Мінус ділити на мінус дає. Віднімання негативних чисел

1) Чому мінус один помножити на мінус один і плюс один?
2) Чому мінус один помножити на плюс один і мінус один?

«Ворог мого ворога – мій друг».

Найпростіше відповісти: «Оскільки такі правила дій над негативними числами». Правила, які ми навчаємо у школі та застосовуємо все життя. Проте підручники не пояснюють чому правила саме такі. Ми спочатку намагатимемося зрозуміти це, виходячи з історії розвитку арифметики, а потім відповімо на це питання з погляду сучасної математики.

Давним-давно людям були відомі тільки натуральні числа: 1, 2, 3, ... Їх використовували для підрахунку начиння, видобутку, ворогів і т. д. Але числа самі собою досить марні - потрібно вміти з ними поводитися. Додавання наочно і зрозуміло, до того ж сума двох натуральних чисел - теж натуральне число (математик сказав би, що безліч натуральних чисел замкнено щодо операції додавання). Множення - це, по суті, те саме додавання, якщо ми говоримо про натуральні числа. У житті ми часто здійснюємо дії, пов'язані з цими двома операціями (наприклад, роблячи покупки, ми складаємо та множимо), і дивно думати, що наші предки стикалися з ними рідше – додавання та множення були освоєні людством дуже давно. Часто доводиться й ділити одні величини інші, але тут результат який завжди виражається натуральним числом - так з'явилися дробові числа.

Без вирахування, звичайно, теж не обійтися. Але на практиці ми, як правило, віднімаємо з більшої кількості менше, і немає потреби використовувати негативні числа. (Якщо у мене є 5 цукерок і я віддам сестрі 3, то у мене залишиться 5 – 3 = 2 цукерки, а ось віддати їй 7 цукерок я за всього бажання не можу.) Цим можна пояснити, чому люди довго не користувалися негативними числами.

В індійських документах негативні числа фігурують із VII століття н.е.; китайці, мабуть, почали вживати їх трохи раніше. Їх застосовували для обліку боргів або у проміжних обчисленнях для спрощення розв'язання рівнянь – це був лише інструмент для отримання позитивної відповіді. Факт, що негативні числа, на відміну позитивних, не висловлюють наявність будь-якої сутності, викликав сильне недовіру. Люди у прямому розумінні слова уникали негативних чисел: якщо задача виходила негативна відповідь, вважали, що відповіді немає зовсім. Ця недовіра зберігалася дуже довго, і навіть Декарт – один із «засновників» сучасної математики – називав їх «хибними» (у XVII столітті!).

Розглянемо для прикладу рівняння 7x - 17 = 2x - 2. Його можна вирішувати так: перенести члени з невідомим у ліву частину, а решта – у праву, вийде 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. За такого рішення нам навіть не зустрілися негативні числа.

Але можна було випадково зробити і по-іншому: перенести доданки з невідомим у праву частину та отримати 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Щоб знайти невідоме, потрібно розділити одне негативне число на інше: x = (-15)/(-5). Але правильна відповідь відома, і залишається зробити висновок, що (–15)/(–5) = 3 .

Що демонструє цей нехитрий приклад? По-перше, стає зрозумілою логіка, якою визначалися правила дій над негативними числами: результати цих дій повинні співпадати з відповідями, що виходять іншим шляхом, без негативних чисел. По-друге, допускаючи використання негативних чисел, ми позбавляємося від утомливого (якщо рівняння виявиться складнішим, з великою кількістю доданків) пошуку того шляху вирішення, при якому всі дії виробляються лише над натуральними числами. Більше того, ми можемо більше не думати щоразу про свідомість перетворюваних величин - а це вже крок у напрямку перетворення математики на абстрактну науку.

Правила дій над негативними числами сформувалися не відразу, а стали узагальненням численних прикладів, що виникали під час вирішення прикладних завдань. Взагалі, розвиток математики можна умовно розбити на етапи: кожен наступний етап відрізняється від попереднього новим рівнем абстракції щодо об'єктів. Так, у XIX столітті математики зрозуміли, що у цілих чисел і багаточленів, за всієї їхньої зовнішньої несхожості, є багато спільного: і ті, й інші можна складати, віднімати та перемножувати. Ці операції підпорядковуються одним і тим самим законам - як у випадку з числами, так і у випадку з багаточленами. А ось розподіл цілих чисел один на одного, щоб у результаті знову виходили цілі числа, можливо не завжди. Те саме і з багаточленами.

Потім виявилися інші сукупності математичних об'єктів, над якими можна робити такі операції: формальні статечні ряди, безперервні функції... Нарешті, прийшло розуміння, що якщо вивчити властивості самих операцій, то потім результати можна буде застосовувати до всіх цих сукупностей об'єктів (такий підхід характерний для всієї сучасної математики).

У результаті виникло нове поняття: кільце. Це всього-на-всього безліч елементів плюс дії, які можна над ними виробляти. Основними тут є якраз правила (їх називають аксіомами), яким підпорядковуються дії, а чи не природа елементів множини (ось він, новий рівень абстракції!). Бажаючи підкреслити, що важлива саме структура, яка виникає після введення аксіом, математики кажуть: кільце цілих чисел, кільце багаточленів тощо. Відштовхуючись від аксіом, можна виводити інші властивості кілець.

Ми сформулюємо аксіоми кільця (які, звичайно, схожі на правила дій з цілими числами), а потім доведемо, що в будь-якому кільці при множенні мінуса на мінус виходить плюс.

Кільцемназивається безліч з двома бінарними операціями (тобто в кожній операції задіяні два елементи кільця), які за традицією називають додаванням та множенням, і наступними аксіомами:

складання елементів кільця підпорядковується переміщувальному ( A + B = B + Aдля будь-яких елементів Aі B) та комбінаційному ( A + (B + C) = (A + B) + C) законам; у кільці є спеціальний елемент 0 (нейтральний елемент за додаванням) такий, що A + 0 = A, і для будь-якого елемента Aє протилежний елемент (що позначається (-A)), що A + (-A) = 0 ;
множення підпорядковується сполучному закону: A·(B·C) = (A·B)·C ;
складання та множення пов'язані такими правилами розкриття дужок: (A + B) C = A C + B Cі A·(B + C) = A·B + A·C .

Зауважимо, що кільця, у найзагальнішої конструкції, вимагають ні перестановочності множення, ні його оборотності (тобто ділити можна який завжди), ні існування одиниці - нейтрального елемента по множенню. Якщо вводити ці аксіоми, то виходять інші структури алгебри, але в них будуть вірні всі теореми, доведені для кілець.

