Menos dividido por menos da. Resta de números negativos

1) ¿Por qué menos uno por menos uno es igual a más uno?
2) ¿Por qué menos uno por más uno es igual a menos uno?

"El enemigo de mi enemigo es mi amigo."

La respuesta más fácil es: "Porque estas son las reglas para trabajar con números negativos". Las reglas que aprendemos en la escuela y aplicamos a lo largo de nuestras vidas. Sin embargo, los libros de texto no explican por qué las reglas son como son. Primero intentaremos comprender esto a partir de la historia del desarrollo de la aritmética, y luego responderemos esta pregunta desde el punto de vista de las matemáticas modernas.

Hace mucho tiempo, las personas solo conocían los números naturales: 1, 2, 3, ... Se usaban para contar utensilios, presas, enemigos, etc. Pero los números en sí mismos son bastante inútiles: debe poder manejar ellos. La suma es clara y comprensible, además, la suma de dos números naturales también es un número natural (un matemático diría que el conjunto de los números naturales es cerrado bajo la operación de suma). La multiplicación es, de hecho, la misma suma si hablamos de números naturales. En la vida, a menudo realizamos acciones relacionadas con estas dos operaciones (por ejemplo, cuando compramos, sumamos y multiplicamos), y es extraño pensar que nuestros antepasados las encontraron con menos frecuencia: la suma y la multiplicación fueron dominadas por la humanidad durante mucho tiempo. atrás. A menudo, es necesario dividir una cantidad por otra, pero aquí el resultado no siempre se expresa como un número natural; así es como aparecieron los números fraccionarios.

La resta, por supuesto, también es indispensable. Pero en la práctica, tendemos a restar el número más pequeño del número más grande y no hay necesidad de usar números negativos. (Si tengo 5 dulces y le doy 3 a mi hermana, entonces tendré 5 - 3 = 2 dulces, pero no puedo darle 7 dulces con todas mis ganas). Esto puede explicar por qué la gente no usa números negativos. por mucho tiempo.

Los números negativos aparecen en documentos indios del siglo VII d.C.; los chinos, aparentemente, comenzaron a usarlos un poco antes. Se usaban para contabilizar deudas o en cálculos intermedios para simplificar la solución de ecuaciones, solo era una herramienta para obtener una respuesta positiva. El hecho de que los números negativos, a diferencia de los positivos, no expresen la presencia de ninguna entidad, despertó una fuerte desconfianza. Las personas, en el sentido literal de la palabra, evitaban los números negativos: si el problema obtenía una respuesta negativa, creían que no había ninguna respuesta. Esta desconfianza persistió durante mucho tiempo, e incluso Descartes, uno de los "fundadores" de las matemáticas modernas, las llamó "falsas" (¡en el siglo XVII!).

Considere, por ejemplo, la ecuación 7x - 17 = 2x - 2. Se puede resolver así: mueve los términos con la incógnita hacia el lado izquierdo y el resto hacia la derecha, resultará 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Con esta solución, ni siquiera encontramos números negativos.

Pero uno podría hacerlo accidentalmente de otra manera: mover los términos con la incógnita al lado derecho y obtener 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5)x. Para encontrar la incógnita, debes dividir un número negativo por otro: x = (–15)/(–5). Pero se conoce la respuesta correcta, y queda por concluir que (–15)/(–5) = 3 .

¿Qué demuestra este sencillo ejemplo? Primero, queda clara la lógica que determinaba las reglas para las acciones sobre números negativos: los resultados de estas acciones deben coincidir con las respuestas que se obtienen de forma diferente, sin números negativos. En segundo lugar, al permitir el uso de números negativos, nos deshacemos de la tediosa (si la ecuación resulta ser más complicada, con una gran cantidad de términos) buscar el camino de solución en el que todas las acciones se realizan solo en números naturales. Además, ya no podemos pensar cada vez en el significado de las cantidades que se convierten, y esto ya es un paso para convertir las matemáticas en una ciencia abstracta.

Las reglas para acciones sobre números negativos no se formaron de inmediato, sino que se convirtieron en una generalización de numerosos ejemplos que surgieron al resolver problemas aplicados. En general, el desarrollo de las matemáticas se puede dividir condicionalmente en etapas: cada etapa siguiente se diferencia de la anterior por un nuevo nivel de abstracción en el estudio de los objetos. Entonces, en el siglo XIX, los matemáticos se dieron cuenta de que los números enteros y los polinomios, a pesar de su aparente diferencia, tienen mucho en común: ambos se pueden sumar, restar y multiplicar. Estas operaciones obedecen a las mismas leyes, tanto en el caso de los números como en el caso de los polinomios. Pero la división de números enteros entre sí, de modo que el resultado sea nuevamente números enteros, no siempre es posible. Lo mismo es cierto para los polinomios.

Luego se descubrieron otras colecciones de objetos matemáticos en los que se pueden realizar tales operaciones: series de potencias formales, funciones continuas ... Finalmente, llegó el entendimiento de que si estudias las propiedades de las operaciones mismas, entonces los resultados se pueden aplicar a todos estos colecciones de objetos (este enfoque es típico de todas las matemáticas modernas).

Como resultado, apareció un nuevo concepto: anillo. Es solo un montón de elementos más acciones que se pueden realizar en ellos. Las reglas fundamentales aquí son solo las reglas (se llaman axiomas) a la que están sujetas las acciones, no la naturaleza de los elementos del conjunto (¡aquí está, un nuevo nivel de abstracción!). Deseando enfatizar que lo importante es la estructura que surge después de la introducción de los axiomas, los matemáticos dicen: el anillo de los números enteros, el anillo de los polinomios, etc. A partir de los axiomas, se pueden derivar otras propiedades de los anillos.

Formularemos los axiomas del anillo (que son, por supuesto, similares a las reglas para operaciones con números enteros), y luego probaremos que en cualquier anillo, multiplicar un menos por un menos da como resultado un más.

anillo se denomina conjunto con dos operaciones binarias (es decir, en cada operación intervienen dos elementos del anillo), que tradicionalmente se denominan suma y multiplicación, y los siguientes axiomas:

adición de elementos de anillo obedece conmutativa ( A + B = B + A para cualquier elemento A Y B) y asociativo ( A + (B + C) = (A + B) + C) leyes; el anillo contiene un elemento especial 0 (un elemento neutro por adición) tal que UN + 0 = UN, y para cualquier elemento A hay un elemento opuesto (denotado (-A)), qué A + (–A) = 0 ;
la multiplicación obedece a la ley de la combinación: A (BC) = (AB) C ;
la suma y la multiplicación están relacionadas por las siguientes reglas de expansión de paréntesis: (A + B) C = A C + B C Y UN (B + C) = UN B + UN C .

