Minus podijeljen sa minusom daje. Oduzimanje negativnih brojeva

1) Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan?
2) Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan?

"Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj."

Najlakši odgovor je: "Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima." Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Prvo ćemo to pokušati da shvatimo iz istorije razvoja aritmetike, a zatim ćemo odgovoriti na ovo pitanje sa stanovišta savremene matematike.

Nekada su ljudima bili poznati samo prirodni brojevi: 1, 2, 3, ... Korišćeni su za brojanje pribora, plijena, neprijatelja itd. Ali sami brojevi su prilično beskorisni - morate znati rukovati njima. Sabiranje je jasno i razumljivo, osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren pod operacijom sabiranja). Množenje je, u stvari, isti sabirak ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, sabiramo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često je potrebno podijeliti jednu količinu drugom, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen kao prirodan broj - tako su se pojavili razlomci.

Oduzimanje je, naravno, takođe neophodno. Ali u praksi, mi težimo da manji broj oduzmemo od većeg broja i nema potrebe za korištenjem negativnih brojeva. (Ako imam 5 bombona i dam 3 svojoj sestri, onda ću imati 5 - 3 = 2 bombona, ali ne mogu joj dati 7 bombona sa svom svojom željom.) Ovo može objasniti zašto ljudi nisu koristili negativne brojeve dugo vremena.

Negativni brojevi pojavljuju se u indijskim dokumentima iz 7. stoljeća nove ere; Kinezi su ih, očigledno, počeli koristiti nešto ranije. Korišćeni su za obračun dugova ili u srednjim proračunima da bi se pojednostavilo rešavanje jednačina - to je bio samo alat za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta, izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi u doslovnom smislu riječi izbjegavali su negativne brojeve: ako je problem dobio negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepoverenje je opstalo veoma dugo, pa ih je čak i Descartes - jedan od "osnivača" moderne matematike - nazvao "lažnim" (u 17. veku!).

Razmotrite, na primjer, jednačinu 7x - 17 = 2x - 2. To se može riješiti ovako: pomjerite pojmove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak na desnu, ispostaviće se 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Sa ovim rješenjem nismo naišli ni na negativne brojeve.

Ali slučajno bi se moglo drugačije: pomeriti pojmove sa nepoznatim na desnu stranu i dobiti 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (–15)/(–5). Ali tačan odgovor je poznat, a to ostaje da se zaključi (–15)/(–5) = 3 .

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, postaje jasna logika koja je odredila pravila za radnje na negativne brojeve: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima koji su dobijeni na drugačiji način, bez negativnih brojeva. Drugo, dozvoljavanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja putanje rješenja u kojoj se sve radnje izvode samo na prirodnim brojevima. Štaviše, ne možemo više svaki put razmišljati o smislenosti veličina koje se pretvaraju - a ovo je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Pravila za radnje na negativne brojeve nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Općenito, razvoj matematike se može uvjetno podijeliti na faze: svaka sljedeća faza razlikuje se od prethodne po novom nivou apstrakcije u proučavanju objekata. Dakle, u 19. veku, matematičari su shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svojoj spoljašnjoj različitosti, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije poštuju iste zakone - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva međusobno, tako da rezultat opet budu cijeli brojevi, nije uvijek moguće. Isto vrijedi i za polinome.

Zatim su otkrivene druge kolekcije matematičkih objekata na kojima se takve operacije mogu izvoditi: formalni nizovi stepena, kontinuirane funkcije... Konačno, došlo se do razumijevanja da ako proučavate svojstva samih operacija, onda se rezultati mogu primijeniti na sve ove zbirke objekata (ovaj pristup je tipičan za svu modernu matematiku).

Kao rezultat toga, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo gomila elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna pravila ovdje su samo pravila (nazvana su aksiome) kojima podliježu akcije, a ne priroda elemenata skupa (evo ga, novi nivo apstrakcije!). Želeći da naglase da je bitna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma, mogu se izvesti i druga svojstva prstenova.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za operacije sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom rezultira plusom.

prsten je skup s dvije binarne operacije (odnosno, dva elementa prstena su uključena u svaku operaciju), koje se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

sabiranje prstenastih elemenata je komutativno ( A + B = B + A za bilo koje elemente A i B) i asocijativni ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; prsten sadrži poseban element 0 (neutralni element dodavanjem) tako da A + 0 = A, i za bilo koji element A postoji suprotan element (označen (–A)), šta A + (–A) = 0 ;
množenje se pridržava zakona kombinacije: A (B C) = (A B) C ;
sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima proširenja zagrada: (A + B) C = A C + B C i A (B + C) = A B + A C .

Imajte na umu da prstenovi, u najopštijoj konstrukciji, ne zahtijevaju da množenje bude promjenjivo, niti je inverzibilno (to jest, nije uvijek moguće podijeliti), niti zahtijeva postojanje jedinice - neutralnog elementa s obzirom na na množenje. Ako se uvedu ovi aksiomi, onda se dobijaju druge algebarske strukture, ali će u njima sve dokazane teoreme za prstenove biti tačne.

Sada to dokazujemo za sve elemente A i B proizvoljni prsten je istinit, prvo, (–A) B = –(A B), i drugo (–(–A)) = A. Iz ovoga lako slijede izjave o jedinicama: (–1) 1 = –(1 1) = –1 i (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Da bismo to učinili, moramo utvrditi neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. Zaista, neka element A postoje dvije suprotnosti: B i With. tj A + B = 0 = A + C. Uzmite u obzir sumu A+B+C. Koristeći asocijativni i komutativni zakon i svojstvo nule, dobijamo da je, s jedne strane, zbir jednak B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a s druge strane, jednako je C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. znači, B=C .

Zabilježimo sada to A, i (–(–A)) suprotne su istom elementu (–A), tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica glasi ovako: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tj (–A) B suprotno A B, pa je jednako –(A B) .

Da budemo matematički rigorozni, hajde da objasnimo zašto 0 B = 0 za bilo koji element B. Zaista, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Odnosno dodatak 0 B ne mijenja iznos. Dakle, ovaj proizvod je jednak nuli.

A činjenicu da u prstenu postoji tačno jedna nula (uostalom, aksiomi kažu da takav element postoji, ali se ništa ne govori o njegovoj jedinstvenosti!), ostavićemo čitaocu kao jednostavnu vježbu.

Odgovoreno: Evgeny Epifanov

Prikaži komentare (37)

Sažmi komentare (37)

Dobar odgovor. Ali za nivo brucoša srednje škole. Čini mi se da se to može jednostavnije i jasnije objasniti na primjeru formule "udaljenost = brzina * vrijeme" (ocjena 2).