Тепер доведемо, що для будь-яких елементів Aі Bдовільного кільця вірно, по-перше, (–A)·B = –(A·B), а по-друге (–(–A)) = A. З цього легко випливають твердження про одиниці: (–1)·1 = –(1·1) = –1і (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Для цього нам потрібно встановити деякі факти. Спочатку доведемо, що у кожного елемента може бути лише один протилежний. Справді, нехай елемент Aє два протилежні: Bі З. Тобто A + B = 0 = A + C. Розглянемо суму A+B+C. Користуючись сполучним та переміщувальним законами та властивістю нуля, отримаємо, що, з одного боку, сума дорівнює B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а з іншого боку, вона дорівнює C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значить, B = C .

Зауважимо тепер, що й A, і (–(–A))є протилежними до одного і того ж елементу (-A)тому вони повинні бути рівні.

Перший факт виходить так: 0 = 0 · B = (A + (-A)) · B = A · B + (-A) · B, тобто (–A)·Bпротилежно ABотже, воно одно –(A·B) .

Щоб бути математично строгими, пояснимо ще, чому 0 · B = 0для будь-якого елемента B. Справді, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Тобто додаток 0·Bне змінює суму. Отже, цей твір дорівнює нулю.

А те, що в кільці рівно один нуль (адже в аксіомах сказано, що такий елемент існує, але нічого не сказано про його єдиність!), ми залишимо читачеві як нескладну вправу.

Відповів: Євген Єпіфанов

Показати коментарі (37)

Згорнути коментарі (37)

Гарна відповідь. Але для рівня старшокласника-першокурсника. Мені здається можна пояснити простіше і наочніше, з прикладу формули "відстань = швидкість * час" (2 клас).

Припустимо, ми йдемо вздовж дороги, нас обганяє машина і починає віддалятися. Час зростає – і відстань до неї зростає. Швидкість такої машини вважатимемо позитивною, вона може бути, наприклад, 10 метрів в секунду. До речі, а скільки це кілометрів за годину? 10/1000 (км) * 60 (сек) * 60 (хв) = 10 * 3,6 = 36 км / год. Небагато. Напевно, дорога погана...

А ось машина, що йде нам назустріч, не віддаляється, а наближається. Тому швидкість її зручно вважати негативною. Наприклад, -10 м/сек. Відстань зменшується: 30, 20, 10 м до зустрічної машини. Кожна секунда – мінус 10 метрів. Тепер зрозуміло, чому швидкість з мінусом? Ось вона пролетіла повз. Яка до неї відстань за секунду? Правильно -10 метрів, тобто. "за 10 метрів позаду".

Ось ми отримали перше твердження. (-10 м / сек) * (1 сек) = -10 м.
Мінус (негативна швидкість) на плюс (позитивний час) дав мінус (негативна відстань, машина у мене за спиною).

А тепер увага – мінус на мінус. Де зустрічна машина була за секунду ДО того, як проїхала повз? (-10 м / сек) * (- 1 сек) = 10 м.
Мінус (негативна швидкість) на мінус (негативний час) = плюс (позитивна відстань, машина була в 10 метрах у мене перед носом).

Так зрозуміло, чи хтось знає приклад ще простіше?

Відповісти

Так можна простіше довести! 5*2-це двічі відкласти на числовий прямий, в позитивний бік, число 5, і тоді отримаємо число 10. якщо 2*(-5), то відраховуємо двічі за кількістю 5, але вже у негативну сторону, і отримаємо число (-10), тепер представимо 2*(-5), як
2*5*(-1)=-10, відповідь переписуємо з попереднього обчислення, а чи не отриманого цьому, Значить можна сказати, що з множенні числа на (-1), є перевертання числової двох полярної осі, тобто. зміна полярності на протилежну. Те, що ми відклали в позитивну частину, стало негативним і навпаки. Тепер (-2)*(-5), запишемо як (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), відклавши число (-10), і змінивши полярність осі, т.к . множимо на (-1), отримаємо +10, не знаю чи вийшло простіше?

Відповісти

Думаю ви маєте рацію. Я лише спробую показати вашу думку докладніше, т.к. бачу, що не всі це зрозуміли.
Мінус означає відібрати. Якщо ви відібрали 5 яблук 1 раз, то результаті у вас відібрали 5 яблук, що умовно позначається мінусом, тобто. – (+5). Адже треба якось позначити дію. Якщо 5 разів відібрали по 1 яблуку, то так само відібрали: – (+5). У цьому відібрані яблука стали уявними, т.к. закон збереження матерії ніхто не скасовував. Позитивні яблука просто перейшли до того, хто їх відібрав. Значить уявних чисел немає, є відносний рух матерії зі знаком + чи -. Але якщо так, то запис: (-5) * (+1) = -5 або (+5) * (-1) = -5 не точно відображає дійсність, а позначає її лише умовно. Оскільки уявних чисел немає, весь твір завжди позитивний → «+» (5*1). Далі відбувається заперечення позитивного твору, що означає вилучення → «- +» (5*1). Тут мінус не компенсує плюс, а заперечує його та стає на його місце. Тоді у результаті отримуємо: -(5*1) = -(+5).
Для двох мінусів можна записати: "- -" (5 * 1) = 5. Знак "- -" означає "+", тобто. експропріацію експропріаторів. Спочатку яблука відібрали у вас, а потім їх відібрали у вашого кривдника. У результаті яблука залишилися позитивними, лише відбір не відбувся, т.к. відбулася соціальна революція.
Взагалі кажучи, те, що заперечення заперечення ліквідує заперечення і все до чого заперечення належить дітям зрозуміло і без пояснень, т.к. це очевидно. Пояснити дітям потрібно лише те, що дорослі штучно заплутали, та так, що й самі тепер не можуть розібратися. А плутанина у тому, що замість заперечення дії запровадили негативні числа, тобто. негативну матерію. Ось діти і дивуються, чому при складанні негативної матерії сума виходить негативною, що цілком логічно: (-5) + (-3) = -8, а при множенні такої ж негативної матерії: (-5) * (-3) = 15 , Вона раптом зрештою стає позитивною, що не логічно! Адже з негативною матерією має відбуватися все те саме, що і з позитивною, тільки з іншим знаком. Тому дітям здається логічніше, що з множенні негативної матерії має відбуватися примноження саме негативної матерії.
Але і тут не все гладко, адже для примноження негативної матерії достатньо, щоб тільки одне число було з мінусом. При цьому один із співмножників, який позначає не речове наповнення, а рази повторення відібраної матерії завжди позитивний, т.к. рази неможливо знайти негативними навіть якщо повторюється негативна (відібрана) матерія. Тому при множенні (розподілі) знаки правильніше ставити перед усім твором (розподілом), що ми й показали вище: "- +" (5 * 1) або "- -" (5 * 1).
А щоб знак мінус сприймався не як ознака уявного числа, тобто. негативної матерії, бо як дію, дорослим треба домовитися спочатку між собою, що й знак мінус стоїть перед числом, він позначає негативне дію з числом, яке завжди позитивне, а чи не уявне. Якщо ж знак мінус стоїть перед іншим знаком, він позначає негативне дію з першим знаком, тобто. змінює його на протилежний. Тоді все стане на свої місця природним чином. Потім треба пояснити це дітям і вони чудово зрозуміють і зрозуміють таке зрозуміле правило дорослих. Адже сьогодні всі дорослі учасники обговорення практично намагаються пояснити незрозуміле, т.к. фізичного пояснення цього питання немає, це просто умовність, правило. А пояснювати абстракцію абстракцією ж – це тавтологія.
Якщо знак мінус заперечує число, це фізичне дію, але якщо він заперечує саму дію, це просто умовне правило. Тобто дорослі просто домовилися, що якщо відбір заперечується, як у питанні, то відбору немає, неважливо скільки разів! При цьому все, що у вас залишається з вами, чи то просто число, чи то твір чисел, тобто. багато спроб відбору. От і все.
Якщо хтось не згоден, то спокійно подумайте ще раз. Адже і приклад з машинами, в якому є негативна швидкість і негативний час за секунду до зустрічі, це лише умовне правило пов'язане з системою відліку. В іншій системі відліку та ж швидкість і той самий час стануть позитивними. А приклад із задзеркаллем пов'язаний із казковим правилом, у якому мінус відбиваючись у дзеркалі лише умовно, але зовсім не фізично стає плюсом.