Nótese que los anillos, en la construcción más general, no requieren que la multiplicación sea permutable, ni es invertible (es decir, no siempre es posible dividir), ni requiere la existencia de una unidad -un elemento neutral con respecto a la multiplicación. Si se introducen estos axiomas, entonces se obtienen otras estructuras algebraicas, pero todos los teoremas demostrados para los anillos serán verdaderos en ellos.

Probamos ahora que para cualquier elemento A Y B anillo arbitrario es cierto, en primer lugar, (–A) B = –(A B), y en segundo lugar (–(–A)) = A. A partir de esto, las declaraciones sobre las unidades se siguen fácilmente: (–1) 1 = –(1 1) = –1 Y (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Para hacer esto, necesitamos establecer algunos hechos. Primero probamos que cada elemento solo puede tener un opuesto. De hecho, deja que el elemento A hay dos opuestos: B Y DESDE. Es decir UN + B = 0 = UN + C. Considere la suma A + B + C. Usando las leyes asociativa y conmutativa y la propiedad del cero, obtenemos que, por un lado, la suma es igual a B: segundo = segundo + 0 = segundo + (un + c) = un + segundo + c, y por otro lado, es igual a C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Medio, B=C .

Notemos ahora que A, Y (-(-A)) son opuestos al mismo elemento (-A), por lo que deben ser iguales.

El primer hecho dice así: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, es decir (–A) B opuesto un b, entonces es igual a –(AB) .

Para ser matemáticamente rigurosos, expliquemos por qué 0 B = 0 para cualquier elemento B. Por supuesto, 0 segundo = (0 + 0) segundo = 0 segundo + 0 segundo. Es decir, la adición 0 segundo no cambia la cantidad. Entonces este producto es igual a cero.

Y el hecho de que haya exactamente un cero en el anillo (después de todo, los axiomas dicen que tal elemento existe, ¡pero nada se dice sobre su unicidad!), lo dejaremos al lector como un simple ejercicio.

Contestadas: Evgeny Epifanov

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Buena respuesta. Pero para el nivel de primer año de secundaria. Me parece que se puede explicar de manera más simple y clara, usando el ejemplo de la fórmula "distancia = velocidad * tiempo" (grado 2).

Supongamos que estamos caminando por la carretera, un automóvil nos adelanta y comienza a alejarse. El tiempo está creciendo, y la distancia a él está creciendo. La velocidad de dicha máquina se considerará positiva, puede ser, por ejemplo, 10 metros por segundo. Por cierto, ¿cuántas millas por hora es eso? 10/1000(km)*60(seg)*60(min)= 10*3,6=36 km/h. Un poquito. Tal vez el camino es malo...

Pero el coche que viene hacia nosotros no se aleja, sino que se acerca. Por tanto, es conveniente considerar su velocidad como negativa. Por ejemplo -10 m/seg. La distancia disminuye: 30, 20, 10 metros hasta el automóvil que se aproxima. Cada segundo es menos 10 metros. Ahora está claro por qué la velocidad con un menos? Aquí ella está volando. ¿Cuál es su distancia en un segundo? Así es, -10 metros, es decir "10 metros atrás".

Aquí tenemos la primera afirmación. (-10 m/s) * (1 s) = -10 m.
Menos (velocidad negativa) por más (tiempo positivo) dieron menos (distancia negativa, auto detrás de mí).

Y ahora atención - de menos a menos. ¿Dónde estaba el automóvil que se aproximaba un segundo ANTES de pasar? (-10 m/s) * (- 1 s) = 10 m.
Menos (velocidad negativa) veces menos (tiempo negativo) = más (distancia positiva, el auto estaba 10 metros frente a mí).

¿Está claro, o alguien conoce un ejemplo aún más simple?

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¡Sí, es más fácil de probar! 5 * 2 es dos veces para posponer en la recta numérica, en la dirección positiva, el número 5, y luego obtenemos el número 10. Si 2 * (-5), entonces contamos dos veces por el número 5, pero ya en la dirección negativa, y obtenemos el número (-10), ahora representemos 2*(-5) como
2 * 5 * (-1) \u003d -10, la respuesta se reescribe del cálculo anterior y no se obtiene en este, por lo que podemos decir que al multiplicar un número por (-1), hay una inversión del dos ejes polares numéricos, es decir inversión de polaridad. Lo que apartamos en la parte positiva se convirtió en negativo y viceversa. Ahora (-2)*(-5), lo escribimos como (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), dejando de lado el número (-10), y cambiando la polaridad del eje, porque . multiplicamos por (-1), obtenemos +10, no sé si fue más fácil?

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Creo que tienes razón. Solo intentaré mostrar tu punto de vista con más detalle, porque. Veo que no todo el mundo entiende esto.
Menos significa quitar. Si le quitaron 5 manzanas 1 vez, al final le quitaron 5 manzanas, lo que se indica condicionalmente con un signo menos, es decir - (+5). Después de todo, es necesario designar de alguna manera la acción. Si se seleccionó 1 manzana 5 veces, al final también seleccionaron: - (+5). Al mismo tiempo, las manzanas seleccionadas no se volvieron imaginarias, porque nadie anuló la ley de conservación de la materia. Las manzanas positivas simplemente fueron a parar a quien las recogió. Entonces no hay números imaginarios, hay un movimiento relativo de la materia con el signo + o -. Pero si es así, entonces la entrada: (-5) * (+1) \u003d -5 o (+5) * (-1) \u003d -5 no refleja con precisión la realidad, sino que la denota solo condicionalmente. Como no hay números imaginarios, el producto total siempre es positivo → "+" (5 * 1). A continuación, se niega el producto positivo, lo que significa destete → “- +” (5 * 1). Aquí, el menos no compensa al más, sino que lo niega y toma su lugar. Entonces al final obtenemos: -(5*1) = -(+5).
Para dos menos, puede escribir: "- -" (5 * 1) \u003d 5. El signo "- -" significa "+", es decir expropiación de los expropiadores. Primero, te quitaron las manzanas y luego tú se las quitaste a tu abusador. Como resultado, todas las manzanas se mantuvieron positivas, solo que no se realizó la selección, porque. se produjo una revolución social.
En términos generales, el hecho de que la negación de la negación elimine la negación y todo lo que la negación se refiere a los niños es comprensible y sin explicación, porque. Es obvio. Los niños solo necesitan que se les explique que los adultos confunden artificialmente, tanto que ahora ellos mismos no pueden resolverlo. Y la confusión radica en el hecho de que en lugar de negar la acción, se introdujeron números negativos, es decir materia negativa. Entonces los niños se quedan perplejos por qué al sumar materia negativa la suma resulta negativa, lo cual es bastante lógico: (-5) + (-3) = -8, y al multiplicar la misma materia negativa: (-5) * (-3) = 15, de repente se vuelve positivo al final, ¡lo cual no es lógico! Al fin y al cabo, con la materia negativa debería ocurrir lo mismo que con la positiva, sólo que con diferente signo. Por lo tanto, a los niños les parece más lógico que cuando se multiplica la materia negativa, se multiplique exactamente la materia negativa.
Pero incluso aquí, no todo es suave, porque para multiplicar la materia negativa, es suficiente que solo un número tenga un signo menos. Al mismo tiempo, uno de los factores, que no denota un contenido real, sino los tiempos de repetición de la materia seleccionada, es siempre positivo, porque los tiempos no pueden ser negativos incluso si se repite la materia negativa (seleccionada). Por lo tanto, al multiplicar (dividir), es más correcto poner signos delante del producto completo (división), que mostramos anteriormente: "- +" (5*1) o "- -" (5*1).
Y para que el signo menos no se perciba como el signo de un número imaginario, es decir materia negativa, pero como acción, los adultos primero deben acordar entre ellos que si el signo menos está delante de un número, entonces denota una acción negativa con un número que siempre es positivo y no imaginario. Si el signo menos está delante de otro signo, denota una acción negativa con el primer signo, es decir, lo invierte. Entonces todo encajará en su lugar de forma natural. Luego, debe explicar esto a los niños y ellos entenderán y aprenderán perfectamente una regla tan comprensible de los adultos. Después de todo, ahora todos los participantes adultos en la discusión están tratando de explicar lo inexplicable, porque no hay una explicación física para este problema, es solo una convención, una regla. Y explicar abstracción por abstracción es una tautología.
Si el signo menos niega el número, entonces esta es una acción física, pero si niega la acción en sí, entonces esta es solo una regla condicional. Es decir, los adultos simplemente acordaron que si se niega la selección, como en la pregunta bajo consideración, entonces no hay selección, ¡no importa cuántas veces! Al mismo tiempo, todo lo que tenías permanece contigo, ya sea solo un número, ya sea un producto de números, es decir, muchos intentos de selección. Eso es todo.
Si alguien no está de acuerdo, vuelva a pensar con calma. Después de todo, el ejemplo de los automóviles, en los que hay una velocidad negativa y un tiempo negativo un segundo antes de la reunión, es solo una regla condicional asociada con el marco de referencia. En otro marco de referencia, la misma velocidad y el mismo tiempo serán positivos. Y el ejemplo con el espejo está relacionado con la regla fabulosa, en la que un menos reflejado en el espejo solo condicionalmente, pero no físicamente, se convierte en un plus.