Pretpostavimo da hodamo cestom, automobil nas sustigne i počne da se udaljava. Vrijeme raste - i distanca do njega raste. Brzina takve mašine smatrat će se pozitivnom, može biti, na primjer, 10 metara u sekundi. Usput, koliko milja na sat je to? 10/1000(km)*60(sek)*60(min)= 10*3,6=36 km/h. Malo. Možda je put loš...

Ali auto koji ide prema nama se ne udaljava, već se približava. Stoga je zgodno njegovu brzinu smatrati negativnom. Na primjer -10 m/sec. Udaljenost se smanjuje: 30, 20, 10 metara do nadolazećeg automobila. Svaka sekunda je minus 10 metara. Sada je jasno zašto brzina sa minusom? Evo je leti. Kolika je njegova udaljenost u sekundi? Tako je, -10 metara, tj. "10 metara iza."

Evo prve izjave. (-10 m/sec) * (1 sek) = -10 m.
Minus (negativna brzina) puta plus (pozitivno vrijeme) dao je minus (negativna udaljenost, auto iza mene).

A sada pažnja - minus na minus. Gdje je bio nadolazeći automobil sekund prije nego što je prošao? (-10 m/sec) * (- 1 sek) = 10 m.
Minus (negativna brzina) puta minus (negativno vrijeme) = plus (pozitivna udaljenost, auto je bio 10 metara ispred mene).

Je li ovo jasno ili neko zna još jednostavniji primjer?

Odgovori

Da, lakše je dokazati! 5 * 2 je dva puta da se na brojevnoj pravoj, u pozitivnom smjeru, odloži broj 5, a zatim dobijemo broj 10. Ako je 2 * (-5), tada brojimo dva puta po broju 5, ali već u negativan smjer, i dobijamo broj (-10), sada predstavimo 2*(-5) kao
2 * 5 * (-1) \u003d -10, odgovor je prepisan iz prethodnog izračuna, a ne dobijen u ovom, tako da možemo reći da kada se broj množi sa (-1), dolazi do inverzije numeričke dvije polarne ose, tj. preokret polariteta. Ono što smo ostavili na stranu u pozitivnom dijelu postalo je negativno i obrnuto. Sada (-2)*(-5), zapisujemo to kao (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), ostavljajući po strani broj (-10) i mijenjajući polaritet ose, jer . pomnožimo sa (-1), dobijemo +10, ne znam da li je bilo lakše?

Odgovori

Mislim da si u pravu. Pokušaću samo detaljnije da prikažem vaše gledište, jer. Vidim da ovo ne razumeju svi.
Minus znači oduzeti. Ako vam je 1 put oduzeto 5 jabuka, onda vam je na kraju uzeto 5 jabuka, što je uslovno označeno minusom, tj. - (+5). Uostalom, potrebno je nekako odrediti radnju. Ako je 1 jabuka odabrana 5 puta, onda su na kraju također odabrali: - (+5). Istovremeno, odabrane jabuke nisu postale imaginarne, jer niko nije poništio zakon održanja materije. Pozitivne jabuke su jednostavno otišle onome ko ih je ubrao. Dakle, nema zamišljenih brojeva, postoji relativno kretanje materije sa znakom + ili -. Ali ako je tako, onda unos: (-5) * (+1) \u003d -5 ili (+5) * (-1) \u003d -5 ne odražava tačno stvarnost, već je označava samo uslovno. Budući da nema zamišljenih brojeva, cijeli proizvod je uvijek pozitivan → "+" (5 * 1). Zatim se negira pozitivan proizvod, što znači odvikavanje → “- +” (5 * 1). Ovdje minus ne nadoknađuje plus, već ga poriče i zauzima njegovo mjesto. Tada na kraju dobijamo: -(5*1) = -(+5).
Za dva minusa možete napisati: "- -" (5 * 1) \u003d 5. Znak "- -" znači "+", tj. eksproprijacija eksproprijatora. Prvo su ti oduzete jabuke, a onda si ih oduzeo svom nasilniku. Kao rezultat toga, sve jabuke su ostale pozitivne, samo do selekcije nije došlo, jer. dogodila se socijalna revolucija.
Uopšteno govoreći, razumljivo je i bez objašnjenja činjenica da se negacijom negacije eliminiše negacija i sve na šta se negacija odnosi na djecu, jer. To je očigledno. Djeci samo treba objasniti da su odrasli umjetno zbunjeni, toliko da sada ni sami ne mogu to shvatiti. A zabuna je u tome što su umjesto negiranja radnje uvedeni negativni brojevi, tj. negativna materija. Dakle, djeca su zbunjena zašto pri dodavanju negativne materije zbir ispada negativan, što je sasvim logično: (-5) + (-3) = -8, a pri množenju iste negativne materije: (-5) * (-3) = 15, odjednom na kraju postaje pozitivno, što nije logično! Uostalom, sa negativnom materijom trebalo bi da se desi isto što i sa pozitivnom materijom, samo sa drugačijim predznakom. Stoga se djeci čini logičnijim da kada se umnožava negativna materija, umnožava se upravo negativna materija.
Ali ni tu nije sve glatko, jer za umnožavanje negativne materije dovoljno je da samo jedan broj bude sa minusom. Pritom je jedan od faktora, koji označava ne stvarni sadržaj, već vremena ponavljanja odabrane materije, uvijek pozitivan, jer vremena ne mogu biti negativna čak i ako se negativna (odabrana) materija ponavlja. Stoga je pri množenju (dijeljenju) ispravnije staviti znakove ispred cijelog proizvoda (podjele), koji smo pokazali iznad: “- +” (5*1) ili “- -” (5*1).
A da se znak minus ne percipira kao znak imaginarnog broja, tj. negativnu materiju, ali kao radnju, odrasli prvo treba da se međusobno dogovore da ako je znak minus ispred broja, onda označava negativnu radnju sa brojem koji je uvijek pozitivan, a ne zamišljen. Ako je znak minus ispred drugog znaka, onda on označava negativnu radnju sa prvim znakom, tj. preokreće ga. Tada će sve prirodno doći na svoje mjesto. Onda morate to objasniti djeci i ona će savršeno razumjeti i naučiti tako razumljivo pravilo odraslih. Uostalom, sada svi odrasli učesnici u diskusiji zapravo pokušavaju da objasne neobjašnjivo, jer nema fizičkog objašnjenja za ovo pitanje, to je samo konvencija, pravilo. A objašnjavati apstrakciju apstrakcijom je tautologija.
Ako znak minus negira broj, onda je ovo fizička radnja, ali ako negira samu radnju, onda je ovo samo uvjetno pravilo. Odnosno, odrasli su se jednostavno složili da ako je selekcija odbijena, kao u pitanju koje se razmatra, onda nema selekcije, ma koliko puta! Pritom vam ostaje sve što ste imali, bilo da je to samo broj, bilo da je proizvod brojeva, tj. mnogo pokušaja selekcije. To je sve.
Ako se neko ne slaže, onda opet mirno razmisli. Uostalom, primjer s automobilima, u kojima je negativna brzina i negativno vrijeme sekundu prije susreta, samo je uvjetno pravilo povezano s referentnim sistemom. U drugom referentnom okviru, ista brzina i isto vrijeme će postati pozitivni. A primjer sa ogledalom povezan je sa fantastičnim pravilom u kojem minus koji se ogleda u ogledalu samo uslovno, ali nikako fizički postaje plus.

