U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti šta je algebarski izraz, kako pronaći njegovu vrijednost za date vrijednosti varijabli. Hajde da saznamo koje vrijednosti varijabli mogu biti nevažeće za dati izraz. Naučit ćemo i kako izvoditi različite radnje s numeričkim i algebarskim izrazima.

Definicija: Algebarski izraz je svaka značajna notacija koja može sadržavati samo brojeve, slova, znakove akcije i zagrade. Na primjer, .

Moguće je izračunati vrijednost algebarskog izraza s obzirom na vrijednosti varijabli, za to je dovoljno zamijeniti vrijednost u izraz i izvršiti proračune. Na primjer, kada je vrijednost izraza : .

Zadatak 1 . Pronađite vrijednost izraza za .

Odluka . Zamijenite vrijednost u izrazu i izvršite proračune:

Odgovori: .

U zadatku 1 pokazalo se dijeljenje sa 0. Možete pokušati podijeliti 3 sa 0, na primjer, na kalkulatoru. Uvjerite se sami da kalkulator nije mogao pronaći vrijednost ovog izraza. Ni nama to neće raditi. Deljenje sa 0 je besmisleno, nedefinisano.

Zašto podjela nulom nije definirana?

0 je uveden kao dio većeg mehanizma zvanog cijeli brojevi koji označava odsustvo nečega. 0 olakšava brojanje i pisanje brojeva, ali ne postoji nulta količina, ne možete uprijeti prstom u nju, tako da ne možete reći koliko 0 sadrži drugi broj.

Podijeliti 3 sa 0 znači reći koliko puta 3 nije ništa. Odgovoriti na pitanje koliko kvadrata u garaži je moguće, ali odgovoriti koliko je praznine u njoj - ne.

Ako bi se izmislio neki smisao za izraz, onda bi to bilo u suprotnosti sa nekim poznatim svojstvima i definicijama, na primjer, osobinama množenja, pa dijeljenje sa 0 nije definirano.

Još uvijek možete pokušati podijeliti 3 sa 0. Dijeljenje je obrnuto od množenja, tj. ako je .

Ali množenje sa 0 uvijek rezultira 0, tj. jednostavno ne postoji.

Razmotrimo slučaj dijeljenja 0 sa 0 tako da nema osjećaja da je poseban i drugačiji od dijeljenja 3 sa 0.

Jednakost će važiti za bilo koje, jer Ali rezultat dijeljenja mora biti određeni broj. Opet dobijamo kontradikciju.

Dakle, podjela sa 0 nije definirana u matematici.

Možete zamijeniti bilo koji broj u algebarski izraz, ali nije uvijek moguće izračunati njegovu vrijednost.

Definicija: nazivaju se takve vrijednosti varijable za koje izraz nije definiran (nemoguće je izračunati njegovu vrijednost). nevažeće vrijednosti.

Za sada nam je poznat samo jedan takav slučaj. Na primjer, ako izraz sadrži razlomak ili podjelu, tada u izraz nećemo zamijeniti takve vrijednosti varijable kod kojih nazivnik postaje 0: .

Postoje i drugi slučajevi nevažećih vrijednosti varijabli, ali ćemo o njima učiti kasnije, dok budemo proučavali različite funkcije.

Razmotrimo primjere za određivanje nevažećih vrijednosti varijabli u izrazima.

Primjer 1

Odluka . Izraz je razlomak, tako da njegov nazivnik ne može biti 0: .

Dakle, nevažeća vrijednost varijable je 0, tj. izraz je definiran za bilo koji .

Odgovori: 0.

Primjer 2 . Definirajte nevažeće vrijednosti za varijablu u izrazu.

Odluka . Izraz je razlomak, tako da njegov imenilac ne može ići na 0: .

Dakle, nevažeća vrijednost varijable je 5, tj. izraz je definiran za bilo koji .

Odgovori: 5.

Gdje još možete pronaći dijeljenje nulom?

Dokažimo to. Hajde da uvedemo varijable , neka .

Dobijamo jednakost:

Preuređujemo uslove i dobijamo:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada u svakom od dijelova jednakosti:

Podijelimo obje strane jednačine sa i dobićemo:

Shvatio sam. u čemu je kvaka? Činjenica je da se u naš “dokaz” uvukla greška: dijeljenje sa 0 izvršeno je kada se oba dijela jednakosti dijele izrazom (prema pretpostavci, ovi brojevi su jednaki:).