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Con menos matemáticos, todo parece estar claro. Pero en el lenguaje, cuando se hace una pregunta con negación, ¿cómo responderla? Aquí, por ejemplo, siempre me dejaba perplejo ante tal pregunta: "¿Te apetece un poco de té?" ¿Cómo responderla, siempre que quiera té? Parece que si dices "Sí", entonces no darán té (es como + y -), si no, entonces deberían dar (- y -), y si "No, no quiero" ?? ?

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Para responder a una pregunta tan infantil, primero debe responder un par de preguntas de adultos: "¿Qué es un menos en matemáticas?" y "¿Qué es la multiplicación y la división?". Según tengo entendido, aquí es donde empiezan los problemas, que acaban desembocando en anillos y otras tonterías a la hora de responder a una pregunta tan sencilla e infantil.

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¡La respuesta claramente no es para escolares comunes!
En la escuela primaria, leí un libro maravilloso, el de Dwarfing y Al-Jebra, o tal vez dieron un ejemplo en un círculo matemático: pusieron a dos personas en lados opuestos del signo igual con manzanas de diferentes colores y se ofrecieron a dar. manzanas entre sí. Luego se colocaron otros signos entre los participantes del juego: más, menos, más, menos.

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Respuesta infantil, ¿eh?))
Puede sonar cruel, pero el propio autor no entiende por qué un menos por un menos da un plus :-)
Todo en el mundo se puede explicar visualmente, porque solo se necesitan abstracciones para explicar el mundo. Están atados a la realidad y no viven solos en libros de texto delirantes.
Aunque para una explicación necesitas saber al menos física y, a veces, biología, junto con los conceptos básicos de neurofisiología humana.

Sin embargo, la primera parte dio esperanza de entender y explicó muy claramente la necesidad de números negativos.
Pero el segundo tradicionalmente se mudó a la esquizofrenia. ¡A y B deben ser objetos reales! Entonces, ¿por qué llamarlos estas letras cuando puede tomar, por ejemplo, hogazas de pan o manzanas?
Si.. si fuera posible... si?))))))

Y ... incluso usando la base correcta de la primera parte (esa multiplicación es la misma suma) - con menos, se obtiene una contradicción))
-2 + -2 = -4
pero
-2 * -2 =+4))))
e incluso si asumimos que esto es menos dos, tomado menos dos veces, resultará
-2 -(-2) -(-2) = +2

Simplemente valía la pena admitir que, dado que los números son virtuales, para una contabilidad relativamente correcta, tuve que idear reglas virtuales.
Y eso sería la VERDAD, no tonterías anilladas.

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En su ejemplo, Academon cometió un error:
De hecho, (-2)+(-2) = (-4) es 2 veces (-2), es decir, (-2) * 2 = (-4).
En cuanto a la multiplicación de dos números negativos, sin contradicción, esta es la misma suma, solo que del otro lado del "0" en la recta numérica. A saber:
(-2) * (-2) = 0 -(-2) -(-2) = 2 + 2 = 4. Así que todo suma.
Bueno, en cuanto a la realidad de los números negativos, ¿qué te parece este ejemplo?
Si tengo, digamos, $ 1,000 en mi bolsillo, mi estado de ánimo puede llamarse "positivo".
Si 0$, respectivamente, el estado será "ninguno".
¿Y si (-1000)$ es una deuda que hay que pagar, pero no hay dinero...?

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Menos a menos: siempre habrá un más,
Por qué sucede esto, no puedo decirlo.

Por qué -on-=+ me desconcertó incluso en la escuela, en el 7º grado (1961). Traté de encontrar otra álgebra más "justa", donde + en + = +, y - en - = -. Así que pensé que sería más honesto. Pero, ¿cómo estar entonces con + en- y -en +? No quería perder la conmutatividad de xy=yx, de lo contrario no funcionaría.
Pero, ¿y si no tomamos 2 caracteres, sino tres, por ejemplo +, - y *? Iguales y simétricas.

ADICIÓN
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) no suman(!), como las partes real e imaginaria de un número complejo.
Pero para eso (+a)+(-a)+(*a)=0.

Por ejemplo, ¿qué es (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
No es fácil, pero te puedes acostumbrar.

Ahora MULTIPLICACIÓN.
Postulamos:
+en+=+ -en-=- *en*=* (¿verdad?)
+en-=-en+=* +en*=*en+=- -en*=*en-=+ (¡justo!)
Parecería que todo está bien, pero la multiplicación no es asociativa, es decir
a(bc) no es igual a (ab)c.