Odgovori

Sa matematičkim minusima, čini se da je sve jasno. Ali u jeziku, kada se pitanje postavi sa negacijom, kako na njega odgovoriti? Evo, na primjer, uvijek me je zbunilo takvo pitanje: "Želite li čaj?" Kako da odgovorim, pod uslovom da želim čaj? Cini se da ako kazes "Da", onda nece dati caj (to je kao + i -), ako ne, onda treba da daju (- i -), a ako "Ne, necu" ?? ?

Odgovori

Da biste odgovorili na tako djetinjasto pitanje, prvo morate odgovoriti na nekoliko pitanja odraslih: "Šta je minus u matematici?" i "Šta je množenje i dijeljenje?". Koliko sam shvatio, tu počinju problemi koji na kraju dovode do zvonjenja i drugih gluposti kada se odgovori na tako jednostavno djetinjasto pitanje.

Odgovori

Odgovor očito nije za obične školarce!
U osnovnoj školi sam pročitao divnu knjigu - onu o Dwarfingu i Al-Jebri, ili su možda dali primjer u matematičkom krugu - stavili su dvije osobe na suprotne strane znaka jednakosti sa jabukama različitih boja i ponudile da daju jabuke jedna drugoj. Zatim su između učesnika igre postavljeni drugi znakovi - plus, minus, više, manje.

Odgovori

Detinjasti odgovor, ha??))
Možda zvuči okrutno, ali sam autor ne razumije zašto minus po minus daje plus :-)
Sve na svijetu može se objasniti vizualno, jer su apstrakcije potrebne samo da bi se svijet objasnio. Vezani su za stvarnost i ne žive sami u zabludnim udžbenicima.
Mada za objašnjenje morate znati barem fiziku, a ponekad i biologiju, zajedno sa osnovama ljudske neurofiziologije.

Ali ipak, prvi dio je dao nadu za razumijevanje i vrlo jasno objasnio potrebu za negativnim brojevima.
Ali drugi je tradicionalno prešao u šizofreniju. A i B moraju biti stvarni objekti! pa zašto ih zvati ovakvim slovima kada možete uzeti, na primjer, vekne hleba ili jabuke
Ako .. ako bi bilo moguće ... da?))))))

I ... čak i korištenjem ispravne osnove iz prvog dijela (to množenje je isto sabiranje) - s minusima se dobiva kontradikcija))
-2 + -2 = -4
ali
-2 * -2 =+4))))
pa čak i ako pretpostavimo da je ovo minus dva, uzeto minus dva puta, ispostaviće se
-2 -(-2) -(-2) = +2

Vrijedilo je jednostavno priznati da, pošto su brojevi virtuelni, onda sam za relativno korektno računovodstvo morao smisliti virtuelna pravila.
I to bi bila ISTINA, a ne prstenaste gluposti.

Odgovori

U svom primjeru, Academon je napravio grešku:
U stvari, (-2)+(-2) = (-4) je 2 puta (-2), tj. (-2) * 2 = (-4).
Što se tiče množenja dva negativna broja, bez kontradikcije, ovo je isti sabirak, samo s druge strane "0" na brojevnoj pravoj. naime:
(-2) * (-2) = 0 -(-2) -(-2) = 2 + 2 = 4. Dakle, sve se zbraja.
Pa, što se tiče realnosti negativnih brojeva, kako vam se sviđa ovaj primjer?
Ako imam, recimo, 1.000 dolara u džepu, moje raspoloženje se može nazvati “pozitivnim”.
Ako je 0$, respektivno, stanje će biti "none".
A ako je (-1000)$ dug koji treba otplatiti, a para nema...?

Odgovori

Minus na minus - uvek će postojati plus,
Zašto se to dešava - ne mogu reći.

Zašto me je -na-=+ zbunilo još u školi, u 7. razredu (1961). Pokušao sam smisliti drugu, "pošteniju" algebru, gdje je + na + = +, i - na - = -. Pa sam mislio da bi bilo iskrenije. Ali kako onda biti sa + na- i -na +? Nisam želio da izgubim komutativnost xy=yx, inače neće raditi.
Ali šta ako uzmemo ne 2 znaka, već tri, na primjer +, - i *. Jednako i simetrično.

DODATAK
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) se ne zbrajaju(!), kao stvarni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja.
Ali za to (+a)+(-a)+(*a)=0.

Na primjer, šta je (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Nije lako, ali možete se naviknuti.

Sada MNOŽENJE.
Pretpostavljamo:
+on+=+ -on-=- *on*=* (zar ne?)
+on-=-on+=* +on*=*on+=- -on*=*on-=+ (pošteno!)
Čini se da je sve u redu, ali množenje nije asocijativno, tj.
a(bc) nije jednako (ab)c.

I ako je tako
+on+=+ -on-=* *on*=-
+on-=-on+=- +on*=*on+=* -on*=*on-=+
Opet nepravedno, + istaknuto kao posebno. ALI rođena je NOVA ALGEBRA sa tri znaka. Komutativno, asocijativno i distributivno. Ona ima geometrijsku interpretaciju. Izomorfan je kompleksnim brojevima. Može se dalje proširiti: četiri karaktera, pet...
Ovo se ranije nije desilo. Uzmite, ljudi, koristite.