To je primjer matematička sofistika- iskazi sa dokazom, u kojima se kriju greške. Sofizmi nisu samo matematički, na primjer, fraza „Nisi izgubio ono što imaš. Nisi izgubio rogove i rep. Znači imaš rogove i rep” sadrži logičku grešku: iz prve fraze ne proizlazi da imaš sve što nisi izgubio.

Najpoznatiji sofizmi su Zenonove aporije. Više o njima možete saznati na ovo veza.

Već smo naišli na ekvivalentne izraze kada smo razlomke sveli na zajednički nazivnik. Zapisali smo lance ekvivalentnih razlomaka i od njih odabrali one koji imaju isti nazivnik:

I

Na primjer, u ovom slučaju to će biti razlomci: .

Ekvivalentni izrazi se mogu zamijeniti jedni drugima, to neće promijeniti značenje i značenje unosa.

Na primjer, recimo da postoji izraz . Možete izvršiti množenje i dobiti izraz. Oba ova numerička izraza su jednaka, ekvivalentna.

Ako izvršite sve radnje u nekom numeričkom izrazu, onda ćete dobiti njegovu vrijednost: , tj. - vrijednost numeričkog izraza . Nakon što smo završili sve korake, pojednostavili smo numerički izraz.

Algebarski izrazi se mogu napisati na različite načine, ali znače istu stvar, na primjer: i .

Možemo li reći da je izraz pojednostavljen? Obično pojednostavljivanje znači ekvivalentnu notaciju na način da bi bilo potrebno izvršiti što manje radnji da bi se izračunala vrijednost izraza.

Na primjer, da biste izračunali vrijednost izraza za datu vrijednost varijable, potrebno je izvršiti 3 akcije, a za izraz - jednu akciju. Naravno, razlika u 2 akcije nije velika, ali kada bi se takva operacija morala uraditi 50 puta, razlika bi već bila čak 100 akcija.

Zadatak 2 . Dokaži da je izraz je ekvivalentno izrazu .

Dokaz

Distributivni zakon koristimo dva puta:

Zadatak 3 . Pojednostavite izraz: .

Odluka . Koristimo formulu razlike kvadrata:

Odgovori: .

Hajde da uporedimo broj koraka koje je potrebno uraditi da bismo procenili prvi i drugi izraz. U prvom slučaju je bilo potrebno izvršiti 5 radnji, au drugom samo 1. U takvim slučajevima kažemo da smo pojednostavio algebarski izraz.

Nevažeće vrijednosti varijable

Pronađimo nevažeće vrijednosti varijabli za izraz: .

Imenilac razlomka sadrži varijable, određujemo kada se pretvori u 0:

One. nevažeće vrijednosti varijable će biti suprotne vrijednosti. Na primjer, ako , onda .

Ekvivalencija izraza

Izrazi i nisu ekvivalentni za bilo koji i , jer prvi izraz je nedefiniran kada je , a drugi izraz je definiran za bilo koje vrijednosti varijabli i .

One. ovi izrazi će biti ekvivalentni samo za one koji nisu suprotni brojevi.

Zadatak 4 . Pojednostavite izraz: .

Neke matematičke izraze možemo napisati na različite načine. Ovisno o našim ciljevima, da li imamo dovoljno podataka, itd. Numerički i algebarski izrazi razlikuju se po tome što prve pišemo samo kao brojeve kombinovane koristeći znakove aritmetičkih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje) i zagrade.

Ako umjesto brojeva unesete latinična slova (varijable) u izraz, on će postati algebarski. Algebarski izrazi koriste slova, brojeve, znakove sabiranja i oduzimanja, množenja i dijeljenja. Takođe se može koristiti i znak korena, stepena, zagrade.

U svakom slučaju, bez obzira da li je ovaj izraz numerički ili algebarski, on ne može biti samo nasumični skup znakova, brojeva i slova – on mora imati značenje. To znači da slova, brojevi, znakovi moraju biti povezani nekom vrstom odnosa. Tačan primjer: 7x + 2: (y + 1). Loš primjer): + 7x - * 1.

Reč "varijabilna" je pomenuta gore - šta to znači? Ovo je latinično slovo, umjesto kojeg možete zamijeniti broj. A ako govorimo o varijablama, u ovom slučaju, algebarski izrazi se mogu nazvati algebarskom funkcijom.

Varijabla može poprimiti različite vrijednosti. I zamjenom nekog broja na njegovo mjesto, možemo pronaći vrijednost algebarskog izraza za ovu konkretnu vrijednost varijable. Kada je vrijednost varijable drugačija, vrijednost izraza će također biti drugačija.

Kako riješiti algebarske izraze?