Y de ser así
+en+=+ -en-=* *en*=-
+encendido-=-encendido+=- +encendido*=*encendido+=* -encendido*=*encendido-=+
De nuevo injusto, + destacado como especial. PERO nació una NUEVA ÁLGEBRA con tres signos. Conmutativa, asociativa y distributiva. Ella tiene una interpretación geométrica. Es isomorfo a los números complejos. Se puede ampliar aún más: cuatro caracteres, cinco...
Esto no ha sucedido antes. Tómenlo, gente, úsenlo.

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La pregunta de un niño es generalmente la respuesta de un niño.
Está nuestro mundo, donde todo es "más": manzanas, juguetes, gatos y perros, son reales. Puedes comer una manzana, puedes acariciar a un gato. Y también hay un mundo ficticio, a través del espejo. También hay manzanas y juguetes, como espejos, podemos imaginarlos, pero no podemos tocarlos, son inventados. Podemos pasar de un mundo a otro con la ayuda del signo menos. Si tenemos dos manzanas reales (2 manzanas) y ponemos un signo menos (-2 manzanas), obtenemos dos manzanas inventadas en el espejo. El signo menos nos lleva de un mundo a otro, de ida y vuelta. No hay manzanas espejo en nuestro mundo. Podemos imaginar un montón de ellos, incluso un millón (menos un millón de manzanas). Es solo que no podrás comerlas, porque no tenemos manzanas menos, todas las manzanas en nuestras tiendas son manzanas más.
Multiplicar significa disponer algunos objetos en forma de rectángulo. Tomemos dos puntos ":" y los multipliquemos por tres, obtenemos: ": : :" - seis puntos en total. Puedes tomar una manzana real (+I) y multiplicarla por tres, obtenemos: "+ЯЯЯ" - tres manzanas reales.
Ahora multiplica la manzana por menos tres. Obtendremos nuevamente tres manzanas "+ЯЯЯ", pero el signo menos nos llevará a través del espejo y tendremos tres manzanas espejo (menos tres manzanas -ЯЯЯ).
Y ahora multiplica la manzana menos (-I) por menos tres. Es decir, tomamos una manzana y, si hay un signo menos delante, la transferimos al espejo. Ahí lo multiplicamos por tres. ¡Ahora tenemos tres manzanas espejo! Pero hay un inconveniente más. Él moverá las manzanas recibidas de regreso a nuestro mundo. Como resultado, obtenemos tres manzanas realmente sabrosas + YYYYA que puedes devorar.

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Todo bien hasta el último paso. Al multiplicar tres manzanas espejo por menos una, debemos reflejar estas manzanas en un espejo más. Coincidirán en ubicación con los reales, pero serán tan imaginarios como los primeros espejos e igualmente incomibles. Es decir, (-1)*(-1)= -1<> 1.
De hecho, me confunde otro punto relacionado con la multiplicación de números negativos, a saber:
¿Es verdadera la ecuación:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Esta pregunta surgió de un intento de entender el comportamiento de la gráfica de la función y=x^n, donde x y n son números reales.
Resulta que la gráfica de la función siempre se ubicará en el 1er y 3er trimestre, excepto en aquellos casos en que n sea par. En este caso, solo cambia la curvatura del gráfico. Pero la paridad de n es un valor relativo, porque podemos tomar otro marco de referencia, en el que n = 1.1 * k, entonces obtenemos
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
y la paridad aquí será diferente ...
Y además, propongo agregar al argumento lo que sucede con la gráfica de la función y = x^(1/n). Supongo, no sin razón, que la gráfica de la función debe ser simétrica a la gráfica y = x^n con respecto a la gráfica de la función y = x.

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Hay varias formas de explicar la regla "menos por menos es más". Esta es la más simple. Multiplicación por naturaleza. el número n es el estiramiento del segmento (ubicado en el eje numérico) n veces. La multiplicación por -1 es un reflejo del segmento con respecto al origen. Como la explicación más corta de por qué (-1)*(-1) = +1, este método es adecuado. El cuello de botella de este enfoque es que aún necesita determinar por separado la suma de tales operadores.

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Puedes ir al explicar a partir de números complejos.
como una forma más general de representar números
Forma trigonométrica de un número complejo
fórmula de Euler
El signo en este caso es solo un argumento (ángulo de rotación)
Los ángulos suman cuando se multiplican
0 grados corresponde a +
180 grados corresponde a -
La multiplicación - por - es equivalente a 180+180=360=0

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¿Rodará esto?

Los negativos son todo lo contrario. Para simplificar, para alejarnos temporalmente de las desventajas, reemplazaremos las declaraciones y agrandaremos el punto de partida. Empecemos a contar no desde cero, sino desde 1000.

Digamos que dos personas me deben dos rublos cada una: 2_personas * 2_rublos \u003d 4_rublos me deben en total. (mi saldo es 1004)

Ahora los inversos (números negativos, pero declaraciones inversas/positivas):

menos 2 personas = entonces no me deben, pero yo debo (debo a más personas de las que debo). Por ejemplo, le debo a 10 personas y solo tengo 8. Los acuerdos mutuos se pueden reducir e ignorar, pero puede tenerlo en cuenta si es más conveniente trabajar con números positivos. Es decir, todos se dan dinero unos a otros.

menos 2 rublos = un principio similar: debe tomar más de lo que da. Así que les debo a todos dos rublos.

-(2_personas)*2_rublos=Yo_debo_a_cada_por_2=-4 para mí. Mi saldo es de 996 rublos.

2_personas*(-2_rublos)=dos_deberían_tomar_2_rublos_de_mí=- 4 de mí. Mi saldo es de 996 rublos.

-(2_personas)*(-2_rublos)= cada_debe_tomar_de_me_menos_de_lo_debería_dar_2_rublos

En general, si imaginamos que todo gira no alrededor de 0, sino alrededor de, por ejemplo, 1000, pero dan dinero a las 10, quitan a las 8. Luego, realizan secuencialmente todas las operaciones de emitir dinero a alguien o quitárselo , llegue a la conclusión de que si dos extra (reduciremos el resto compensando) me quitarán dos rublos menos de lo que devolverán, entonces mi bienestar aumentará en una cifra positiva de 4.

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En busca de una respuesta SIMPLE (comprensible para un niño) a la pregunta planteada ("Por qué menos por menos da más"), leí diligentemente tanto el artículo propuesto por el autor como todos los comentarios. Considero que la respuesta más acertada es la del epígrafe: "El enemigo de mi enemigo es mi amigo". ¡Cuánto más claro! ¡Simple y brillante!

Cierto viajero llega a una isla, de cuyos habitantes sólo sabe una cosa: unos sólo dicen la verdad, otros sólo mienten. Exteriormente, es imposible distinguir entre ellos. El viajero desembarca en la orilla y ve el camino. Quiere saber si este camino lleva a la ciudad. Al ver a un residente local en el camino, le hace SOLO UNA pregunta, lo que le permite descubrir que el camino conduce a la ciudad. ¿Cómo preguntó al respecto?