Odgovori

Dječije pitanje je općenito dječji odgovor.
Postoji naš svijet, gdje je sve "plus": jabuke, igračke, mačke i psi, oni su pravi. Možete pojesti jabuku, možete pomaziti mačku. A postoji i izmišljeni svijet, kroz ogledalo. Tu su i jabuke i igračke, zrcalne, možemo ih zamisliti, ali ne možemo ih dodirnuti - izmišljene su. Iz jednog svijeta u drugi možemo doći uz pomoć znaka minus. Ako imamo dvije prave jabuke (2 jabuke), a stavimo znak minus (-2 jabuke) - dobićemo dvije izmišljene jabuke u ogledalu. Znak minus nas vodi iz jednog svijeta u drugi, naprijed-nazad. U našem svijetu nema zrcalnih jabuka. Možemo ih zamisliti čitavu gomilu, čak milion (minus milion jabuka). Samo ih nećete moći jesti, jer kod nas nema jabuka minus, sve jabuke u našim prodavnicama su plus jabuke.
Pomnožiti znači složiti neke objekte u obliku pravokutnika. Uzmimo dva boda ":" i pomnožimo ih sa tri, dobićemo: ": : :" - ukupno šest bodova. Možete uzeti pravu jabuku (+I) i pomnožiti je sa tri, dobićemo: "+ÂÂÂ" - tri prave jabuke.
Sada pomnožite jabuku sa minus tri. Opet ćemo dobiti tri jabuke "+ÂÂÂ", ali znak minus će nas provesti kroz ogledalo, i imaćemo tri zrcalne jabuke (minus tri jabuke -ÂÂÂ).
A sada pomnožite minus jabuka (-I) sa minus tri. Odnosno, uzimamo jabuku, a ako je ispred nje minus, prenosimo je u ogledalo. Tu ga množimo sa tri. Sada imamo tri zrcalne jabuke! Ali postoji još jedna loša strana. On će primljene jabuke vratiti u naš svijet. Kao rezultat, dobijamo tri zaista ukusne jabuke + YYYYA koje možete pojesti.

Odgovori

Sve je u redu do poslednjeg koraka. Kada množimo tri zrcalne jabuke sa minus jednom, ove jabuke moramo odraziti u još jednom ogledalu. Lokacijski će se podudarati sa stvarnim, ali će biti zamišljeni kao i prva ogledala i jednako nejestivi. To jest, (-1)*(-1)= -1<> 1.
Zapravo, zbunjuje me još jedna stvar vezana za množenje negativnih brojeva, naime:
Da li je tačna jednadžba:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Ovo pitanje je proizašlo iz pokušaja da se razumije ponašanje grafa funkcije y=x^n, gdje su x i n realni brojevi.
Ispada da će se graf funkcije uvijek nalaziti u 1. i 3. kvartalu, osim u slučajevima kada je n paran. U ovom slučaju se mijenja samo zakrivljenost grafa. Ali paritet od n je relativna vrijednost, jer možemo uzeti drugi referentni okvir, u kojem je n = 1,1 * k, onda dobijamo
y = x^(1.1*k) = (x^1.1)^k
i paritet će ovdje biti drugačiji...
I pored toga, predlažem da se argumentu doda ono što se dešava sa grafom funkcije y = x^(1/n). Pretpostavljam, ne bez razloga, da bi graf funkcije trebao biti simetričan grafu y = x^n u odnosu na graf funkcije y = x.

Odgovori

Postoji nekoliko načina da se objasni pravilo "minus puta minus je plus". Evo najjednostavnijeg. Množenje po prirodi. broj n je rastezanje segmenta (koji se nalazi na brojevnoj osi) n puta. Množenje sa -1 je odraz segmenta u odnosu na ishodište. Kao najkraće objašnjenje zašto (-1)*(-1) = +1, ova metoda je prikladna.Usko grlo ovog pristupa je to što još uvijek morate posebno odrediti zbir takvih operatora.

Odgovori

Možete ići kada objašnjavate iz kompleksnih brojeva
kao opštiji oblik predstavljanja brojeva
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Ojlerova formula
Znak je u ovom slučaju samo argument (ugao rotacije)
Uglovi se zbrajaju kada se pomnože
0 stepeni odgovara +
180 stepeni odgovara -
Množenje - sa - je ekvivalentno 180+180=360=0

Odgovori

Hoće li se ovo kotrljati?

Negativci su suprotni. Radi jednostavnosti, da bismo se privremeno udaljili od minusa, zamijenit ćemo iskaze i početnu tačku učiniti većom. Počnimo brojati ne od nule, već od 1000.

Recimo da mi dvije osobe duguju po dvije rublje: 2_osobe * 2_rublja = 4_rublja duguju mi ukupno. (moj bilans je 1004)

Sada inverzi (negativni brojevi, ali inverzni/pozitivni iskazi):

minus 2 osobe = tako da mi ne duguju, ali ja dugujem (dužan sam više ljudima nego što sam dužan). Na primjer, dugujem 10 ljudi, a imam samo 8. Međusobna poravnanja se mogu smanjiti i zanemariti, ali možete to imati na umu ako je zgodnije raditi s pozitivnim brojevima. Odnosno, svi jedni drugima daju novac.

minus 2 rublje = sličan princip - trebali biste uzeti više nego što dajete. Tako da svima dugujem dvije rublje.

-(2_persons)*2_rubles=I_dug_to_each_by_2=-4 za mene. Moje stanje je 996 rubalja.

2_people*(-2_rubles)=two_should_take_2_rubles_from_me=- 4 od mene. Moje stanje je 996 rubalja.

-(2_osobe)*(-2_rubli)= svako_treba_uzeti_od_me_manje_nego_treba_dati_2_rublja

Generalno, ako zamislimo da se sve ne vrti oko 0, već oko, na primjer, 1000, ali daju novac na 10, oduzimaju na 8. Zatim, uzastopnim izvođenjem svih operacija izdavanja novca nekome ili njegovog preuzimanja daleko, dođem do zaključka da ako mi dva viška (ostalo ćemo smanjiti mrežama) uzeti dvije rublje manje nego što će mi vratiti, onda će se moje blagostanje povećati za pozitivnu brojku od 4.

Odgovori

U potrazi za JEDNOSTAVNIM (djetetu razumljivim) odgovorom na postavljeno pitanje ("Zašto minus sa minusom daje plus"), marljivo sam čitao i članak koji je predložio autor i sve komentare. Najuspješnijim odgovorom smatram onaj u epigrafu: "Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj." Koliko jasnije! Jednostavno i briljantno!

Određeni putnik stiže na ostrvo, o čijim stanovnicima zna samo jedno: neki od njih govore samo istinu, drugi samo lažu. Izvana ih je nemoguće razlikovati. Putnik je pristao na obalu i ugledao cestu. Želi da zna da li ovaj put vodi u grad. Ugledavši lokalnog stanovnika na putu, postavlja mu SAMO JEDNO pitanje, omogućavajući mu da sazna da put vodi u grad. Kako je pitao o tome?

Rješenje je tri reda niže (samo da zastanem i da vama odraslima dam priliku da zastanete i razmislite o ovom divnom problemu!) Moj unuk iz trećeg razreda je još uvijek pretvrd za problem, ali razumijevanje odgovora ga je bez sumnje približilo razumijevanje predstojećih matematičkih problema, trikovi poput "minus puta minus daje plus."

Dakle, odgovor je:

"Kada bih vas pitao vodi li ovaj put do grada, šta biste mi odgovorili?"