Da biste izračunali vrijednosti koje trebate učiniti transformacija algebarskih izraza. A za to još uvijek morate uzeti u obzir nekoliko pravila.

Prvo: domen algebarskog izraza su sve moguće vrijednosti varijable za koje izraz može imati smisla. na šta se misli? Na primjer, ne možete zamijeniti vrijednost za varijablu koja bi zahtijevala da podijelite sa nulom. U izrazu 1 / (x - 2), 2 mora biti isključeno iz domena definicije.

Drugo, zapamtite kako pojednostaviti izraze: činiti faktore, staviti identične varijable u zagrade, itd. Na primjer: ako zamijenite pojmove, zbir se neće promijeniti (y + x = x + y). Slično tome, proizvod se neće promijeniti ako se faktori zamijene (x * y = y * x).

Općenito, oni su odlični za pojednostavljivanje algebarskih izraza. skraćene formule za množenje. Oni koji ih još nisu naučili to bi svakako trebali učiniti - i dalje će vam dobro doći više puta:

nalazimo razliku varijabli na kvadrat: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

nalazimo zbroj na kvadrat: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

izračunavamo razliku na kvadrat: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

kockamo zbroj: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ili (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

kocka razlika: (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 ili (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

nalazimo zbir varijabli u kocki: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);

izračunavamo razliku varijabli u kocki: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

koristimo korijene: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), a 1 i a 2 su korijeni izraza xa 2 + ya + z.

Također biste trebali imati ideju o vrstama algebarskih izraza. Oni su:

racionalne, a one se pak dijele na:

cijeli brojevi (nemaju podjelu na varijable, nema vađenja korijena iz varijabli i nema podizanja na razlomak): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). Opseg su sve moguće vrijednosti ​varijabli;

razlomka (osim drugih matematičkih operacija, kao što su sabiranje, oduzimanje, množenje, u ovim izrazima se dijele promjenljivom i podižu na stepen (sa prirodnim eksponentom): (2 / b - 3 / a + c / 4) 2 Domen definicije - sve varijable vrijednosti za koje izraz nije jednak nuli;

iracionalan - da bi se algebarski izraz smatrao takvim, on mora sadržavati eksponencijaciju varijabli na stepen sa razlomkom eksponenta i/ili vađenje korijena iz varijabli: √a + b 3/4. Područje definicije su sve vrijednosti varijabli, osim onih u kojima izraz ispod korijena parnog ili razlomka stupnja postaje negativan broj.

Transformacije identiteta algebarskih izraza je još jedan koristan trik za njihovo rješavanje.Identitet je izraz koji će biti istinit za sve varijable uključene u domenu definicije koje su zamijenjene u njega.

Izraz koji ovisi o nekim varijablama može biti identično jednak drugom izrazu ako ovisi o istim varijablama i ako su vrijednosti oba izraza jednake, bez obzira koje se vrijednosti varijabli odaberu. Drugim riječima, ako se izraz može izraziti na dva različita načina (izraza) čije su vrijednosti iste, ti izrazi su identično jednaki. Na primjer: y + y = 2y, ili x 7 = x 4 * x 3, ili x + y + z \u003d z + x + y.

Prilikom izvođenja zadataka s algebarskim izrazima, identična transformacija služi da osigura da se jedan izraz može zamijeniti drugim, njemu identičnim. Na primjer, zamijenite x 9 proizvodom x 5 * x 4.

Primjeri rješenja

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko primjera. transformacije algebarskih izraza. Zadaci ovog nivoa mogu se naći u KIM-ovima za Jedinstveni državni ispit.

Zadatak 1: Pronađite vrijednost izraza ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1).

Rješenje: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) = (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.

Zadatak 2: Pronađite vrijednost izraza (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3).

Rješenje: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6.

Zaključak

Kada se pripremate za školske testove, USE i GIA ispite, uvijek možete koristiti ovaj materijal kao savjet. Imajte na umu da je algebarski izraz kombinacija brojeva i varijabli izraženih latiničnim slovima. I također znakovi aritmetičkih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje), zagrade, stepeni, korijeni.

Koristite kratke formule za množenje i poznavanje jednadžbi identiteta za transformaciju algebarskih izraza.

Napišite nam svoje komentare i želje u komentarima - važno nam je da znamo da nas čitate.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Algebarski izraz- ovo je svaki zapis od slova, brojeva, aritmetičkih znakova i zagrada, sastavljen sa značenjem. U stvari, algebarski izraz je numerički izraz, u kojem se, osim brojeva, koriste i slova. Stoga se algebarski izrazi nazivaju i literalnim izrazima.