La solución está tres líneas más abajo (¡solo para hacer una pausa y darles a los adultos la oportunidad de hacer una pausa y pensar en este maravilloso problema!) Mi nieto de tercer grado todavía es demasiado difícil para el problema, pero comprender la respuesta sin duda lo ha acercado comprender los próximos problemas matemáticos, trucos como "menos por menos da más".

Entonces la respuesta es:

"Si te preguntara si este camino lleva a la ciudad, ¿qué me responderías?"

La explicación "algebraica" no pudo sacudir mi ardiente amor por mi padre, ni mi profundo respeto por su ciencia. Pero siempre odié el método axiomático con sus definiciones desmotivadas.

Curiosamente, esta respuesta de I.V. Arnold a la pregunta de un niño prácticamente coincidió en el tiempo con la publicación de su libro "Números negativos en el curso de álgebra". Allí (en el capítulo 7) se da una respuesta completamente diferente, en mi opinión, muy descriptiva. El libro está disponible en formato electrónico http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

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Si hay una paradoja, hay que buscar errores en los fundamentos. Hay tres errores en la formulación de la multiplicación. De ahí viene la "paradoja". Solo tienes que sumar cero.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

La multiplicación es la suma repetida a cero (o resta de cero).

El multiplicador (4) muestra el número de operaciones de suma o resta (el número de signos "menos" o "más" al descomponer la multiplicación por la suma).

Los signos "menos" y "más" en el factor (4) prescriben restar el multiplicando de cero o sumar el multiplicando a cero.

Específicamente, en este ejemplo, (-4) especifica restar ("-") de cero el multiplicando (-3) cuatro veces (4).

Corregir la redacción (tres errores lógicos). Solo agrega cero. Las reglas de la aritmética no cambiarán a partir de esto.

Más sobre este tema aquí:

http://mnemonikon.ru/diferente_pub_28.htm

¿Cuál es el hábito de creer mecánicamente en los libros de texto? También necesitas tener tu propio cerebro. Sobre todo si hay paradojas, puntos blancos, contradicciones evidentes. Todo esto es el resultado de errores en la teoría.

Es imposible descomponer el producto de dos números negativos en términos, según la formulación actual de la multiplicación (sin cero). ¿Eso no molesta a nadie?

¿Qué tipo de formulación de la multiplicación es esta, según la cual es imposible realizar la multiplicación? :)

El problema también es puramente psicológico. Confianza ciega en las autoridades, falta de voluntad para pensar por uno mismo. Si los libros de texto lo dicen, si la escuela lo enseña, entonces esta es la verdad última. Todo cambia, incluida la ciencia. De lo contrario, no habría desarrollo de la civilización.

¡Corrija la redacción de la multiplicación en todos los libros de texto! Las reglas de la aritmética no cambiarán a partir de esto.

Además, como se desprende del artículo vinculado anteriormente, la formulación corregida de la multiplicación será similar a la formulación de elevar un número a una potencia. Allí tampoco escriben la unidad cuando se elevan a una potencia positiva. Sin embargo, se escribe uno al elevar un número a una potencia negativa.

Señor de las matemáticas, tu madre, siempre debes escribir cero y uno, incluso si el resultado no cambia por su ausencia.

El significado de las entradas abreviadas cambia (o incluso desaparece). Y hay problemas de comprensión en los escolares.

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¿Entendemos correctamente la multiplicación?

"- A y B estaban sentados en la tubería. A cayó, B desapareció, ¿qué quedó en la tubería?
"Tu carta me queda."

(De la película "Jóvenes en el Universo")

¿Por qué multiplicar un número por cero da como resultado cero?

7 * 0 = 0

¿Por qué cuando multiplicas dos números negativos, obtienes un número positivo?

7 * (-3) = + 21

Lo que simplemente no se les ocurre a los maestros para dar respuestas a estas dos preguntas.

¡Pero nadie tiene el coraje de admitir que hay tres errores semánticos en la formulación de la multiplicación!

¿Hay errores en los fundamentos de la aritmética? Después de todo, las matemáticas se posicionan como una ciencia exacta...

Los libros de texto de matemáticas escolares no brindan respuestas a estas preguntas, reemplazando las explicaciones con un conjunto de reglas para recordar. ¿Quizás encuentran este tema difícil de explicar en la escuela secundaria? Tratemos de entender estos problemas.

7 - multiplicador. 3 es un multiplicador. 21 - trabajo.

Según la redacción oficial:

multiplicar un número por otro número significa sumar tantos multiplicandos como prescriba el multiplicador.

Según la redacción aceptada, el factor 3 nos dice que debe haber tres sietes en el lado derecho de la igualdad.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Pero esta formulación de la multiplicación no puede explicar las preguntas planteadas anteriormente.

Arreglemos la redacción de la multiplicación.

Por lo general, en matemáticas se quiere decir mucho, pero no se dice ni se escribe.

Esto se refiere al signo más delante de los primeros siete en el lado derecho de la igualdad. Escribamos esto.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Pero, ¿a qué se suman los primeros siete? Significa que a cero, por supuesto. Escribamos cero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

¿Y si multiplicamos por tres menos siete?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Escribimos la suma del multiplicando -7, de hecho, realizamos restas múltiples desde cero. Ampliemos los paréntesis.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Ahora podemos dar una formulación refinada de la multiplicación.

La multiplicación es la suma repetida a cero (o resta de cero) del multiplicando (-7) tantas veces como indique el multiplicador. El factor (3) y su signo (+ o -) indican el número de operaciones para sumar a cero o restar de cero.

De acuerdo con esta formulación refinada y algo modificada de la multiplicación, las "reglas de los signos" para la multiplicación cuando el multiplicador es negativo se explican fácilmente.

7 * (-3) - debe haber tres signos menos después del cero = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - nuevamente debe haber tres signos menos después del cero =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Multiplicación por cero

7 * 0 = 0 + ... sin operaciones de suma a cero.

Si la multiplicación suma cero y el multiplicador muestra el número de operaciones para sumar cero, entonces el multiplicador cero muestra que nada se suma a cero. Por lo tanto, sigue siendo cero.

Entonces, en la formulación existente de la multiplicación, encontramos tres errores semánticos que bloquean la comprensión de las dos "reglas de los signos" (cuando el multiplicador es negativo) y la multiplicación de un número por cero.

Es necesario no sumar el multiplicando, sino sumarlo a cero.
La multiplicación no es solo sumar a cero, sino también restar de cero.
El multiplicador y su signo no muestran el número de términos, sino el número de signos más o menos al descomponer la multiplicación en términos (o restar).