"Algebarsko" objašnjenje nije moglo poljuljati moju goruću ljubav prema ocu, niti duboko poštovanje prema njegovoj nauci. Ali zauvijek sam mrzeo aksiomatsku metodu sa njenim nemotivisanim definicijama.

Zanimljivo je da se ovaj odgovor I. V. Arnolda na dječje pitanje praktično poklopio s objavljivanjem njegove knjige "Negativni brojevi u algebri". Tamo je (u 7. poglavlju) dat sasvim drugačiji odgovor, po mom mišljenju, vrlo opisan. Knjiga je dostupna u elektronskom obliku http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Odgovori

Ako postoji paradoks, treba tražiti greške u osnovama. Postoje tri greške u formulaciji množenja. Otuda dolazi "paradoks". Samo trebate dodati nulu.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Množenje je ponovljeno dodavanje nuli (ili oduzimanje od nule).

Množilac (4) pokazuje broj operacija sabiranja ili oduzimanja (broj znakova "minus" ili "plus" pri dekomponovanju množenja sabiranjem).

Znaci "minus" i "plus" na faktoru (4) propisuju ili oduzimanje množenika od nule, ili dodavanje množenika nuli.

Konkretno, u ovom primjeru, (-4) određuje oduzimanje ("-") od nule množenika (-3) četiri puta (4).

Ispravite tekst (tri logičke greške). Samo dodajte nulu. Pravila aritmetike se od ovoga neće promijeniti.

Više o ovoj temi ovdje:

http://mnemonikon.ru/different_pub_28.htm

Koja je navika mehanički vjerovati udžbenicima? Morate imati i vlastiti mozak. Pogotovo ako postoje paradoksi, bijele mrlje, očigledne kontradikcije. Sve je to rezultat grešaka u teoriji.

Nemoguće je rastaviti proizvod dva negativna broja na pojmove, prema trenutnoj formulaciji množenja (bez nule). Zar to nikome ne smeta?

Kakva je to formulacija množenja prema kojoj je nemoguće izvršiti množenje? :)

Problem je i čisto psihološki. Slijepo povjerenje u autoritete, nespremnost da razmišljate svojom glavom. Ako udžbenici tako kažu, ako škola tako uči, onda je to konačna istina. Sve se menja, uključujući i nauku. Inače ne bi bilo razvoja civilizacije.

Ispravite tekst množenja u svim udžbenicima! Pravila aritmetike se od ovoga neće promijeniti.

Štaviše, kao što slijedi iz članka na koji je povezana gore, ispravljena formulacija množenja postat će slična formulaciji dizanja broja na stepen. I tamo ne zapisuju jedinicu kada se podignu na pozitivnu potenciju. Međutim, jedan se zapisuje kada se broj podigne na negativan stepen.

Gospodaru matematike, tvoja majka, uvijek treba da napišeš nulu i jedan, čak i ako se rezultat ne promijeni od njihovog odsustva.

Značenje skraćenih unosa se mijenja (ili čak nestaje). I kod školaraca postoje problemi sa razumijevanjem.

Odgovori

Napišite komentar

Razumijemo li pravilno množenje?

"- A i B su sjedili na luli. A je pao, B je nestao, šta je ostalo na luli?
"Tvoje pismo I ostaje."

(Iz filma "Mladi u svemiru")

Zašto množenje broja sa nulom rezultira nulom?

7 * 0 = 0

Zašto kada pomnožite dva negativna broja, dobijete pozitivan broj?

7 * (-3) = + 21

Ono što nastavnici samo ne smisle da daju odgovore na ova dva pitanja.

Ali niko nema hrabrosti da prizna da postoje tri semantičke greške u formulaciji množenja!

Ima li grešaka u osnovama aritmetike? Uostalom, matematika se pozicionira kao egzaktna nauka...

Školski udžbenici matematike ne daju odgovore na ova pitanja, zamjenjujući objašnjenja skupom pravila koja treba zapamtiti. Možda im je ovu temu teško objasniti u srednjoj školi? Pokušajmo razumjeti ova pitanja.

7 - množitelj. 3 je množitelj. 21 - rad.

Prema zvaničnoj formulaciji:

pomnožiti broj drugim brojem znači sabrati onoliko množitelja koliko množitelj propisuje.

Prema prihvaćenoj formulaciji, faktor 3 nam govori da na desnoj strani jednakosti treba da budu tri sedam.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ali ova formulacija množenja ne može objasniti gore postavljena pitanja.

Popravimo formulaciju množenja

Obično se u matematici mnogo misli, ali se to ne kaže niti zapisuje.

Ovo se odnosi na znak plus ispred prvih sedam na desnoj strani jednakosti. Hajde da zapišemo ovo.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Ali čemu se dodaje prvih sedam? To znači da na nulu, naravno. Hajde da napišemo nulu.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Šta ako pomnožimo sa tri minus sedam?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Pišemo sabiranje množenika -7, u stvari, vršimo višestruko oduzimanje od nule. Proširimo zagrade.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Sada možemo dati rafiniranu formulaciju množenja.

Množenje je ponovljeno zbrajanje na nulu (ili oduzimanje od nule) množenika (-7) onoliko puta koliko množitelj pokazuje. Faktor (3) i njegov znak (+ ili -) označavaju broj operacija koje treba dodati nuli ili oduzeti od nule.

Prema ovoj rafiniranoj i donekle izmijenjenoj formulaciji množenja, "pravila predznaka" za množenje kada je množitelj negativan se lako objašnjavaju.

7 * (-3) - iza nule moraju biti tri znaka minus = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - opet bi trebala biti tri znaka minus nakon nule =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Množenje sa nulom

7 * 0 = 0 + ... nema operacija dodavanja na nulu.

Ako je množenje zbrajanje na nulu, a množitelj pokazuje broj operacija za dodavanje na nulu, tada množitelj nule pokazuje da se ništa ne dodaje na nulu. Dakle, ostaje nula.

Dakle, u postojećoj formulaciji množenja pronašli smo tri semantičke greške koje blokiraju razumijevanje dvaju "pravila znakova" (kada je množitelj negativan) i množenje broja nulom.

Potrebno je ne sabrati množenik, već ga dodati nuli.
Množenje nije samo dodavanje na nulu, već i oduzimanje od nule.
Množilac i njegov predznak ne pokazuju broj članova, već broj znakova plus ili minus kada se množenje rastavlja na članove (ili oduzima).

Nakon što smo donekle razjasnili formulaciju, uspjeli smo objasniti pravila znakova u množenju i množenju broja nulom bez pomoći komutativnog zakona množenja, bez distributivnog zakona, bez upotrebe analogija sa brojevnom pravom, bez jednačina, bez dokaza o suprotnom itd.