U osnovi, slova latinice se koriste u bukvalnim izrazima. Čemu služe ova pisma? Umjesto njih možemo zamijeniti različite brojeve. Stoga se ova slova nazivaju varijablama. To jest, oni mogu promijeniti svoje značenje.

Primjeri algebarskih izraza.

$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(align)$

Ako, na primjer, u izrazu x + 5 zamijenimo neki broj umjesto varijable x, dobićemo numerički izraz. U ovom slučaju, vrijednost ovog numeričkog izraza će biti vrijednost algebarskog izraza x + 5 za datu vrijednost varijable. To jest, kod x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. I kod x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.

Postoje takve vrijednosti varijable pri kojima algebarski izraz gubi svoje značenje. Tako će, na primjer, biti ako zamijenimo vrijednost 0 umjesto x u izrazu 1:x.
Jer ne možete podijeliti sa nulom.

Područje definicije algebarskog izraza.

Poziva se skup vrijednosti varijable za koji izraz ne gubi svoje značenje domenu definicije ovaj izraz. Također možemo reći da je opseg izraza skup svih mogućih vrijednosti varijable.

Razmotrimo primjere:

1. y+5 - opseg će biti bilo koje vrijednosti y.
2. 1:x - izraz će imati smisla za sve vrijednosti x osim 0. Prema tome, opseg će biti bilo koje vrijednosti x osim nule.
3. (x+y):(x-y) – domen definicije – bilo koje vrijednosti x i y za koje je x ≠ y.

Vrste algebarskih izraza.

Racionalni algebarski izrazi su cjelobrojni i razlomački algebarski izrazi.

1. Cjelobrojni algebarski izraz - ne sadrži eksponencijaciju s razlomkom eksponenta, izdvajanje korijena iz varijable, kao ni dijeljenje promjenljivom. U cjelobrojnim algebarskim izrazima, sve vrijednosti varijabli su važeće. Na primjer, ax + bx + c je cjelobrojni algebarski izraz.
2. Razlomak - sadrži dijeljenje promjenljivom. $\frac(1)(a)+bx+c$ je frakcioni algebarski izraz. U frakcijskim algebarskim izrazima dozvoljene su sve vrijednosti varijabli za koje se dijeljenje nulom ne događa.

Iracionalni algebarski izrazi sadrže vađenje korijena iz varijable ili podizanje varijable na razlomak.

$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- iracionalni algebarski izrazi. U iracionalnim algebarskim izrazima dopuštene su sve vrijednosti varijabli za koje izraz pod znakom korijena parnog stepena nije negativan.

Numerički i algebarski izrazi. Konverzija izraza.

Šta je izraz u matematici? Zašto su konverzije izraza neophodne?

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Činjenica je da su ovi pojmovi osnova svake matematike. Sva matematika se sastoji od izraza i njihovih transformacija. Nije jasno? Dopusti mi da objasnim.

Recimo da imate zao primjer. Veoma velika i veoma složena. Recimo da si dobar u matematici i ničega se ne plašiš! Možete li odmah odgovoriti?

Moraćeš odlučiti ovaj primjer. Slijedom, korak po korak, ovaj primjer pojednostaviti. Po određenim pravilima, naravno. One. napraviti konverzija izraza. Koliko uspješno provodite ove transformacije, tako ste jaki u matematici. Ako ne znate kako napraviti prave transformacije, u matematici to ne možete ništa...

Kako biste izbjegli tako neugodnu budućnost (ili sadašnjost...), ne škodi razumjeti ovu temu.)

Za početak, hajde da saznamo šta je izraz u matematici. Šta numerički izraz i šta je algebarski izraz.

Šta je izraz u matematici?

Izraz u matematici je veoma širok pojam. Gotovo sve čime se bavimo u matematici je skup matematičkih izraza. Bilo koji primjeri, formule, razlomci, jednadžbe i tako dalje - sve se sastoji od toga matematički izrazi.

3+2 je matematički izraz. c 2 - d 2 je takođe matematički izraz. I zdrav razlomak, pa čak i jedan broj - sve su to matematički izrazi. Jednačina, na primjer, glasi:

5x + 2 = 12

sastoji se od dva matematička izraza povezana znakom jednakosti. Jedan izraz je lijevo, drugi je desno.

Uopšteno govoreći, termin matematički izraz" koristi se, najčešće, da ne bi mrmljali. Pitaće vas šta je, na primer, običan razlomak? A kako odgovoriti?!