Habiendo aclarado un poco la redacción, pudimos explicar las reglas de los signos en la multiplicación y la multiplicación de un número por cero sin la ayuda de la ley conmutativa de la multiplicación, sin la ley distributiva, sin usar analogías con la recta numérica, sin ecuaciones , sin prueba en contrario, etc.

Las reglas de los signos según la formulación refinada de la multiplicación se derivan de manera muy simple.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

El multiplicador y su signo (+3 o -3) indican el número de signos "+" o "-" en el lado derecho de la ecuación.

La redacción modificada de la multiplicación corresponde a la operación de elevar un número a una potencia.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (uno no se multiplica ni se divide por nada, por lo que sigue siendo uno)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Los matemáticos están de acuerdo en que elevar un número a una potencia positiva es una multiplicación múltiple de uno. Y elevar un número a una potencia negativa es una división múltiple de uno.

La operación de multiplicación debe ser similar a la operación de exponenciación.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (nada se suma a cero y nada se resta de cero)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

La redacción modificada de la multiplicación no cambia nada en matemáticas, pero devuelve el significado original de la operación de multiplicación, explica las "reglas de los signos", la multiplicación de un número por cero y reconcilia la multiplicación con la exponenciación.

Verifiquemos si nuestra formulación de multiplicación concuerda con la operación de división.

15: 5 = 3 (operación inversa de la multiplicación 5 * 3 = 15)

El cociente (3) corresponde al número de operaciones de suma a cero (+3) durante la multiplicación.

Dividir el número 15 por 5 significa encontrar cuántas veces necesitas restar 5 de 15. Esto se hace mediante restas sucesivas hasta obtener un resultado cero.

Para encontrar el resultado de la división, debe contar la cantidad de signos menos. Hay tres de ellos.

15: 5 = 3 operaciones para restar cinco de 15 hasta obtener cero.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (división 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (multiplicar 5 * 3)

División con resto.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17:5 = 3 y 2 resto

Si hay una división con resto, ¿por qué no una multiplicación con apéndice?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Nos fijamos en la diferencia de redacción en la calculadora.

La formulación existente de la multiplicación (tres términos).

10 + 10 + 10 = 30

Redacción corregida de la multiplicación (tres operaciones de suma a cero).

0 + 10 = = = 30

(Haga clic en "es igual a" tres veces).

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Un factor de 3 indica que el multiplicador de 10 debe sumarse a cero tres veces.

¡Intenta multiplicar (-10) * (-3) sumando el término (-10) menos tres veces!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

¿Qué significa el signo menos de tres? ¿Tal vez sea así?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... No es posible descomponer el producto en la suma (o diferencia) de términos (-10).

Con la redacción modificada, esto se hace correctamente.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

El multiplicador (-3) indica que el multiplicando (-10) debe restarse tres veces de cero.

Reglas de signos para sumas y restas

Arriba, se mostró una forma simple de derivar las reglas de signos para la multiplicación, cambiando el significado de la formulación de la multiplicación.

Pero para el resultado, usamos las reglas de los signos de suma y resta. Son casi los mismos que para la multiplicación. Vamos a crear una visualización de las reglas de los signos para la suma y la resta, para que incluso un niño de primer grado pueda entenderlo.

¿Qué es "menos", "negativo"?

No hay nada negativo en la naturaleza. No hay temperatura negativa, ni dirección negativa, ni masa negativa, ni cargas negativas... Incluso un seno, por su naturaleza, solo puede ser positivo.

Pero los matemáticos han dado con los números negativos. ¿Para qué? ¿Qué significa "menos"?

Menos significa la dirección opuesta. Izquierda derecha. Arriba abajo. En el sentido de las agujas del reloj - en el sentido contrario a las agujas del reloj. De ida y vuelta. Frio calor. ligero pesado Lentamente - rápidamente. Si lo piensas, puedes dar muchos otros ejemplos donde es conveniente usar valores negativos.

En el mundo que conocemos, el infinito comienza desde cero y va hasta más infinito.

"Menos infinito" no existe en el mundo real. Esta es la misma convención matemática que el concepto de "menos".

Entonces, "menos" significa la dirección opuesta: movimiento, rotación, proceso, multiplicación, suma. Analicemos diferentes direcciones al sumar y restar números positivos y negativos (que aumentan en la otra dirección).

La dificultad para comprender las reglas de los signos para la suma y la resta se debe al hecho de que estas reglas generalmente intentan explicarse en una recta numérica. En la recta numérica, se mezclan tres componentes diferentes, de los cuales se derivan las reglas. Y debido a la mezcla, debido al volcado de diferentes conceptos en un solo montón, se crean dificultades de comprensión.

Para entender las reglas, necesitamos separar:

el primer término y la suma (estarán en el eje horizontal);
el segundo término (estará en el eje vertical);
sentido de las operaciones de suma y resta.

Esta división se muestra claramente en la figura. Imagina mentalmente que el eje vertical puede girar, superpuesto al eje horizontal.

La operación de suma siempre se realiza girando el eje vertical en el sentido de las agujas del reloj (signo más). La operación de resta siempre se realiza girando el eje vertical en sentido antihorario (signo menos).

Ejemplo. Diagrama en la esquina inferior derecha.

Se puede ver que dos signos menos adyacentes (el signo de la operación de resta y el signo del número 3) tienen significados diferentes. El primer menos muestra la dirección de la resta. El segundo menos es el signo del número en el eje vertical.

Encuentra el primer término (-2) en el eje horizontal. Encuentra el segundo término (-3) en el eje vertical. Gire mentalmente el eje vertical en sentido antihorario hasta que (-3) coincida con el número (+1) en el eje horizontal. El número (+1) es el resultado de la suma.

operación de resta

da el mismo resultado que la operación de suma en el diagrama en la esquina superior derecha.

Por lo tanto, dos signos "menos" adyacentes se pueden reemplazar por un signo "más".

Todos estamos acostumbrados a usar reglas aritméticas prefabricadas sin pensar en su significado. Por lo tanto, a menudo ni siquiera nos damos cuenta de cómo las reglas de los signos de suma (resta) difieren de las reglas de los signos de multiplicación (división). ¿Parecen ser lo mismo? Casi... Puede ver una ligera diferencia en la siguiente ilustración.

Ahora tenemos todo lo que necesitamos para derivar las reglas de los signos para la multiplicación. La secuencia de salida es la siguiente.

Mostramos claramente cómo se obtienen las reglas de los signos para la suma y la resta.
Realizamos cambios semánticos a la formulación existente de la multiplicación.
Con base en la redacción modificada de la multiplicación y las reglas de los signos para la suma, derivamos las reglas de los signos para la multiplicación.

Nota.

A continuación se escriben regla de los signos para sumas y restas obtenido de la visualización. Y en rojo, a modo de comparación, las mismas reglas de signos de un libro de texto de matemáticas. El signo más gris entre paréntesis es el signo más invisible, que no se escribe para un número positivo.

