Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини. Закон розподілу випадкових величин Закон розподілу Пуассона

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.

1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:

де λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)за допомогою функції розподілу F(x) , Що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).

Властивості функції F(x)

3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).

Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.

Основні числові характеристики дискретної випадкової величини :

• Математичне очікування (Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
  Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
• Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
  Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ
• Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).

Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»

Завдання 1.

Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.

Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.

Число квитків без виграшу дорівнює 1000 - (5 +10 +20 +50) = 915, тоді P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:

Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Завдання 3.

Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X=(кількість елементів, що відмовили в одному досвіді) має наступні можливі значення: х 1 =0 (жоден із елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи) і х 4 =3 (відмовили три елементи).

Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі . Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:

По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а осі ординат – відповідні їм ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.

3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х

Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.

Графік функції F(x)

4. Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини».

Завдання 1 . У лотереї випущено 100 квитків. Розігрувався один виграш у 50 у.о. та десять виграшів по 10 у.о. Знайти закон розподілу величини X – вартості можливого виграшу.

Рішення. Можливі значення величини X: x 1 = 0; x 2 = 10 та x 3 = 50. Так як "порожніх" квитків - 89, то p 1 = 0,89, ймовірність виграшу 10 у. (10 квитків) – p 2 = 0,10 та для виграшу 50 у.о. - p 3 = 0,01. Таким чином:

	0,89	0,10	0,01

Легко проконтролювати: .

Завдання 2. Імовірність те, що покупець ознайомився заздалегідь з рекламою товару дорівнює 0,6 (р=0,6 ). Здійснюється вибірковий контроль якості реклами шляхом опитування покупців до першого, який вивчив рекламу заздалегідь. Скласти низку розподілу кількості опитаних покупців.

Рішення. Відповідно до умови задачі р = 0,6. Звідки: q=1 -p = 0,4. Підставивши дані значення, отримаємо:і побудуємо низку розподілу:

p i		0,24

Завдання 3. Комп'ютер складається із трьох незалежно працюючих елементів: системного блоку, монітора та клавіатури. При одноразовому різкому підвищенні напруги можливість відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Виходячи з розподілу Бернуллі скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили при стрибку напруги в мережі.

Рішення. Розглянемо розподіл Бернуллі(або біномне): ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно k разів: , або:

	q n					p n

У ернемося до завдання.

Можливі значення величини X (кількість відмов):

x 0 =0 – жоден із елементів не відмовив;

x 1 =1 - відмова одного елемента;

x 2 =2 - відмова двох елементів;

x 3 =3 - відмова всіх елементів.

Оскільки, за умовою, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо

, ,

, .

Контроль: .

Отже, шуканий закон розподілу:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Завдання 4. Виготовлено 5000 набоїв. Імовірність того, що один патрон бракований . Яка ймовірність того, що у всій партії буде рівно 3 браковані патрони?

Рішення. Застосуємо розподіл Пуассона: цей розподіл використовується для визначення ймовірності того, що за дуже великого

кількості випробувань (масові випробування), у кожному з яких ймовірність події A дуже мала, подія A настане раз: де .

Тут n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знаходимо, тоді шукана ймовірність: .

Завдання 5. При стрільбі до першого влучення з ймовірністю влучення p = 0,6 під час пострілу треба знайти ймовірність того, що попадання відбудеться при третьому пострілі.

Рішення. Застосуємо геометричний розподіл: нехай виробляються незалежні випробування, у кожному з яких подія A має ймовірність появи p (і не появи q = 1 – p). Випробування закінчуються, щойно станеться подія A.

За таких умов ймовірність того, що подія A відбудеться на k-му випробуванні, визначається за такою формулою: . Тут p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4; k = 3. Отже, .

Завдання 6. Нехай заданий закон розподілу випадкової величини X:

Знайти математичне очікування.

Рішення. .

Зауважимо, що імовірнісний зміст математичного очікування – це середнє значення випадкової величини.

Завдання 7. Знайти дисперсію випадкової величини X з наступним законом розподілу:

Рішення. Тут .

Закон розподілу квадрата величини X 2 :

X 2

Шукана дисперсія: .

Дисперсія характеризує міру відхилення (розсіяння) випадкової величини від її математичного очікування.

Завдання 8. Нехай випадкова величина задається розподілом:

			10м

Визначити її числові показники.

Рішення: м, м 2 ,

М 2 , М.

Про випадкову величину X можна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 , або – її математичне очікування 6,4 м з відхиленням м. Друге формулювання, зрозуміло, наочніше.

Завдання 9. Випадкова величина X задана функцією розподілу:
.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, укладеного в інтервалі .

Рішення. Ймовірність те, що X прийме значення із заданого інтервалу, дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому інтервалі, тобто. . У нашому випадку і тому

.

Завдання 10. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

Знайти функцію розподілу F (x ) та побудувати її графік.

Рішення. Оскільки функція розподілу,

для , то

при;

при;

при;

при;

Відповідний графік:

Завдання 11.Безперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу: .

Знайти ймовірність влучення X в інтервал

Рішення. Зауважимо, що це окремий випадок показового закону розподілу.

Скористаємося формулою: .

Завдання 12. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

	–5
	X 2 : X 2 . , де - Функція Лапласа. Значення цієї функції перебувають за допомогою таблиці. У нашому випадку: . За таблицею знаходимо: , отже:

Визначення.Дисперсією (розсіюванням)дискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

приклад. Для розглянутого вище прикладу знаходимо.

Математичне очікування випадкової величини дорівнює:

Можливі значення квадрата відхилення:

; ;

Дисперсія дорівнює:

Проте, практично такий спосіб обчислення дисперсії незручний, т.к. приводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень. Тому застосовується інший спосіб.