Відповісти

З математичними мінусами все зрозуміло. А ось у мові, коли ставить питання з запереченням як на нього відповідати? Ось, наприклад, мене завжди ставив таке запитання в глухий кут: "Ви не хотіли чаю?". Як на нього відповісти за умови, що я хочу? Начебто якщо сказати "Так", то чаю не дадуть (це як + та -), якщо ні то повинні дати (- і -), а якщо "Ні, не хочу"???

Відповісти

Для того, щоб відповісти на таке дитяче питання, потрібно спочатку відповісти на кілька дорослих питань: "Що таке мінус у математиці?" і "Що таке множення та розподіл?". Наскільки розумію я, саме там починаються проблеми, які в результаті призводять до каблучок та іншої ахінею при відповіді на таке просте дитяче питання.

Відповісти

Відповідь не для простих школярів!
У молодших класах читала чудову книжку - ту що про Карликанію і Аль-Джебру, а може і в математичному гуртку наводили приклад - ставили по різні боки знака і двох чоловік з яблуками різних кольорів і пропонували давати один одному яблука. Потім між учасниками гри ставили й інші знаки – плюс, мінус, більше, менше.

Відповісти

Дитяча відповідь, так??))
Може прозвучить жорстоко, але автор сам не розуміє, чому мінус на мінус дає плюс:-)
Все у світі можна пояснити наочно, адже абстракції потрібні лише пояснення світу. Вони прив'язані до реальності, а не живуть самі по собі в марених підручниках.
Хоча для пояснення потрібно як мінімум знати фізику, а іноді й біологію в поєднанні з основами нейрофізіології людини.

Проте перша частина дала надію зрозуміти, і дуже доступно пояснила необхідність негативних чисел.
Але друга традиційно з'їхала у шизофренію. А і В – це мають бути реальні об'єкти! так навіщо ж їх називати цими літерами, коли можна взяти, наприклад, буханці хліба або яблука
Якщо ... якщо було б можна ... так?))))))

І... навіть користуючись правильною основою з першої частини (що множення це те саме додавання) - з мінусами виходить суперечність))
-2 + -2 = -4
але
-2 * -2 =+4))))
і навіть якщо вважати, що це мінус два, взяте мінус два рази, то вийде
-2 -(-2) -(-2) = +2

Варто просто зізнатися, що якщо числа віртуальні, то щодо правильного обліку довелося придумати віртуальні правила.
І це було б ПРАВДОЮ, а не окольцованной нісенітницею.

Відповісти

У своєму прикладі Academon припустився помилки:
Насправді (-2) + (-2) = (-4) - це 2 рази (-2), тобто. (-2) * 2 = (-4).
Що ж до множення двох негативних чисел, без суперечностей, це те саме додавання, тільки з іншого боку від «0» на числовій прямій. А саме:
(-2) * (-2) = 0 - (-2) - (-2) = 2 + 2 = 4. Так що все сходиться.
Ну а щодо реальності негативних чисел, як вам такий приклад?
Якщо у мене в кишені, скажімо, 1000$, настрій мій можна назвати «позитивним».
Якщо 0$, відповідно стан буде «ніяким».
А якщо (-1000) $ - борг, який треба повертати, а грошей немає ...?

Відповісти

Мінус на мінус – завжди буде плюс,
Чому так буває – сказати не беруся.

Чому-на-=+ привів мене в подив ще в школі, у 7 класі (1961 р). Я спробував вигадати іншу, більш "справедливу" алгебру, де +на+=+, а -на-=-. Так мені здалося чесніше. Але як бути з +на- і -на+? Втратити комутативність xy=yx не хотілося, а інакше не виходить.
А якщо взяти не 2 знаки а три, наприклад +, - і *. Рівноправні та симетричні.

СТАНОВЛЕННЯ
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) не складаються(!), як дійсна та уявна частини комплексного числа.
Але за те (+a)+(-a)+(*a)=0.

Наприклад, чому дорівнює (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Не просто, але звикнути можна.

Тепер УМНОЖЕННЯ.
Постулюємо:
+на+=+ -на-=- *на*=* (справедливо?)
+на-=-на+=* +на*=*на+=- -на*=*на-=+ (справедливо!)
Здається все добре, але множення не асоціативно, тобто.
а(bс) не дорівнює (аb)с.