Siempre hay dos signos entre los términos: el signo de la operación y el signo del número (no escribimos el más, pero lo decimos en serio). Las reglas de los signos prescriben el reemplazo de un par de signos con otro par sin cambiar el resultado de la suma (resta). De hecho, sólo hay dos reglas.

Reglas 1 y 3 (para visualización): reglas duplicadas 4 y 2. Las reglas 1 y 3 en la interpretación escolar no coinciden con el esquema visual, por lo tanto, no se aplican a las reglas de signos además. Esas son otras reglas...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) bien

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) vale

La regla escolar 1. (roja) le permite reemplazar dos más seguidos con uno más. La regla no se aplica a la sustitución de signos en sumas y restas.

La regla escolar 3. (color rojo) le permite no escribir un signo más para un número positivo después de una operación de resta. La regla no se aplica a la sustitución de signos en sumas y restas.

El significado de las reglas de los signos adicionales es el reemplazo de un PAR de signos con otro PAR de signos sin cambiar el resultado de la suma.

Los metodólogos escolares mezclaron dos reglas en una regla:

Dos reglas de signos para sumar y restar números positivos y negativos (reemplazar un par de signos con otro par de signos);

Dos reglas por las que no se puede escribir un signo más para un número positivo.

Dos reglas diferentes, mezcladas en una, son similares a las reglas de los signos en la multiplicación, donde un tercero se sigue de dos signos. Mira como uno a uno.

Bien confundido! Vuelve a hacer lo mismo, para desenredar mejor. Resaltemos los signos de las operaciones en rojo para distinguirlos de los signos de los números.

1. Suma y resta. Dos reglas de signos por las que se intercambian pares de signos entre términos. Signo de operación y signo de número.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dos reglas por las que se permite no escribir el signo más de un número positivo. Estas son las reglas del formulario de inscripción. No se aplica a la adición. Para un número positivo, solo se escribe el signo de la operación.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Cuatro reglas de signos en la multiplicación. Cuando el tercer signo del producto se sigue de dos signos multiplicadores. En las reglas de signos para la multiplicación, solo signos de números.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Ahora que hemos separado las reglas de notación, debe quedar claro que las reglas de signos para la suma y la resta no se parecen en nada a las reglas de signos para la multiplicación.

V.Kozarenko

Ahora veremos ejemplos resta de números negativos y verás que es muy fácil. Solo necesita recordar la regla: dos menos que están uno al lado del otro dan un más.

Ejemplo 1: Restar un número negativo de un número positivo

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Como puedes ver, para restar un número negativo de un número positivo, solo necesitas sumar sus módulos.

Ejemplo 2: Restar un número negativo de un número negativo

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Así, al restar un número negativo de otro negativo, actuamos según la regla, y podemos obtener tanto un número positivo como uno negativo.

Hay una sola regla que define la resta de cualquier número: tanto negativo como positivo, y suena así:

regla de signos

Para deshacernos de los paréntesis adicionales al restar números negativos, podemos usar la regla de los signos.Esta regla dice:

Por ejemplo:

¡Ahora responde el cuestionario y ponte a prueba!

Suma y resta de números negativos

Límite de tiempo: 0

Navegación (solo números de trabajo)

0 de 20 tareas completadas

"El enemigo de mi enemigo es mi amigo"

¿Por qué menos uno por menos uno es igual a más uno? ¿Por qué menos uno por más uno es igual a menos uno? La respuesta más fácil es: "Porque estas son las reglas para trabajar con números negativos". Las reglas que aprendemos en la escuela y aplicamos a lo largo de nuestras vidas. Sin embargo, los libros de texto no explican por qué las reglas son como son. Primero intentaremos comprender esto a partir de la historia del desarrollo de la aritmética, y luego responderemos esta pregunta desde el punto de vista de las matemáticas modernas.

Hace mucho tiempo, las personas solo conocían los números naturales: se usaban para contar utensilios, botines, enemigos, etc. Pero los números en sí mismos son bastante inútiles: debe poder manejarlos. La suma es clara y comprensible, además, la suma de dos números naturales también es un número natural (un matemático diría que el conjunto de los números naturales es cerrado bajo la operación de suma). La multiplicación es, de hecho, la misma suma si hablamos de números naturales. En la vida, a menudo realizamos acciones relacionadas con estas dos operaciones (por ejemplo, cuando compramos, sumamos y multiplicamos), y es extraño pensar que nuestros antepasados las encontraron con menos frecuencia: la suma y la multiplicación fueron dominadas por la humanidad durante mucho tiempo. atrás. A menudo, es necesario dividir una cantidad por otra, pero aquí el resultado no siempre se expresa como un número natural; así es como aparecieron los números fraccionarios.

La resta, por supuesto, también es indispensable. Pero en la práctica, tendemos a restar el número más pequeño del número más grande y no hay necesidad de usar números negativos. (Si tengo dulces y se los doy a mi hermana, entonces tendré dulces, pero no puedo darle dulces con todas mis ganas). Esto puede explicar por qué la gente no usó números negativos durante mucho tiempo.

Tomemos la ecuación como ejemplo. Se puede resolver así: mueve los términos con la incógnita hacia el lado izquierdo y el resto hacia la derecha, resultará , , . Con esta solución, ni siquiera encontramos números negativos.

Pero podría hacerse de otra manera por casualidad: mover los términos con la incógnita al lado derecho y obtener , . Para encontrar la incógnita, debes dividir un número negativo por otro: . Pero se conoce la respuesta correcta, y queda por concluir que .

¿Qué demuestra este sencillo ejemplo? Primero, queda clara la lógica que determinaba las reglas para las acciones sobre números negativos: los resultados de estas acciones deben coincidir con las respuestas que se obtienen de forma diferente, sin números negativos. En segundo lugar, al permitir el uso de números negativos, nos deshacemos de la tediosa (si la ecuación resulta ser más complicada, con una gran cantidad de términos) buscar el camino de solución en el que todas las acciones se realizan solo en números naturales. Además, ya no podemos pensar cada vez en el significado de las cantidades que se convierten, y esto ya es un paso para convertir las matemáticas en una ciencia abstracta.

Como resultado, apareció un nuevo concepto: el anillo. Es solo un montón de elementos más acciones que se pueden realizar en ellos. Las reglas fundamentales aquí son solo las reglas (se llaman axiomas), que están sujetas a acciones, y no la naturaleza de los elementos del conjunto (¡aquí está, un nuevo nivel de abstracción!). Deseando enfatizar que lo importante es la estructura que surge después de la introducción de los axiomas, los matemáticos dicen: el anillo de los números enteros, el anillo de los polinomios, etc. A partir de los axiomas, se pueden derivar otras propiedades de los anillos.