Odgovor 1: "To je... m-m-m-m... takva stvar ... u kojoj ... Mogu li bolje napisati razlomak? Koji želiš?"

Druga opcija odgovora: "Običan razlomak je (veselo i radosno!) matematički izraz , koji se sastoji od brojnika i nazivnika!"

Druga opcija je nekako impresivnija, zar ne?)

U tu svrhu, izraz " matematički izraz "Vrlo dobro. I ispravno i čvrsto. Ali za praktičnu primjenu morate biti dobro upućeni specifične vrste izraza u matematici .

Konkretna vrsta je druga stvar. Ovo je sasvim druga stvar! Svaka vrsta matematičkog izraza ima moj skup pravila i tehnika koje se moraju koristiti u odluci. Za rad sa razlomcima - jedan set. Za rad sa trigonometrijskim izrazima - drugi. Za rad sa logaritmima - treći. itd. Negdje se ta pravila poklapaju, negdje se oštro razlikuju. Ali nemojte se plašiti ovih strašnih reči. Logaritme, trigonometriju i druge misteriozne stvari savladavaćemo u odgovarajućim odjeljcima.

Ovdje ćemo savladati (ili - ponoviti, kako želite...) dvije glavne vrste matematičkih izraza. Numerički izrazi i algebarski izrazi.

Numerički izrazi.

Šta numerički izraz? Ovo je vrlo jednostavan koncept. Samo ime nagoveštava da se radi o izrazu sa brojevima. To je tako. Matematički izraz sastavljen od brojeva, zagrada i znakova aritmetičkih operacija naziva se numerički izraz.

7-3 je numerički izraz.

(8+3,2) 5,4 je takođe numerički izraz.

I ovo čudovište:

takođe numerički izraz, da...

Običan broj, razlomak, bilo koji primjer računanja bez x-ova i drugih slova - sve su to numerički izrazi.

glavna karakteristika numerički izraze u njemu nema slova. Nema. Samo brojevi i matematičke ikone (ako je potrebno). Jednostavno je, zar ne?

A šta se može uraditi sa numeričkim izrazima? Numerički izrazi se obično mogu prebrojati. Da biste to učinili, ponekad morate otvoriti zagrade, promijeniti znakove, skratiti, zamijeniti pojmove - tj. napraviti konverzije izraza. Ali više o tome u nastavku.

Ovdje ćemo se pozabaviti tako smiješnim slučajem kada s numeričkim izrazom ne moraš ništa da radiš. Pa, baš ništa! Ova lijepa operacija da ne radim ništa)- se izvršava kada je izraz nema smisla.

Kada numerički izraz nema smisla?

Naravno, ako pred sobom vidimo nekakvu abrakadabru, kao npr

onda nećemo ništa učiniti. Pošto nije jasno šta sa tim. Neke gluposti. Osim, da prebrojim pluseve...

Ali ima spolja sasvim pristojnih izraza. Na primjer ovo:

(2+3) : (16 - 2 8)

Međutim, i ovaj izraz je nema smisla! Iz jednostavnog razloga što u drugim zagradama - ako računate - dobijate nulu. Ne možete podijeliti sa nulom! Ovo je zabranjena operacija u matematici. Dakle, ni sa ovim izrazom ne treba ništa raditi. Za bilo koji zadatak s takvim izrazom, odgovor će uvijek biti isti: "Izraz nema smisla!"

Da bih dao takav odgovor, naravno, morao sam izračunati šta bi bilo u zagradama. A ponekad u zagradi takav obrt... Pa, tu se ništa ne može učiniti.

Nema toliko zabranjenih operacija u matematici. Postoji samo jedan u ovoj temi. Deljenje sa nulom. Dodatne zabrane koje proizlaze iz korijena i logaritma razmatraju se u relevantnim temama.

Dakle, ideja o tome šta je numerički izraz- dobio. koncept numerički izraz nema smisla- shvatio. Idemo dalje.

Algebarski izrazi.

Ako se slova pojavljuju u numeričkom izrazu, ovaj izraz postaje... Izraz postaje... Da! To postaje algebarski izraz. Na primjer:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Takvi izrazi se takođe nazivaju doslovni izrazi. Or izrazi sa varijablama. To je praktično ista stvar. Izraz 5a +c, na primjer - i literalni i algebarski, i izraz sa varijablama.

koncept algebarski izraz -širi od brojčanog. To uključuje i sve numeričke izraze. One. numerički izraz je također algebarski izraz, samo bez slova. Svaka haringa je riba, ali nije svaka riba haringa...)