А якщо так
+на+=+ -на-=* *на*=-
+на-=-на+=- +на*=*на+=* -на*=*на-=+
Знову несправедливо, виділений як особливий. АЛЕ народилася Нова Алгебра з трьома знаками. Комутативна, асоціативна та дистрибутивна. Має геометричну інтерпретацію. Вона ізоморфна комплексним числам. Її можна розширювати далі: чотири знаки, п'ять...
Такого не було. Беріть, люди, користуйтесь.

Відповісти

Дитяче питання – взагалі дитяча відповідь.
Є наш світ, де все "плюс": яблука, іграшки, кішки та собаки, вони справжні. Яблуко можна з'їсти, кішку можна погладити. А ще є придуманий світ, задзеркалля. Там теж є яблука та іграшки, задзеркальні, ми можемо їх уявити, але доторкнутися не можемо – вони вигадані. Потрапити з одного світу до іншого ми можемо за допомогою знака "мінус". Якщо у нас є два справжні яблука (2 яблука), і ми поставимо знак мінус (-2 яблука) - отримаємо два вигадані яблука в дзеркалі. Знак мінус переносить нас з одного світу в інший, туди-назад. Задзеркальних яблук у нашому світі немає. Ми можемо їх уявити цілу купу навіть мільйон (мінус мільйон яблук). Ось тільки з'їсти їх не вийде, бо мінус яблук у нас немає, усі яблука в наших магазинах – це плюс яблука.
Помножити – значить розставити якісь предмети у вигляді прямокутника. Візьмемо дві точки ":" і помножимо їх на три, отримаємо: ":::" - всього шість точок. Можна взяти справжнє яблуко (+Я) і помножити його на три, отримаємо: "+ЯЯЯ" - три справжні яблука.
А тепер помножимо яблуко на мінус три. Ми знову отримаємо три яблука "+ЯЯЯ", але знак мінус перенесе нас у задзеркалля, і у нас виявиться три задзеркальні яблука (мінус три яблука -ЯЯЯ).
А тепер помножимо мінус яблуко на мінус три. Тобто беремо яблуко, а коли перед ним мінус – переносимо у задзеркалля. Там ми примножуємо його на три. Тепер у нас три дзеркальні яблука! Але лишився ще один мінус. Він перемістить отримані яблука назад у наш світ. У результаті отримаємо три справжні смачні яблука +ЯЯЯ, які можна з'їсти.

Відповісти

Все гаразд до останнього кроку. При множенні на мінус одиницю трьох дзеркальних яблук ми повинні відобразити ці яблука ще в одному дзеркалі. Вони за розташуванням збігатимуться з реальними, але будуть такими ж уявними, як і перші дзеркальні і такими ж неїстівними. Тобто (-1) * (-1) = -1<> 1.
Насправді мене бентежить інший момент, пов'язаний з множенням негативних чисел, а саме:
Чи правильна рівність:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Це питання виникло зі спроби усвідомити поведінку графіка функції y=x^n, де x і n - дійсні числа.
Виходить, що графік функції розташований буде в 1 і 3 чвертях завжди, крім тих випадків, коли n - парне. У цьому змінюється лише кривизна графіка. Але парність n - величина відносна, адже ми можемо прийняти іншу систему відліку, в якій n = 1,1 * k, далі ми отримуємо
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
і парність тут буде інша.
І на додаток я пропоную додати до міркування те, що відбувається з графіком функції y = x^(1/n). Я не безпідставно припускаю, що графік функції повинен бути симетричний графіку y = x^n щодо графіка функції y = x.

Відповісти

Є кілька способів пояснення правила "мінус на мінус дає плюс". Ось найпростіший. Розмноження на натур. число n - це розтяг відрізка (розташованого на числовій осі) в n разів. Множення на -1 це відбиток відрізка щодо початку координат. Як найкоротше пояснення, чому (-1)*(-1) = +1 цей спосіб придатний. Вузьке місце цього підходу в тому, що потрібно ще окремо визначити суму таких операторів.

Відповісти

Можна йти при поясненні від комплексних чисел
як загальної форми представлення чисел
Тригонометрична форма комплексного числа
Формула Ейлера
Знак у цьому випадку це просто аргумент (кут повороту)
При множенні кути складаються
0 градусів відповідає +
180 градусів відповідає -
Множення - на - еквівалентно 180+180=360=0

Відповісти

Таке покотить?

Заперечення – це зворотна річ. Для простоти, щоб тимчасово відійти від мінусів, замінимо затвердження та зробимо точку відліку більше. Почнемо відлік не з нуля, а з 1000.

Припустимо, мені дві людини повинні дати по два рублі: 2_людини*2_рубля=4_рубля мені винні в сумі. (Мій баланс 1004)

Тепер зворотні (негативні числа, але зворотні/позитивні твердження):

мінус 2 людини = значить не мені повинні, а я повинен (я винен більшій кількості людей, ніж мені повинні). Наприклад, я повинен 10 людям, а мені всього 8. Взаємні розрахунки можна скоротити і не враховувати, але можна мати на увазі, якщо зручніше працювати з позитивними числами. Тобто, всі один одному видають гроші.

мінус 2 рублі = аналогічний принцип – має забрати більше, ніж дати. Значить я кожному винен по два рублі.

-(2_человека)*2_рубля=я_должен_каждому_по_2=-4 у мене. Мій баланс 996 рублів.

2_человека*(-2_рубля)=двое_должи_забрать_по_2_рубля_у_меня=- 4 у мене. Мій баланс 996 рублів.

-(2_человека)*(-2_рубля)= кожен_должен_взяти_у_меня_менше_чем_должен_дать_на_2_рубля

Взагалі, якщо уявити, що все крутиться не близько 0, а близько, наприклад, 1000, а видають грошей по 10, забираючи по 8. То можна послідовно виконуючи всі операції видачі комусь грошей або відбирання, дійти висновку, що якщо двоє зайвих (інших скороченим взаємозаліком) заберуть у мене на два рублі менше, ніж повернуть, то мій добробут зросте на позитивну цифру 4.

Відповісти

У пошуках ПРОСТОЇ (зрозумілої дитині) відповіді на поставлене запитання ("Чому мінус на мінус дає плюс") я старанно прочитала і запропоновану автором статтю, і всі коментарі. Вважаю найбільш вдалою відповіддю той, який винесений в епіграф: "Ворог мого ворога - мій друг". Куди вже зрозуміліше! Просто та геніально!