Обчислення дисперсії

Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного очікування:

Доведення.З урахуванням того, що математичне очікування та квадрат математичного очікування – величини постійні, можна записати:

Застосуємо цю формулу для розглянутого вище прикладу:

X
X 2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Властивості дисперсії

1) Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:

2) Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:

.

3) Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

4) Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

Справедливість цієї рівності випливає із якості 2.

Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та ймовірність непояви події у кожному випробуванні:

приклад.Завод випускає 96% виробів першого ґатунку та 4% виробів другого ґатунку. Навмання вибирають 1000 виробів. Нехай Х- Число виробів першого сорту в даній вибірці. Знайти закон розподілу, математичне очікування та дисперсію випадкової величини.

Таким чином, закон розподілу може вважатися біномінальним.

приклад.Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х– числа події Ау двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює і відомо, що

Т.к. випадкова величина Хрозподілена за біномінальним законом, то

приклад.Виробляються незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події Ау кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа події у трьох незалежних випробуваннях дорівнює 0,63.

За формулою дисперсії біномінального закону отримуємо:

;

приклад.Випробовується пристрій, що складається з чотирьох приладів, що незалежно працюють. Імовірність відмови кожного з приладів дорівнює відповідно ; ; . Знайти математичне очікування і дисперсію числа приладів, що відмовили.

Приймаючи за випадкову величину число приладів, що відмовили, бачимо що ця випадкова величина може приймати значення 0, 1, 2, 3 або 4.

p align="justify"> Для складання закону розподілу цієї випадкової величини необхідно визначити відповідні ймовірності. Приймемо.

1) Не відмовив жоден прилад:

2) Відмовив один із приладів.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор використовується для побудови таблиці розподілу випадкової величини X – числа вироблених дослідів та обчислення всіх характеристик ряду: математичного очікування, дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Звіт з рішенням оформляється у форматі Word. Приклад №1. Впадають три монети. Імовірність випадання герба за одного кидання дорівнює 0.5. Складіть закон розподілу випадкової величини X - числа гербів, що випали.
Рішення.
Імовірність того, що не випало жодного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Імовірність того, що випало три герби: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

Закон розподілу випадкової величини X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Перевірка: P = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Приклад №2. Ймовірність влучення в мету одного стрільця за одного пострілу першого стрілка дорівнює 0.8, другого стрілка – 0.85. Стрілки зробили по одному пострілу в ціль. Вважаючи попадання в ціль для окремих стрільців подіями незалежними, знайти ймовірність події А – одно попадання в ціль.
Рішення.
Розглянемо подію A – одне влучення в ціль. Можливі варіанти настання цієї події такі:

1. Потрапив перший стрілець, другий стрілок промахнувся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. Перший стрілець промахнувся, другий стрілок потрапив у мішень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Перший і другий стрілки незалежно один від одного потрапили в ціль: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

Тоді ймовірність події А – рівно одне влучення в ціль, дорівнюватиме: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Випадкові величини, їх класифікація та способи опису.

Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, але яке саме заздалегідь не відомо. Для випадкової величини, таким чином, можна вказати лише значення, одне з яких вона обов'язково прийме в результаті досвіду. Ці значення надалі називатимемо можливими значеннями випадкової величини. Оскільки випадкова величина кількісно характеризує випадковий результат досвіду, може розглядатися як кількісна характеристика випадкового події.

Випадкові величини зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад, X..Y..Z, які можливі значення- відповідними малими літерами.

Розрізняють три типи випадкових величин:

Дискретні; Безперервні; Змішані.

Дискретноюназивається така випадкова величина, число можливих значень якої утворює лічильну множину. У свою чергу, лічильним називається безліч, елементи якого можна пронумерувати. Слово «дискретний» походить від латинського discretus, що означає «переривчастий, що складається з окремих частин».

Приклад 1. Дискретною випадковою величиною є число бракованих деталей Х партії з nтук. Справді, можливими значеннями цієї випадкової величини є цілих чисел від 0 до n.

Приклад 2. Дискретною випадковою величиною є число пострілів до першого влучення в ціль. Тут, як і в прикладі 1, можливі значення можна пронумерувати, хоча в граничному випадку можливе значення нескінченно великим числом.

Безперервнийназивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал числової осі, іноді званий інтервалом існування цієї випадкової величини. Таким чином, на будь-якому кінцевому інтервалі існування число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно велике.

Приклад 3. Безперервною випадковою величиною є витрата електроенергії для підприємства протягом місяця.

Приклад 4. Безперервною випадковою величиною є помилка виміру висоти за допомогою висотоміру. Нехай із принципу роботи висотоміра відомо, що помилка лежить у межах від 0 до 2 м. Тому інтервалом існування цієї випадкової величини є інтервал від 0 до 2 м.

Закон розподілу випадкових величин.

Випадкова величина вважається повністю заданою, якщо на числовій осі вказано її можливі значення та встановлено закон розподілу.

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Про випадкову величину говорять, що вона розподілена за цим законом, чи підпорядкована цьому закону розподілу. Як закони розподілу використовуються ряд ймовірностей, функція розподілу, щільність ймовірності, характеристична функція.

Закон розподілу дає повний ймовірний опис випадкової величини. За законом розподілу можна судити до досвіду про те, які можливі значення випадкової величини з'являтимуться частіше, а які – рідше.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (як формули) і графічно.

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини. 1

Події Х 1 , Х 2 ,..., Х n , які в тому, що в результаті випробування випадкова величина X прийме відповідно значення х 1 , x 2 ,... х n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Таким чином, для будь-якої дискретної випадкової величини

(Ця одиниця якось розподілена між значеннями випадкової величини, звідси термін «розподіл»).

Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис. 1).

прикладУ лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток.

Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу однією квиток - рівні 0-7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначення ймовірності, отримаємо.