Zašto doslovno- To je jasno. Pa, pošto postoje slova... Fraza izraz sa varijablama takođe nije veoma zbunjujuće. Ako shvatite da su brojevi skriveni ispod slova. Ispod slova se mogu sakriti sve vrste brojeva... I 5, i -18, i šta god želite. To jest, pismo može zamijeniti za različite brojeve. Zato se slova zovu varijable.

U izrazu y+5, Na primjer, at- varijabilna. Ili samo reci " varijabla", bez riječi "vrijednost". Za razliku od pet, što je konstantna vrijednost. Ili jednostavno - konstantan.

Termin algebarski izraz znači da za rad sa ovim izrazom morate koristiti zakone i pravila algebra. Ako a aritmetika onda radi sa određenim brojevima algebra- sa svim brojevima odjednom. Jednostavan primjer za pojašnjenje.

U aritmetici se to može napisati

Ali ako zapišemo sličnu jednakost kroz algebarske izraze:

a + b = b + a

odmah ćemo odlučiti sve pitanja. Za svi brojevi moždani udar. Za beskonačan broj stvari. Jer ispod slova a i b implicirano sve brojevi. I ne samo brojevi, već i drugi matematički izrazi. Ovako funkcioniše algebra.

Kada algebarski izraz nema smisla?

Sve je jasno u pogledu brojčanog izraza. Ne možete podijeliti sa nulom. A sa slovima, da li je moguće saznati čime se dijelimo?!

Uzmimo sljedeći izraz varijabli kao primjer:

2: (a - 5)

Ima li smisla? Ali ko ga poznaje? a- bilo koji broj...

Bilo koji, bilo koji... Ali postoji jedno značenje a, za koji je ovaj izraz upravo nema smisla! I koji je to broj? Da! 5 je! Ako je varijabla a zamijenite (kažu - "zamjena") brojem 5, u zagradi će ispasti nula. koje se ne mogu podijeliti. Tako ispada da je naš izraz nema smisla, ako a = 5. Ali za druge vrijednosti a ima li smisla? Možete li zamijeniti druge brojeve?

Svakako. U takvim slučajevima se jednostavno kaže da izraz

2: (a - 5)

ima smisla za bilo koju vrijednost a, osim a = 5 .

Cijeli skup brojeva mogu zamjena u dati izraz se poziva važeći raspon ovaj izraz.

Kao što vidite, nema ničeg škakljivog. Gledamo izraz sa varijablama, i mislimo: pri kojoj vrijednosti varijable se dobija zabranjena operacija (podjela nulom)?

I onda svakako pogledajte pitanje zadatka. Šta pitaju?

nema smisla, naša zabranjena vrijednost će biti odgovor.

Ako pitaju na kojoj vrijednosti varijable izraz ima značenje(osjetite razliku!), odgovor će biti svi ostali brojevi osim zabranjenog.

Zašto nam je potrebno značenje izraza? On je tu, nije... Koja je razlika?! Činjenica je da ovaj koncept postaje veoma važan u srednjoj školi. Izuzetno važno! Ovo je osnova za takve čvrste koncepte kao što je raspon valjanih vrijednosti ili opseg funkcije. Bez toga nećete moći uopće riješiti ozbiljne jednačine ili nejednakosti. Volim ovo.

Konverzija izraza. Transformacije identiteta.

Upoznali smo se sa numeričkim i algebarskim izrazima. Shvatite šta znači izraz "izraz nema smisla". Sada treba da shvatimo šta konverzija izraza. Odgovor je jednostavan, nečuveno.) Ovo je svaka radnja sa izrazom. I to je to. Radite ove transformacije od prvog časa.

Uzmite cool numerički izraz 3+5. Kako se može pretvoriti? Da, vrlo lako! Izračunati:

Ovaj proračun će biti transformacija izraza. Isti izraz možete napisati na drugačiji način:

Ovde nismo ništa računali. Samo zapišite izraz u drugačijoj formi. Ovo će takođe biti transformacija izraza. Može se napisati ovako:

I ovo je također transformacija izraza. Možete napraviti onoliko ovih transformacija koliko želite.

Bilo koji radnja na izrazu bilo koji zapisivanje u drugačijem obliku naziva se transformacija izraza. I sve stvari. Sve je vrlo jednostavno. Ali ovdje postoji jedna stvar veoma važno pravilo. Toliko važno da se može bezbedno nazvati glavno pravilo sva matematika. Kršenje ovog pravila neizbežno dovodi do grešaka. Da li razumemo?)