Якийсь мандрівник прибуває на острів, про жителів якого йому відомо лише одне: деякі з них кажуть лише правду, інші – лише брехня. Зовнішньо їх розрізнити неможливо. Мандрівник висадився на берег і бачить дорогу. Він хоче дізнатися, чи веде цей шлях до міста. Побачивши на дорозі місцевого жителя, він ставить йому ТІЛЬКИ ОДНЕ питання, що дозволяє йому дізнатися, що дорога до міста веде. Як він спитав про це?

Рішення - трьома рядками нижче (просто щоб зробити паузу і дати вам, дорослим, шанс зупинитися і подумати над цим чудовим завданням!) Моєму онукові-третій класнику завдання виявилося поки не по зубах, але осмислення відповіді, без сумніву, наблизило його до розуміння майбутніх математичних премудростей на кшталт "мінус на мінус дає плюс".

Отже, відповідь:

"Якби я запитав у вас, чи веде ця дорога до міста, що ви мені відповіли б?"

«Алгебраїчне» пояснення не змогло похитнути моєї гарячої любові до батька, ні глибокої поваги до його науки. Але я назавжди зненавидів аксіоматичний метод із його невмотивованими визначеннями.

Цікаво, що ця відповідь І.В.Арнольда на дитяче питання практично співпала за часом з появою його книги "Негативні числа в курсі алгебри". Там (в розділі 7) наводиться зовсім інша відповідь, як на мене, дуже наочна. Книга доступна в електронному вигляді http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Відповісти

Якщо є парадокс, слід шукати помилки в основах. У формулюванні множення три помилки. Звідси і виходить "феномен". Потрібно просто додати нуль.

(-3) х (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Множення - це багаторазове збільшення до нуля (або віднімання з нуля).

Множник (4) показує кількість операцій додавання або віднімання (кількість знаків "мінус" або "плюс" при розкладанні множення на додавання).

Знаки "мінус" і "плюс" у множника (4) наказують або віднімати множимо з нуля, або додавати множ до нуля.

Саме в цьому прикладі (-4) показує, що необхідно відняти ("-") з нуля множимое (-3) чотири рази (4).

Виправте формулювання (три логічні помилки). Просто додайте нуль. Правила арифметики від цього не зміняться.

Детально на цю тему тут:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Що за звичка механічно вірити у підручники? Потрібно й власні мізки мати. Особливо якщо зустрічаються парадокси, білі плями, явні протиріччя. Усе це наслідок помилок теоретично.

Розкласти на доданок добуток двох негативних чисел, за існуючим зараз формулюванням множення (без нуля), неможливо. Це нікого не напружує?

Що ж це за формулювання множення, за яким неможливо виконати множення? :)

Проблема ще й суто психологічна. Сліпа довіра авторитетам, небажання думати самостійно. Якщо в підручниках так написано, якщо в школі так навчають, то це істина в останній інстанції. Все змінюється, зокрема й науки. Інакше не було б розвитку цивілізації.

Виправте формулювання множення у всіх підручниках! Правила арифметики від цього не зміняться.

Більше того, як випливає із статті за посиланням вище, виправлене формулювання множення стане аналогічним формулюванням зведення числа в ступінь. Там теж не записують одиницю при зведенні на позитивний ступінь. Проте записують одиницю при зведенні числа негативний ступінь.

Панове математики, вашу матір, потрібно завжди записувати нуль і одиницю, навіть якщо результат від їхньої відсутності не змінюється.

Змінюється (або навіть пропадає) сенс скорочених записів. І виникають проблеми з розумінням у школярів.

Відповісти

Написати коментар

Чи правильно ми розуміємо множення?

- А і Б сиділи на трубі. А впало, Б пропало, що залишилося на трубі?
- Залишилася ваша буква І".

(З к/ф "Дитини у Всесвіті")

Чому при множенні числа на нуль виходить нуль?

7 * 0 = 0

Чому при перемноженні двох негативних чисел виходить позитивне число?

7 * (-3) = + 21

Що тільки не вигадують педагоги, щоби дати відповіді на ці два питання.

Але нікому не вистачає сміливості визнати, що у формулюванні множення три смислові помилки!

Чи можливі помилки в основі арифметики? Адже математика позиціонує себе точною наукою.

Шкільні підручники математики не дають відповіді на ці питання, замінюючи пояснення набором правил, які слід запам'ятати. Можливо, вважають цю тему важкою для пояснення в середніх класах школи? Спробуємо розібратися у цих питаннях.

7 - множинне. 3 – множник. 21- твір.

За офіційним формулюванням:

помножити число на інше число - значить скласти стільки множин, скільки наказує множник.

За прийнятим формулюванням множник 3 говорить нам про те, що в правій частині рівності має бути три сімки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Але це формулювання множення не може пояснити поставлені вище питання.

Виправимо формулювання множення

Зазвичай у математиці багато мають на увазі, але про це не говорять і не записують.

Мається на увазі знак плюс перед першою сімкою у правій частині рівності. Запишемо цей плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Але до чого додається перша сімка. Мається на увазі, що до нуля, очевидно. Запишемо і нуль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А якщо ми множитимемо на три мінус сім?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Ми записуємо складання множини -7, насправді ми робимо багаторазове віднімання з нуля. Розкриємо дужки.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Тепер можна дати уточнене формулювання множення.

Множення - це багаторазове додавання до нуля (або віднімання з нуля) множини (-7) стільки разів, скільки вказує множник. Множник (3) та його знак (+ або -) вказує кількість операцій додавання до нуля або віднімання з нуля.

За цим уточненим і дещо зміненим формулюванням множення легко пояснюються "правила знаків" при множенні, коли множник негативний.

7 * (-3) - має бути після нуля три знаки "мінус" = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - знову має бути після нуля три знаки "мінус" =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Розмноження на нуль

7 * 0 = 0 + ... немає операцій додавання до нуля.

Якщо множення це додаток до нуля, а множник показує кількість операцій додавання до нуля, то множник нуль показує, що до нуля нічого не додається. Тому залишається нуль.

Отже, у існуючому формулюванні множення ми знайшли три смислові помилки, які блокують розуміння двох "правил знаків" (коли множник негативний) та множення числа на нуль.

Потрібно не складати множинне, а додавати його до нуля.
Множення це не тільки додаток до нуля, але й віднімання з нуля.
Множник і його знак показують не кількість доданків, а кількість знаків плюс або мінус при розкладанні множення на доданки (або віднімаються).