Pravila znakova prema rafiniranoj formulaciji množenja izvedena su vrlo jednostavno.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Množilac i njegov znak (+3 ili -3) označavaju broj znakova "+" ili "-" na desnoj strani jednačine.

Izmijenjeni tekst množenja odgovara operaciji podizanja broja na stepen.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (jedan se ne množi niti dijeli ničim, tako da ostaje jedan)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematičari se slažu da je podizanje broja na pozitivan stepen višestruko množenje jedinice. A podizanje broja na negativan stepen je višestruko dijeljenje jedinice.

Operacija množenja bi trebala biti slična operaciji eksponencijalnosti.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (ništa se ne dodaje nuli i ništa se ne oduzima od nule)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Modificirana formulacija množenja ne mijenja ništa u matematici, ali vraća izvorno značenje operacije množenja, objašnjava "pravila znakova", množenje broja nulom i pomiruje množenje sa eksponencijalnim.

Provjerimo da li se naša formulacija množenja slaže s operacijom dijeljenja.

15: 5 = 3 (obrnuta operacija množenja 5 * 3 = 15)

Količnik (3) odgovara broju operacija sabiranja na nulu (+3) tokom množenja.

Podijeliti broj 15 sa 5 znači pronaći koliko puta trebate oduzeti 5 od 15. Ovo se radi uzastopnim oduzimanjem dok se ne dobije nulti rezultat.

Da biste pronašli rezultat dijeljenja, morate izbrojati broj znakova minus. Ima ih tri.

15: 5 = 3 operacije za oduzimanje pet od 15 dok se ne dobije nula.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (divizija 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (pomnoži 5 * 3)

Podjela s ostatkom.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17:5 = 3 i 2 ostatak

Ako postoji dijeljenje s ostatkom, zašto ne množenje sa dodatkom?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Razliku u tekstu gledamo na kalkulatoru

Postojeća formulacija množenja (tri člana).

10 + 10 + 10 = 30

Ispravljen tekst množenja (tri operacije sabiranja na nulu).

0 + 10 = = = 30

(Kliknite na "jednako" tri puta.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Faktor 3 označava da se množitelj od 10 mora dodati na nulu tri puta.

Pokušajte pomnožiti (-10) * (-3) dodavanjem člana (-10) minus tri puta!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Šta znači znak minus za tri? Možda je tako?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Nije moguće rastaviti proizvod na zbir (ili razliku) pojmova (-10).

Uz izmijenjenu formulaciju, ovo je ispravno urađeno.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množilac (-3) označava da se množitelj (-10) mora oduzeti od nule tri puta.

Znak pravila za sabiranje i oduzimanje

Iznad je prikazan jednostavan način za izvođenje znakovnih pravila za množenje, promjenom značenja formulacije množenja.

Ali za izlaz smo koristili pravila znakova sabiranja i oduzimanja. Oni su skoro isti kao i za množenje. Napravimo vizualizaciju pravila znakova za sabiranje i oduzimanje, tako da to može razumjeti i učenik prvog razreda.

Šta je "minus", "negativno"?

U prirodi nema ničeg negativnog. Nema negativne temperature, nema negativnog smjera, nema negativne mase, nema negativnih naboja... Čak i sinus po svojoj prirodi može biti samo pozitivan.

Ali matematičari su došli do negativnih brojeva. Za što? Šta znači "minus"?

Minus znači suprotan smjer. Lijevo desno. Top bottom. U smjeru kazaljke na satu - suprotno od kazaljke na satu. Naprijed-nazad. Hladno - vruće. Lagano težak. Polako - brzo. Ako razmislite o tome, možete dati mnogo drugih primjera gdje je zgodno koristiti negativne vrijednosti.

U svijetu koji poznajemo, beskonačnost počinje od nule i ide do plus beskonačnosti.

"Minus beskonačnost" ne postoji u stvarnom svijetu. Ovo je ista matematička konvencija kao i koncept "minusa".

Dakle, "minus" znači suprotan smjer: kretanje, rotacija, proces, množenje, sabiranje. Analizirajmo različite smjerove pri sabiranju i oduzimanju pozitivnih i negativnih (rastući u drugom smjeru) brojeva.

Poteškoće u razumijevanju pravila znakova za sabiranje i oduzimanje nastaju zbog činjenice da se ova pravila obično pokušavaju objasniti na brojevnoj pravoj. Na brojevnoj pravoj su pomiješane tri različite komponente iz kojih su izvedena pravila. A zbog miješanja, zbog bacanja različitih koncepata u jednu hrpu, stvaraju se poteškoće u razumijevanju.

Da bismo razumjeli pravila, moramo razdvojiti:

prvi član i zbir (oni će biti na horizontalnoj osi);
drugi član (biće na vertikalnoj osi);
smjer operacija sabiranja i oduzimanja.

Ova podjela je jasno prikazana na slici. Mentalno zamislite da se vertikalna os može rotirati, postavljena na horizontalnu os.

Operacija sabiranja se uvijek izvodi rotacijom vertikalne ose u smjeru kazaljke na satu (znak plus). Operacija oduzimanja se uvijek izvodi rotacijom vertikalne ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (znak minus).

Primjer. Dijagram u donjem desnom uglu.

Može se vidjeti da dva susjedna znaka minus (znak operacije oduzimanja i znak broja 3) imaju različita značenja. Prvi minus pokazuje smjer oduzimanja. Drugi minus je znak broja na okomitoj osi.

Pronađite prvi član (-2) na horizontalnoj osi. Nađite drugi član (-3) na okomitoj osi. Mentalno rotirajte vertikalnu osu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se (-3) ne poklopi s brojem (+1) na horizontalnoj osi. Broj (+1) je rezultat zbrajanja.

operacija oduzimanja

daje isti rezultat kao operacija sabiranja na dijagramu u gornjem desnom uglu.

Dakle, dva susjedna znaka "minus" mogu se zamijeniti jednim znakom "plus".

Svi smo navikli koristiti gotova pravila aritmetike ne razmišljajući o njihovom značenju. Stoga često ni ne primjećujemo kako se pravila znakova sabiranja (oduzimanja) razlikuju od pravila znakova u množenju (dijeljenju). Čini se da su isti? Skoro... Na sljedećoj ilustraciji možete vidjeti malu razliku.

Sada imamo sve što nam je potrebno da izvedemo pravila znakova za množenje. Izlazni niz je sljedeći.

Jasno pokazujemo kako se dobijaju pravila znakova za sabiranje i oduzimanje.
Unosimo semantičke promjene u postojeću formulaciju množenja.
Na osnovu izmijenjenog teksta množenja i pravila znakova za sabiranje, izvodimo pravila znakova za množenje.

Bilješka.