Un anillo es un conjunto con dos operaciones binarias (es decir, en cada operación intervienen dos elementos del anillo), que tradicionalmente se denominan suma y multiplicación, y los siguientes axiomas:

Ahora demostramos que para cualquier elemento y un anillo arbitrario, en primer lugar y en segundo lugar, . A partir de esto, las declaraciones acerca de las unidades siguen fácilmente: y .

Para hacer esto, necesitamos establecer algunos hechos. Primero probamos que cada elemento solo puede tener un opuesto. En efecto, sea un elemento el que tenga dos opuestos: y . Es decir . Consideremos la suma. Usando las leyes asociativa y conmutativa y la propiedad del cero, obtenemos que, por un lado, la suma es igual, y por otro lado, es igual a. Medio, .

Note ahora que y , y son opuestos del mismo elemento , por lo que deben ser iguales.

El primer hecho se obtiene de la siguiente manera: , es decir, opuesto a , lo que significa que es igual a .

Para ser matemáticamente rigurosos, también expliquemos por qué para cualquier elemento. Por supuesto, . Es decir, la suma no cambia la suma. Entonces este producto es igual a cero.

Evgeny Epifanov
"Elementos"

Comentarios: 0

ricardo feynman

Toma la puntuación: zhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzh - "Sí", está de acuerdo. Y entonces me doy cuenta: él no sabe números. Cuando tienes un ábaco, no necesitas memorizar muchas combinaciones aritméticas; solo necesita aprender a hacer clic en los nudillos hacia arriba y hacia abajo. No hay necesidad de recordar que 9 + 7 = 16; solo sabes que cuando sumas 9, tienes que mover el decimal hacia arriba y el uno hacia abajo. Por lo tanto, realizamos operaciones aritméticas básicas más lentamente, pero conocemos los números.

jacques cesiano

Ha habido tres expansiones importantes del dominio numérico en dos milenios. Primero, alrededor del 450 a.C. Los científicos de la escuela de Pitágoras demostraron la existencia de los números irracionales. Su objetivo inicial era expresar numéricamente la diagonal del cuadrado unitario. En segundo lugar, en los siglos XIII-XV, los científicos europeos, resolviendo sistemas de ecuaciones lineales, admitieron la posibilidad de una solución negativa. Y en tercer lugar, en 1572, el algebrista italiano Rafael Bombelli utilizó números complejos para obtener una solución real a cierta ecuación cúbica.

Ilya Shchurov

Matemático Ilya Shchurov sobre fracciones decimales, trascendencia e irracionalidad de Pi.

Proskuryakov I.V.

El propósito de este libro es definir estrictamente números, polinomios y fracciones algebraicas y justificar sus propiedades ya conocidas en la escuela, y no introducir al lector a nuevas propiedades. Por lo tanto, el lector no encontrará aquí hechos nuevos para él (con la posible excepción de algunas propiedades, números reales y complejos), pero aprenderá cómo se prueban cosas que le son bien conocidas, comenzando con "dos veces dos - cuatro". y finalizando con las reglas de operaciones con polinomios y fracciones algebraicas. Por otro lado, el lector se familiarizará con una serie de conceptos generales que juegan un papel principal en el álgebra.

jacques cesiano

Sabemos poco sobre Diofanto. Parece haber vivido en Alejandría. Ningún matemático griego lo menciona antes del siglo IV, por lo que probablemente vivió a mediados del siglo III. La obra más importante de Diofanto, "Aritmética" (Ἀριθμητικά), tuvo lugar al comienzo de 13 "libros" (βιβλία), es decir, capítulos. Tenemos hoy 10 de ellos, a saber: 6 en el texto griego y otros 4 en la traducción árabe medieval, cuyo lugar está en medio de los libros griegos: libros I-III en griego, IV-VII en árabe, VIII-X en griego La "Aritmética" de Diofanto es principalmente una colección de problemas, en total unos 260. En verdad, no hay teoría; solo hay instrucciones generales en la introducción del libro y comentarios específicos en algunos problemas cuando es necesario. La "aritmética" ya tiene las características de un tratado algebraico. Primero, Diofanto utiliza diferentes signos para expresar la incógnita y sus grados, también algunos cálculos; como todo simbolismo algebraico de la Edad Media, su simbolismo proviene de palabras matemáticas. Luego, Diofanto explica cómo resolver el problema de forma algebraica. Pero los problemas de Diofanto no son algebraicos en el sentido habitual, porque casi todos se reducen a resolver una ecuación indefinida o sistemas de tales ecuaciones.

El mundo de las matemáticas es inconcebible sin ellas, sin los números primos. ¿Qué son los números primos, qué tienen de especial y qué importancia tienen en la vida cotidiana? En esta película, el profesor de matemáticas británico Marcus du Sotoy revelará el secreto de los números primos.

Jorge Shabat

En la escuela a todos nos inculcan la idea errónea de que en el conjunto de los números racionales Q existe una única distancia natural (el módulo de la diferencia), con respecto a la cual todas las operaciones aritméticas son continuas. Sin embargo, también existe un número infinito de distancias, las llamadas p-ádicas, una para cada número p. De acuerdo con el teorema de Ostrovskii, la distancia "ordinaria", junto con todas las distancias p-ádicas, realmente agotan todas las distancias razonables P. El término democracia adele fue introducido por Yu. I. Manin. De acuerdo con el principio de la democracia adele, todas las distancias razonables en Q son iguales ante las leyes de las matemáticas (quizás solo el tradicional "ligeramente = un poco más igual..."). El curso introducirá un anillo adele que le permite trabajar con todas estas distancias al mismo tiempo.

vladimir arnold

JL Lagrange demostró que una sucesión de cocientes incompletos (a partir de algún lugar) es periódica si y sólo si el número x es una irracionalidad cuadrática. R. O. Kuzmin demostró que en una secuencia de cocientes incompletos de casi cualquier número real, la proporción d_m igual a m cocientes incompletos es la misma (para números reales típicos). La fracción d_m decrece a medida que m→∞ como 1/m^2 y su valor fue predicho por Gauss (quien no probó nada). VI Arnolda (hace 20 años) conjeturó que el estadístico de Gauss-Kuzmin d_m también se cumple para los períodos de fracciones continuas de las raíces de las ecuaciones cuadráticas x^2+px+q=0 (con enteros p y q): si escribimos juntos los cocientes incompletos, formando los períodos de todas las fracciones continuas de las raíces de tales ecuaciones con p^2+q^2≤R^2, entonces la fracción del cociente incompleto m entre ellos tenderá al número d_m como R→ ∞. V. A. Bykovsky y sus estudiantes de Khabarovsk demostraron recientemente esta hipótesis de larga data. A pesar de esto, la cuestión de las estadísticas no de letras, sino de palabras compuestas por ellas, que son periodos de fracciones continuas de cualesquiera raíces x de las ecuaciones x^2+px+q=0, está lejos de resolverse.

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