Дещо уточнивши формулювання, нам вдалося пояснити правила знаків при множенні та множення числа на нуль без допомоги переміщувального закону множення, без розподільчого закону, без залучення аналогій з числовою прямою, без рівнянь, без доказів від зворотного тощо.

Правила знаків уточненого формулювання множення виводяться дуже просто.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Множник та його знак (+3 або -3) вказує на кількість знаків "+" або "-" у правій частині рівності.

Змінена формулювання множення відповідає операції зведення числа у ступінь.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (одиниця ні на що не множиться і не ділиться, тому залишається одиницею)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Математики згодні, що зведення числа на позитивний ступінь - це багаторазове множення одиниці. А зведення числа в негативний ступінь - це багаторазове поділ одиниці.

Операція множення має бути аналогічною операції зведення в ступінь.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 = 0 (до нуля нічого не додається і з нуля нічого не віднімається)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Змінена формулювання множення нічого не змінює в математиці, але повертає первісний сенс операції множення, пояснює "правила знаків", множення числа на нуль, погоджує множення зі зведенням у ступінь.

Перевіримо, чи узгоджується наше формулювання множення з операцією поділу.

15: 5 = 3 (зворотна операція множення 5*3 = 15)

Частка (3) відповідає кількості операцій додавання до нуля (+3) при множенні.

Розділити число 15 на 5 - значить знайти, скільки разів потрібно відняти 5 з 15-ти. Робиться це послідовним відніманням до отримання нульового результату.

Щоб знайти результат розподілу, слід підрахувати кількість знаків "мінус". Їх три.

15: 5 = 3 операції віднімання п'ятірки з 15 до отримання нуля.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (поділ 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (множення 5*3)

Поділ із залишком.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 та 2 залишок

Якщо є поділ із залишком, чому немає множення із придатком?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Дивимося різницю формулювань на калькуляторі

Існуюче формулювання множення (три доданки).

10 + 10 + 10 = 30

Виправлене формулювання множення (три операції додавання до нуля).

0 + 10 = = = 30

(Три рази натискаємо "рівняється".)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множник 3 вказує, що до нуля потрібно додати множимо 10 тричі.

Спробуйте виконати множення (-10) * (-3) шляхом додавання доданку (-10) мінус три рази!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Що означає знак мінусу у трійки? Може так?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Опс... Не вдається розкласти твір на суму (або різницю) доданків (-10).

За допомогою зміненого формулювання це виконується правильно.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множник (-3) вказує, що з нуля потрібно відняти множину (-10) три рази.

Правила знаків при складанні та відніманні

Вище був показаний простий спосіб виведення правил знаків при множенні шляхом зміни змісту формулювання множення.

Але для виведення ми використовували правила знаків при складанні та відніманні. Вони майже такі самі, як і для множення. Створимо візуалізацію правил знаків для складання та віднімання, щоб і першокласнику було зрозуміло.

Що таке "мінус", "негативний"?

Нічого негативного у природі немає. Немає негативної температури, немає негативного напрямку, немає негативної маси, немає негативних зарядів... Навіть синус за своєю природою може бути лише позитивним.

Але математики вигадали негативні числа. Для чого? Що означає мінус?

Мінус означає протилежний напрямок. Лівий правий. Верх низ. За годинниковою стрілкою - проти годинникової стрілки. Вперед назад. Холодно – гаряче. Легкий – важкий. Повільно – швидко. Якщо думати, можна навести багато інших прикладів, де зручно використовувати негативні значення величин.

У відомому нам світі нескінченність починається з нуля і йде в плюс нескінченність.

"Мінус нескінченності" у реальному світі не існує. Це така сама математична умовність, як і поняття "мінус".

Отже, "мінус" означає протилежний напрямок: руху, обертання, процесу, множення, додавання. Проаналізуємо різні напрями при додаванні та відніманні позитивних і негативних (збільшуються в іншому напрямку) чисел.

Складність розуміння правил знаків при додаванні та відніманні пов'язана з тим, що зазвичай ці правила намагаються пояснити на числовій прямій. На числовій прямій змішуються три різні складові, у тому числі виводяться правила. І через змішування, через звалювання різних понять в одну купу, створюються проблеми розуміння.

Для розуміння правил нам потрібно розділити:

перше доданок та суму (вони будуть на горизонтальній осі);
другий доданок (воно буде на вертикальній осі);
напрямок операцій складання та віднімання.

Такий поділ наочно показано малюнку. Подумайте, що вертикальна вісь може обертатися, накладаючись на горизонтальну вісь.

Операція докладання завжди виконується обертанням вертикальної осі за годинниковою стрілкою (знак "плюс"). Операція віднімання завжди виконується шляхом обертання вертикальної осі проти годинникової стрілки (знак "мінус").

приклад. Схема у нижньому правому кутку.

Видно, що два знаки мінусу (знак операції віднімання і знак числа 3), що стоять поряд, мають різний сенс. Перший мінус показує напрямок віднімання. Другий мінус – знак числа на вертикальній осі.

Знаходимо перший доданок (-2) на горизонтальній осі. Знаходимо другий доданок (-3) на вертикальній осі. Подумки обертаємо вертикальну вісь проти годинникової стрілки до суміщення (-3) із числом (+1) на горизонтальній осі. Число (+1) є результатом додавання.

Операція віднімання

дає такий самий результат, як операція додавання на схемі у верхньому правому кутку.

Тому два знаки, що стоять поруч, "мінус" можна замінити одним знаком "плюс".

Ми всі звикли користуватися готовими правилами арифметики, не замислюючись про їхній сенс. Тому ми часто навіть не помічаємо, чим правила знаків при складанні (відніманні) відрізняються від правил знаків при множенні (розподілі). Здається, вони однакові? Майже... Незначна різниця помітна на наступній ілюстрації.

Тепер ми маємо все необхідне, щоб вивести правила знаків для множення. Послідовність виводу така.

Наочно показуємо, як виходять правила знаків для складання та віднімання.
Вносимо смислові зміни до існуючого формулювання множення.
На основі зміненого формулювання множення та правил знаків для складання виводимо правила знаків для множення.

Примітка.

Нижче написані п равила знаків при додаванні та відніманніотримані з візуалізації. І червоний колір, для порівняння, ті ж правила знаки з підручника математики. Сірий плюс у дужках - це плюс-невидимка, яка не записується у позитивного числа.