Ispod su napisani pravilo znakova za sabiranje i oduzimanje dobijene vizualizacijom. A crvenom bojom, za poređenje, ista pravila znakova iz udžbenika matematike. Sivi plus u zagradama je nevidljivi plus, koji nije napisan za pozitivan broj.

Uvek postoje dva znaka između pojmova: predznak operacije i znak broja (ne pišemo plus, ali to mislimo). Pravila znakova propisuju zamjenu jednog para znakova drugim parom bez promjene rezultata sabiranja (oduzimanja). U stvari, postoje samo dva pravila.

Pravila 1 i 3 (za vizualizaciju) - duplikat pravila 4 i 2 .. Pravila 1 i 3 u školskoj interpretaciji se ne poklapaju sa vizuelnom šemom, stoga se ne primjenjuju na pravila znakova dodatno. To su neka druga pravila...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+)......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Školsko pravilo 1. (crveno) vam omogućava da dva plusa u nizu zamijenite jednim plusom. Pravilo se ne primjenjuje na zamjenu znakova u sabiranju i oduzimanju.

Školsko pravilo 3. (crvena boja) dozvoljava vam da ne pišete znak plus za pozitivan broj nakon operacije oduzimanja. Pravilo se ne primjenjuje na zamjenu znakova u sabiranju i oduzimanju.

Značenje pravila znakova dodatno je zamjena jednog PAR znakova drugim PARom znakova bez promjene rezultata zbrajanja.

Školski metodičari su pomiješali dva pravila u jedno pravilo:

Dva znakovna pravila za sabiranje i oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva (zamjena jednog para znakova drugim parom znakova);

Dva pravila po kojima ne možete napisati znak plus za pozitivan broj.

Dva različita pravila, pomiješana u jedno, slična su pravilima znakova u množenju, gdje treće proizlazi iz dva znaka. Izgledajte kao jedan na jedan.

Pa zbunjen! Ponovite isto, za bolje raspetljavanje. Označimo znakove operacija crvenom bojom da ih razlikujemo od znakova brojeva.

1. Sabiranje i oduzimanje. Dva znakovna pravila po kojima se parovi znakova između pojmova zamjenjuju. Znak operacije i znak broja.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dva pravila po kojima je dozvoljeno da se znak plus pozitivnog broja ne piše. Ovo su pravila prijavnog formulara. Ne odnosi se na dodavanje. Za pozitivan broj upisuje se samo predznak operacije.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Četiri pravila znakova u množenju. Kada treći znak proizvoda slijedi iz dva znaka množenja. U pravilima znakova za množenje samo znakovi brojeva.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Sada kada smo razdvojili pravila notacije, trebalo bi biti jasno da pravila predznaka za sabiranje i oduzimanje uopće nisu poput pravila predznaka za množenje.

V.Kozarenko

Sada ćemo pogledati primjere oduzimanje negativnih brojeva i videćete da je to veoma lako. Treba samo zapamtiti pravilo: dva minusa koji stoje jedan pored drugog daju plus.

Primjer 1: Oduzimanje negativnog broja od pozitivnog broja

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Kao što vidite, da biste oduzeli negativan broj od pozitivnog broja, trebate samo dodati njihove module.

Primjer 2: Oduzimanje negativnog broja od negativnog broja

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Dakle, kada oduzimamo negativan broj od negativnog, postupamo po pravilu i možemo dobiti i pozitivan i negativan broj.

Postoji jedno pravilo koje definira oduzimanje bilo kojeg broja: negativnih i pozitivnih, a zvuči ovako:

Pravilo znakova

Da bismo se riješili dodatnih zagrada prilikom oduzimanja negativnih brojeva, možemo koristiti pravilo znaka.ovo pravilo kaže:

Na primjer:

Sada uradite kviz i testirajte se!

Sabiranje i oduzimanje negativnih brojeva

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 20 zadataka završeno

"Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj"

Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan? Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan? Najlakši odgovor je: "Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima." Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Prvo ćemo to pokušati da shvatimo iz istorije razvoja aritmetike, a zatim ćemo odgovoriti na ovo pitanje sa stanovišta savremene matematike.

Davno su ljudi bili poznati samo prirodnim brojevima: koristili su se za brojanje pribora, plijena, neprijatelja itd. Ali brojevi su sami po sebi prilično beskorisni - s njima treba znati rukovati. Sabiranje je jasno i razumljivo, osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren pod operacijom sabiranja). Množenje je, u stvari, isti sabirak ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, sabiramo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često je potrebno podijeliti jednu količinu drugom, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen kao prirodan broj - tako su se pojavili razlomci.

Oduzimanje je, naravno, takođe neophodno. Ali u praksi, mi težimo da manji broj oduzmemo od većeg broja i nema potrebe za korištenjem negativnih brojeva. (Ako imam slatkiše i dam ga svojoj sestri, onda ću imati slatkiše, ali ne mogu joj dati slatkiš sa svom svojom željom.) Ovo može objasniti zašto ljudi dugo nisu koristili negativne brojeve.

Uzmimo jednačinu kao primjer. Može se riješiti ovako: pomaknite članove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak udesno, ispostaviće se , , . Sa ovim rješenjem nismo naišli ni na negativne brojeve.

Ali to bi se slučajno moglo učiniti na drugačiji način: pomjeriti pojmove s nepoznatim na desnu stranu i dobiti , . Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: . Ali tačan odgovor je poznat, i ostaje da se zaključi da .

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, postaje jasna logika koja je odredila pravila za radnje na negativne brojeve: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima koji su dobijeni na drugačiji način, bez negativnih brojeva. Drugo, dozvoljavanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja putanje rješenja u kojoj se sve radnje izvode samo na prirodnim brojevima. Štaviše, ne možemo više svaki put razmišljati o smislenosti veličina koje se pretvaraju - a ovo je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Kao rezultat toga, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo gomila elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna pravila ovdje su samo pravila (nazivaju se aksiomi), koja su podložna radnjama, a ne prirodi elemenata skupa (evo ga, novi nivo apstrakcije!). Želeći da naglase da je bitna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma, mogu se izvesti i druga svojstva prstenova.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za operacije sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom rezultira plusom.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (to jest, dva elementa prstena su uključena u svaku operaciju), koje se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

Sada ćemo dokazati da za bilo koje elemente i proizvoljan prsten, prvo, i drugo, . Iz ovoga lako slijede izjave o jedinicama: i .

Da bismo to učinili, moramo utvrditi neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. Zaista, neka element ima dva suprotna: i . tj. Razmotrimo sumu. Koristeći asocijativne i komutativne zakone i svojstvo nule, dobijamo da je, s jedne strane, zbir jednak, a s druge strane jednak. Znači,.

