aritméticas es necesario hacer operaciones algebraicas, es decir, las operaciones descritas en el apartado anterior: trayendo similares, sumar fracciones, reducir fracciones, etc. La única diferencia será la acción de factorizar polinomios (a menudo lo usamos cuando trabajamos con fracciones). La mayoría de las veces, para la factorización, necesita usar i o simplemente quitar el factor común entre paréntesis.
Por lo general, nuestro objetivo es representar una expresión como un producto o cociente.
Por ejemplo:
Simplifiquemos la expresión.
1) Primero simplificamos la expresión entre paréntesis. Ahí tenemos la diferencia de fracciones, y nuestro objetivo es representarla como producto o cociente. Entonces, llevamos las fracciones a un denominador común y sumamos:
Es imposible simplificar más esta expresión, todos los factores aquí son elementales (¿todavía recuerdas lo que esto significa?).
2) Obtenemos:
Multiplicación de fracciones: lo que podría ser más fácil.
3) Ahora puedes acortar:
Bueno eso es todo. Nada complicado, ¿verdad?
Otro ejemplo:
Simplifica la expresión.
Primero, intente resolverlo usted mismo, y solo luego mire la solución.
Solución:
En primer lugar, vamos a definir el procedimiento.
Primero, agreguemos las fracciones entre paréntesis, en lugar de dos fracciones, resultará una.
Luego haremos la división de fracciones. Bueno, sumamos el resultado con la última fracción.
Numeraré esquemáticamente los pasos:
Ahora mostraré todo el proceso, tiñendo de rojo la acción actual:
1. Si los hubiere similares, deberán ser traídos inmediatamente. En cualquier momento que tengamos similares, es recomendable traerlos de inmediato.
2. Lo mismo ocurre con la reducción de fracciones: tan pronto como surja la oportunidad de reducir, debe usarse. La excepción son las fracciones que sumas o restas: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.
Aquí hay algunas tareas para que las resuelvas por tu cuenta:
Y prometió desde el principio:
Respuestas:
Soluciones (breve):
Si se las arregló con al menos los primeros tres ejemplos, entonces, considere, ha dominado el tema.
¡Ahora a aprender!
CONVERSIÓN DE EXPRESIÓN. RESUMEN Y FÓRMULA BÁSICA
Operaciones básicas de simplificación:
- trayendo similares: para sumar (reducir) términos semejantes, debe sumar sus coeficientes y asignar la parte de la letra.
- Factorización: sacando el factor común entre paréntesis, aplicando, etc.
- reducción de fracciones: el numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, a partir del cual el valor de la fracción no cambia.
1) numerador y denominador factorizar
2) si hay factores comunes en el numerador y el denominador, se pueden tachar.IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!
- Suma y resta de fracciones:
; - Multiplicación y división de fracciones:
;