Між доданками завжди два знаки: знак операції та знак числа (плюс ми не записуємо, але маємо на увазі). Правила знаків наказують заміну однієї пари знаків іншу пару без зміни результату складання (віднімання). Фактично, правил лише два.

Правила 1 і 3 (по візуалізації) - дублюють правила 4 і 2. Це якісь інші правила...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Шкільне правило 1. (червоний колір) дозволяє заміняти два плюси поспіль одним плюсом. Правило не відноситься до заміни знаків при складанні та відніманні.

Шкільне правило 3. (червоний колір) дозволяє не записувати знак плюс у позитивного числа після операції віднімання. Правило не відноситься до заміни знаків при складанні та відніманні.

Сенс правил знаків при додаванні-заміна однієї ПАРИ знаків іншою ПАРОЮ знаків без зміни результату додавання.

Шкільні методисти змішали в одному правилі два правила:

Два правила знаків при додаванні та відніманні позитивних і негативних чисел (заміна однієї пари знаків іншою парою знаків);

Два правила, якими можна писати знак " плюс " у позитивного числа.

Два різні правила, змішані в одне, схожі на правила знаків при множенні, де з двох символів слідує третій. Схожі один на один.

Здорово заплутали! Ще раз те саме, для кращого розплутування. Виділимо червоним кольором символи операцій, щоб відрізняти їх від символів чисел.

1. Додавання та віднімання. Два правила знаків, якими взаємозамінюються пари знаків між доданками. Операція знак і знак числа.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Два правила, якими знак плюс у позитивного числа дозволяється не писати. Це правила форми запису. До складання не належать. Для позитивного числа записується лише знак операції.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Чотири правила знаків при множенні. Коли із двох знаків множників випливає третій знак твору. У правилах знаків для множення лише знаки чисел.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Тепер, коли ми відокремили правила форми запису, має бути добре видно, що правила знаків для складання та віднімання зовсім не схожі на правила знаків при множенні.

В.Козаренко

Зараз ми розглянемо приклади віднімання негативних чисел, і ви переконаєтеся, що це дуже легко. Потрібно просто пам'ятати правило: два мінуси, що стоять поряд, дають плюс.

Приклад 1. Віднімання негативного числа із позитивного числа

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Як бачимо, щоб відняти з позитивного числа негативне число, потрібно просто скласти їх модулі.

Приклад 2. Віднімання негативного числа від негативного числа

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Отже, при відніманні негативного числа з негативного ми діємо за правилом , і ми можемо вийти як позитивне, і негативне число.

Існує єдине правило, що визначає віднімання будь-яких чисел: як негативних, і позитивних, і звучить воно так:

Правило знаків

Щоб позбутися зайвих дужок при відніманні негативних чисел, ми можемо скористатися правилом знаків.Це правило говорить:

Наприклад:

А тепер пройдіть тест та перевірте себе!

Додавання та віднімання негативних чисел

Ліміт часу: 0

Навігація (тільки номери завдань)

0 із 20 завдань закінчено

«Ворог мого ворога - мій друг»

Чому мінус один помножити на мінус один і плюс один? Чому мінус один помножити на плюс один і мінус один? Найпростіше відповісти: «Оскільки такі правила дій над негативними числами». Правила, які ми навчаємо у школі та застосовуємо все життя. Проте підручники не пояснюють чому правила саме такі. Ми спочатку намагатимемося зрозуміти це, виходячи з історії розвитку арифметики, а потім відповімо на це питання з погляду сучасної математики.

Давним-давно людям були відомі лише натуральні числа: Їх використовували для підрахунку начиння, видобутку, ворогів і т. д. Але числа самі по собі досить марні - потрібно вміти з ними поводитися. Додавання наочно і зрозуміло, до того ж сума двох натуральних чисел - теж натуральне число (математик сказав би, що безліч натуральних чисел замкнено щодо операції додавання). Множення - це, по суті, те саме додавання, якщо ми говоримо про натуральні числа. У житті ми часто здійснюємо дії, пов'язані з цими двома операціями (наприклад, роблячи покупки, ми складаємо та множимо), і дивно думати, що наші предки стикалися з ними рідше – додавання та множення були освоєні людством дуже давно. Часто доводиться й ділити одні величини інші, але тут результат який завжди виражається натуральним числом - так з'явилися дробові числа.

Без вирахування, звичайно, теж не обійтися. Але на практиці ми, як правило, віднімаємо з більшої кількості менше, і немає потреби використовувати негативні числа. (Якщо у мене є цукерок і я віддам сестрі, то у мене залишиться цукерки, а ось віддати їй цукерок я за всього бажання не можу.) Цим можна пояснити, чому люди довго не користувалися негативними числами.

Розглянемо для прикладу рівняння. Його можна вирішувати так: перенести члени з невідомим у ліву частину, а решта - у праву, вийде , , . За такого рішення нам навіть не зустрілися негативні числа.

Але можна було випадково зробити і по-іншому: перенести доданки з невідомим у праву частину і отримати . Щоб знайти невідоме, потрібно розділити одне негативне число інше: . Але правильна відповідь відома, і залишається укласти, що .

Що демонструє цей нехитрий приклад? По-перше, стає зрозумілою логіка, якою визначалися правила дій над негативними числами: результати цих дій повинні співпадати з відповідями, які виходять іншим шляхом, без негативних чисел. По-друге, допускаючи використання негативних чисел, ми позбавляємося від утомливого (якщо рівняння виявиться складнішим, з великою кількістю доданків) пошуку того шляху вирішення, при якому всі дії виробляються лише над натуральними числами. Більше того, ми можемо більше не думати щоразу про свідомість перетворюваних величин - а це вже крок у напрямку перетворення математики на абстрактну науку.

У результаті з'явилося нове поняття: обручка. Це всього-на-всього безліч елементів плюс дії, які можна над ними виробляти. Основними тут є саме правила (їх називають аксіомами), яким підкоряються дії, а не природа елементів множини (ось він, новий рівень абстракції!). Бажаючи підкреслити, що важлива саме структура, яка виникає після введення аксіом, математики кажуть: кільце цілих чисел, кільце багаточленів тощо. Відштовхуючись від аксіом, можна виводити інші властивості кілець.

Кільцем називається безліч з двома бінарними операціями (тобто в кожній операції задіяні два елементи кільця), які за традицією називають додаванням та множенням, і наступними аксіомами:

Тепер доведемо, що будь-яких елементів і довільного кільця вірно, по-перше, , а по-друге . На цьому легко випливають твердження про одиниці: и .