Recimo da smo svoj izraz proizvoljno transformirali, ovako:

Transformacija? Svakako. Izraz smo napisali u drugom obliku, šta tu nije u redu?

Nije baš tako.) Činjenica je da su transformacije "kako god" matematiku uopće ne zanima.) Sva matematika se gradi na transformacijama u kojima se mijenja izgled, ali se suština izraza ne menja. Tri plus pet se može napisati u bilo kom obliku, ali mora biti osam.

transformacije, izrazi koji ne mijenjaju suštinu pozvao identičan.

Upravo identične transformacije i dopustite nam, korak po korak, da složeni primjer pretvorimo u jednostavan izraz, čuvanje suštinu primjera. Ako pogriješimo u lancu transformacija, napravit ćemo NE identičnu transformaciju, tada ćemo odlučiti drugi primjer. Uz druge odgovore koji nisu u vezi s tačnim.)

Ovdje je glavno pravilo za rješavanje bilo kakvih zadataka: usklađenost s identitetom transformacija.

Dao sam primjer sa numeričkim izrazom 3 + 5 radi jasnoće. U algebarskim izrazima, identične transformacije su date formulama i pravilima. Recimo da postoji formula u algebri:

a(b+c) = ab + ac

Dakle, u bilo kojem primjeru možemo umjesto izraza a(b+c) slobodno napišite izraz ab+ac. I obrnuto. Ovo je identična transformacija. Matematika nam daje izbor između ova dva izraza. A koju pisati ovisi o konkretnom primjeru.

Još jedan primjer. Jedna od najvažnijih i najvažnijih transformacija je osnovno svojstvo razlomka. Više detalja možete pogledati na linku, ali ovdje samo podsjećam na pravilo: ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože (podijele) istim brojem, ili izrazom koji nije jednak nuli, razlomak se neće promijeniti. Evo primjera identičnih transformacija za ovo svojstvo:

Kao što ste vjerovatno pretpostavili, ovaj lanac se može nastaviti u nedogled...) Vrlo važno svojstvo. To je ono što vam omogućava da sve vrste primjera čudovišta pretvorite u bijela i pahuljasta.)

Postoje mnoge formule koje definiraju identične transformacije. Ali najvažnije - sasvim razumna količina. Jedna od osnovnih transformacija je faktorizacija. Koristi se u čitavoj matematici - od osnovne do napredne. Počnimo s njim. u sledećoj lekciji.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je "glavna".

Odnosno, ako umjesto slova zamijenite neke (bilo koje) brojeve i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz se razlaže na faktore).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da se izraz ne rastavlja na faktore (i stoga se ne može smanjiti).

Da to sami popravite, nekoliko primjera:

primjeri:

rješenja:

1. Nadam se da niste odmah požurili da sečete i? Još uvijek nije bilo dovoljno ovako „smanjiti“ jedinice:

Prvi korak bi trebao biti faktorizacija:

4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka je dobro poznata operacija: tražimo zajednički imenilac, pomnožimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i sabiramo/oduzimamo brojioce.

prisjetimo se:

odgovori:

1. Imenioci i su međusobno prosti, odnosno nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:

2. Ovdje je zajednički imenilac:

3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane razlomke u nepravilne, a zatim - prema uobičajenoj shemi:

Sasvim je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo jednostavno:

a) Imenioci ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i s običnim brojčanim razlomcima: nađemo zajednički nazivnik, pomnožimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i dodamo / oduzmemo brojioce:

sada u brojiocu možete dovesti slične, ako ih ima, i faktorisati ih:

Probajte sami:

odgovori:

b) Imenioci sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

Prije svega, određujemo zajedničke faktore;

Zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jednom;

i pomnožite ih sa svim ostalim faktorima, a ne sa uobičajenim.

Da bismo odredili zajedničke faktore nazivnika, prvo ih razlažemo na jednostavne faktore:

Ističemo zajedničke faktore:

Sada ispisujemo uobičajene faktore jednom i dodajemo im sve neobične (nepodvučene) faktore:

Ovo je zajednički imenitelj.

Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:

Dekomponujemo nazivnike na faktore;

odrediti zajedničke (identične) množitelje;

napišite sve zajedničke faktore jednom;

Množimo ih sa svim ostalim faktorima, a ne sa uobičajenim.

Dakle, redom:

1) razložiti nazivnike na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:

Dakle, zajednički imenitelj je ovdje. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, drugi - sa:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različitim pokazateljima. Zajednički imenilac će biti:

u meri u kojoj

u meri u kojoj

u meri u kojoj

u stepenu.

Zakomplikujmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . Šta je naučeno?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada dovedete razlomke do zajedničkog nazivnika, koristite samo operaciju množenja!

Ali šta trebate pomnožiti da biste dobili?

Evo i množi se. I pomnožite sa:

Izrazi koji se ne mogu razložiti na faktore nazivat ćemo se "elementarnim faktorima".

Na primjer, elementarni faktor. - također. Ali - ne: ona je razložena na faktore.

Šta je sa izražavanjem? Da li je osnovno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi "").

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima na koje rastavljate brojeve. I mi ćemo učiniti isto sa njima.

Vidimo da oba imenioca imaju faktor. To će ići na zajednički imenilac u moći (sjećate se zašto?).

Množilac je elementaran i nemaju ga zajedničkog, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Drugi primjer:

Odluka:

Prije nego što panično pomnožite ove nazivnike, trebate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:

Fino! onda:

Drugi primjer:

Odluka:

Kao i obično, delimo nazivnike na faktore. U prvom nazivniku, jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su već toliko slični... A istina je:

Pa da napišemo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.

Sada dolazimo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Sada hajde da proverimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kocki:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu "kvadrat zbira"! Kvadrat sume bi izgledao ovako:

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbira: drugi član u njemu je proizvod prvog i posljednjeg, a ne njihov udvostručeni proizvod. Nepotpun kvadrat zbira jedan je od faktora u proširenju razlike kocki:

Šta ako već postoje tri razlomka?

Da, isto! Prije svega, pobrinut ćemo se da maksimalni broj faktora u nazivnicima bude isti:

Obratite pažnju: ako promijenite predznake unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kada promijenimo predznake u drugoj zagradi, znak ispred razlomka se ponovo obrće. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.

Prvi imenilac u potpunosti ispisujemo u zajedničkom nazivniku, a zatim mu dodajemo sve faktore koji još nisu upisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, to ide ovako:

Hm... Sa razlomcima je jasno šta da se radi. Ali šta je sa njih dvoje?

Jednostavno je: znate kako sabirati razlomke, zar ne? Dakle, morate biti sigurni da dvojka postane razlomak! Zapamtite: razlomak je operacija dijeljenja (brojilac je podijeljen imeniocem, u slučaju da ste iznenada zaboravili). I nema ništa lakše nego podijeliti broj sa. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:

Upravo ono što je potrebno!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Procedura

Koja je procedura za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite, s obzirom na vrijednost takvog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi da radi.

Dakle, podsjećam te.

Prvi korak je izračunavanje stepena.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, možete ih raditi bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, izvodimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradi se procjenjuje van reda!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo procjenjujemo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili dijelimo.

Šta ako postoje druge zagrade unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Šta je prva stvar koju treba učiniti kada procjenjujete izraz? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.

Dakle, redoslijed radnji za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je istaknuta crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Ok, sve je jednostavno.

Ali to nije isto što i izraz sa slovima, zar ne?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija potrebno je raditi algebarske operacije, odnosno operacije opisane u prethodnom dijelu: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (često ga koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, za faktorizaciju, trebate koristiti i ili jednostavno izvaditi zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj da izraz predstavimo kao proizvod ili količnik.

Na primjer:

Hajde da pojednostavimo izraz.

1) Prvo pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a naš cilj je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostavljivati ​​ovaj izraz, svi faktori su ovde elementarni (sećate li se još šta to znači?).

2) Dobijamo:

Množenje razlomaka: šta bi moglo biti lakše.

3) Sada možete skratiti:

To je to. Ništa komplikovano, zar ne?

Drugi primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Odluka:

Prije svega, hajde da definiramo proceduru.

Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, umjesto dva razlomka, ispast će jedan.

Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, rezultat dodajemo zadnjim razlomkom.

Šematski ću numerisati korake:

Sada ću pokazati cijeli proces, tonirajući trenutnu akciju crvenom bojom:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. U kom god trenutku imamo slične, preporučljivo je da ih odmah donesemo.

2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se ukaže prilika za smanjenje, mora se iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:

I obećao na samom početku:

odgovori:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, onda ste, smatrajte, savladali temu.

Sada na učenje!

KONVERZIJA IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Osnovne operacije pojednostavljivanja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, morate dodati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: vađenje zajedničkog faktora iz zagrada, primjena, itd.
• Smanjenje frakcije: brojilac i imenilac razlomka se mogu pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, od kojeg se vrijednost razlomka ne mijenja.
  1) brojilac i imenilac faktorizovati
  2) ako u brojiocu i nazivniku postoje zajednički činioci, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;