Для цього нам потрібно встановити деякі факти. Спочатку доведемо, що у кожного елемента може бути лише один протилежний. Справді, нехай елемент має два протилежні: і . Тобто . Розглянемо суму. Користуючись сполучним і переміщувальним законами та властивістю нуля, отримаємо, що, з одного боку, сума дорівнює, а з іншого боку, вона дорівнює. Отже, .

Зауважимо тепер, що , і є протилежними одному й тому елементу , тому вони мають бути рівні.

Перший факт виходить так: тобто протилежно, значить, воно одно.

Щоб бути математично строгими, пояснимо ще, чому для будь-якого елемента. Справді, . Тобто додаток не змінює суму. Отже, цей твір дорівнює нулю.

Євген Єпіфанов
«Елементи»

Коментарі: 0

Річард Фейнман

Він бере рахунки: жжжжжжжжжжжжжжжж – «Так», – погоджується він. І тут до мене доходить: він не знає чисел. Коли ти маєш рахунки, не потрібно запам'ятовувати безліч арифметичних комбінацій; Треба просто навчиться клацати кісточками вгору-вниз. Немає необхідності запам'ятовувати, що 9+7=16; ти просто знаєш, що коли додаєш 9, то треба пересунути десяткову кісточку вгору, а одиничну – вниз. Тому основні арифметичні дії ми виконуємо повільніше, зате знаємо числа.

Жак Сезіано

За два тисячоліття відбулося три важливі розширення числової області. По-перше, близько 450 р. до н. вчені школи Піфагора довели існування ірраціональних чисел. Їхньою початковою метою було числове вираження діагоналі одиничного квадрата. По-друге, у XIII-XV століттях європейські вчені, вирішуючи системи лінійних рівнянь, припустилися можливості одного негативного рішення. І, по-третє, в 1572 р. італійський алгебраїст Рафаель Бомбеллі використав комплексні числа для отримання дійсного вирішення якогось кубічного рівняння.

Ілля Щуров

Математик Ілля Щуров про десяткові дроби, трансцендентність та ірраціональність числа Пі.

Проскуряков І. В.

Метою цієї книги є суворе визначення чисел, багаточленів та алгебраїчних дробів та обґрунтування їх властивостей, вже відомих зі школи, а не ознайомлення читача з новими властивостями. Тому читач не знайде тут нових для нього фактів (за винятком, можливо, деяких властивостей, дійсних і комплексних чисел), але дізнається, як доводяться речі, добре йому відомі, починаючи з «двічі два - чотири» і закінчуючи правилами дій з багаточленами та алгебраїчними дробами. Натомість читач познайомиться із низкою загальних понять, що грають в алгебрі основну роль.

Жак Сезіано

Ми знаємо про Діофант небагато. Здається, він жив у Олександрії. Ніхто з грецьких математиків не згадує його до IV століття, тому він ймовірно жив у середині III століття. Найголовніша робота Діофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), відбулася на початку з 13 «книг» (βιβλία), тобто розділах. Ми сьогодні маємо 10 з них, а саме: 6 у грецькому тексті та 4 інших у середньовічному арабському перекладі, місце яких у середині грецьких книг: книги I-III по-грецьки, IV-VII по-арабськи, VIII-X по-грецьки . «Арифметика» Діофанта насамперед зібрання завдань, лише близько 260. Теорії, правду кажучи, немає; є лише загальні інструкції у вступі книги, і приватні зауваження у деяких завданнях, коли потрібно. "Арифметика" вже має риси алгебраїчного трактату. Спочатку Діофант користується різними знаками, щоб висловлювати невідоме та його ступеня, також деякі обчислення; як і всі алгебраїчні символіки середньовіччя, його символіка походить від математичних слів. Потім Діофант пояснює, як вирішити завдання алгебраїчним способом. Але завдання Діофанта не алгебраїчне у звичайному сенсі, тому що майже всі зводяться до розв'язання невизначеного рівняння або систем таких рівнянь.

Світ математики немислимий без них без простих чисел. Що таке прості числа, що в них особливого і яке значення мають для повсякденного життя? У цьому фільмі британський професор математики Маркус дю Соті відкриє таємницю простих чисел.

Георгій Шабат

У школі нам усім прищеплюється помилкове уявлення у тому, що у безлічі раціональних чисел Q є єдине природне відстань (модуль різниці), щодо якого всі арифметичні операції безперервні. Однак існує ще безліч відстаней, так званих p-адичних, по одному на кожне число p. Відповідно до теореми Островського, «звичайна» відстань разом з усіма p-адичними вже справді вичерпують усі розумні відстань Q. Термін «адельна демократія» запроваджений Ю. І. Маніним. Відповідно до принципу адельної демократії, всі розумні відстані на Q рівні перед законами математики (можливо, лише традиційне «трохи рівніше…». В курсі буде введено кільце аделей, що дозволяє працювати з усіма цими відстанями одночасно.

Володимир Арнольд

Ж. Л. Лагранж довів, що послідовність неповних приватних (починаючи з деякого місця) періодична, якщо й тільки якщо число x – квадратична ірраціональність. Р. О. Кузьмін довів, що у послідовності неповних приватних майже будь-якого речовинного числа частка d_m рівних m неповних приватних однакова (для типових речових чисел). Частка d_m меншає при m→∞ як 1/m^2 і її величина була передбачена Гауссом (що нічого не довело). В. І. Арнольда висловив (років 20 тому) гіпотезу, що статистика Гауса-Кузьміна d_m виконується також для періодів ланцюгових дробів коренів квадратних рівнянь x^2+px+q=0 (з цілими p і q): якщо виписати разом неповні приватні , що становлять періоди всіх ланцюгових дробів коренів таких рівнянь з p^2+q^2≤R^2, то частка неповного приватного m серед них буде прагнути до d_m при R→∞. В. А. Биковський зі своїми хабарівськими учнями довели нещодавно цю давню гіпотезу. Незважаючи на це, питання про статистику не букв, а складених з них слів, які є періодами ланцюгових дробів будь-яких коренів x рівнянь x^2+px+q=0 далеко не вирішено.

Також на тему

Значення слова поема у словнику літературознавчих термінів Повідомлення поема як жанр

Одноразове обвивання пуповиною

Марія Склодовська-Кюрі - феномен XX століття (6 фото) Марія кюрі хвороба

Як виглядає дитина на 21 тижні вагітності

Як виглядатиме людина через тисячу років