Imajte na umu da su i , i suprotnosti istog elementa , tako da moraju biti jednake.

Prva činjenica se dobiva na sljedeći način: , To jest, suprotno od , što znači da je jednako .

Da budemo matematički rigorozni, objasnimo i zašto za bilo koji element . Zaista, . To jest, sabiranje ne mijenja zbir. Dakle, ovaj proizvod je jednak nuli.

Evgeny Epifanov
"Elementi"

Komentari: 0

Richard Feynman

On uzima rezultat: zhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzh - "Da," slaže se. I onda me pogodi: on ne zna brojeve. Kada imate abakus, ne morate pamtiti mnogo aritmetičkih kombinacija; samo treba da naučite kako da pritisnete zglobove prstiju gore-dole. Nema potrebe da zapamtite da je 9 + 7 = 16; samo znate da kada saberete 9, morate pomjeriti decimalu gore i jednu dolje. Stoga osnovne aritmetičke operacije izvodimo sporije, ali znamo brojeve.

Jacques Cesiano

U dva milenijuma dogodile su se tri važne ekspanzije numeričkog domena. Prvo, oko 450. godine p.n.e. naučnici Pitagorine škole dokazali su postojanje iracionalnih brojeva. Njihov početni cilj bio je numerički izraziti dijagonalu jediničnog kvadrata. Drugo, u XIII-XV veku evropski naučnici su, rešavajući sisteme linearnih jednačina, priznavali mogućnost jednog negativnog rešenja. I treće, 1572. godine talijanski algebraist Rafael Bombelli koristio je kompleksne brojeve da bi dobio pravo rješenje određene kubne jednačine.

Ilya Shchurov

Matematičar Ilja Ščurov o decimalnim razlomcima, transcendenciji i iracionalnosti Pi.

Proskuryakov I.V.

Svrha ove knjige je da striktno definiše brojeve, polinome i algebarske razlomke i da opravda njihova svojstva koja su već poznata iz škole, a ne da upozna čitaoca sa novim svojstvima. Stoga čitatelj ovdje neće pronaći nove činjenice za njega (s izuzetkom nekih svojstava, realnih i kompleksnih brojeva), ali će naučiti kako se dokazuju stvari koje su mu dobro poznate, počevši od “dva puta dva-četiri” i završava sa pravilima operacija sa polinomima i algebarskim razlomcima. S druge strane, čitalac će se upoznati sa nizom opštih pojmova koji igraju glavnu ulogu u algebri.

Jacques Cesiano

O Diofantu znamo malo. Čini se da je živio u Aleksandriji. Nijedan grčki matematičar ga ne spominje pre 4. veka, pa je verovatno živeo sredinom 3. veka. Najvažnije Diofantovo djelo, "Aritmetika" (Ἀριθμητικά), dogodilo se na početku 13 "knjiga" (βιβλία), odnosno poglavlja. Danas ih imamo 10, i to: 6 u grčkom tekstu i 4 druga u srednjovekovnom arapskom prevodu, čije je mesto u sredini grčkih knjiga: knjige I-III na grčkom, IV-VII na arapskom, VIII-X. na grčkom. Diofantova „Aritmetika“ je prvenstveno zbirka zadataka, ukupno oko 260. Istina, nema teorije; postoje samo opšta uputstva u uvodu knjige, a konkretne napomene u nekim problemima kada je to potrebno. "Aritmetika" već ima karakteristike algebarske rasprave. Prvo, Diofant koristi različite znakove da izrazi nepoznato i njegove stepene, kao i neke proračune; kao i sav algebarski simbolizam srednjeg vijeka, njegov simbolizam dolazi od matematičkih riječi. Zatim, Diofant objašnjava kako riješiti problem na algebarski način. Ali Diofantovi problemi nisu algebarski u uobičajenom smislu, jer se skoro svi svode na rješavanje neodređene jednačine ili sistema takvih jednačina.

Svijet matematike je nezamisliv bez njih - bez prostih brojeva. Šta su prosti brojevi, šta je u njima posebno i kakav značaj imaju u svakodnevnom životu? U ovom filmu, britanski profesor matematike Marcus du Sotoy će otkriti tajnu prostih brojeva.

George Shabat

U školi nam je svima usađena pogrešna ideja da na skupu racionalnih brojeva Q postoji jedinstvena prirodna udaljenost (modul razlike), u odnosu na koju su sve aritmetičke operacije kontinuirane. Međutim, postoji i beskonačan broj takozvanih p-adičnih udaljenosti, po jedna za svaki broj p. Prema teoremi Ostrovskog, "obična" udaljenost, zajedno sa svim p-adnim udaljenostima, zaista iscrpljuje sve razumne udaljenosti Q. Termin adele demokratija uveo je Yu. I. Manin. Prema principu adele demokratije, sve razumne udaljenosti na Q jednake su pred zakonima matematike (možda samo tradicionalno "malo = malo više jednake...". Kurs će uvesti adel prsten koji vam omogućava da radite sa svim ove udaljenosti u isto vrijeme.

Vladimir Arnold

JL Lagrange je dokazao da je niz nepotpunih količnika (polazeći od nekog mjesta) periodičan ako i samo ako je broj x kvadratna iracionalnost. R. O. Kuzmin je dokazao da je u nizu nepotpunih količnika gotovo bilo kojeg realnog broja, omjer d_m jednak m nepotpunih količnika isti (za tipične realne brojeve). Razlomak d_m opada kao m→∞ za 1/m^2 i njegovu vrijednost je predvidio Gauss (koji nije ništa dokazao). V. I. Arnolda (prije 20 godina) je pretpostavio da Gauss-Kuzminova statistika d_m vrijedi i za periode kontinuiranih razlomaka korijena kvadratnih jednadžbi x^2+px+q=0 (sa cijelim brojem p i q): ako zapišemo zajedno nepotpuni količniki , koji čine periode svih kontinuiranih razlomaka korijena takvih jednačina sa p^2+q^2≤R^2, tada će razlomak nepotpunog količnika m među njima težiti broju d_m kao R→ ∞. V. A. Bykovsky i njegovi studenti iz Habarovska nedavno su dokazali ovu dugogodišnju hipotezu. Uprkos tome, pitanje statistike ne slova, već riječi sastavljenih od njih, a koje su periodi kontinuiranih razlomaka bilo kojeg korijena x jednačina x^2+px+q=0, daleko je od rješenja.

Takodje na temu

Od čega se sastoji Viagra: sastav tableta i njihove aktivne supstance

Viagra tablete za muškarce: upute, opis i prednosti

Hepatomegalija jetre: šta je to, eho znaci, kako liječiti

Divinity original sin 2 quests Coast Reaper

Divinity pumpa za ulje. Test za sva godišnja doba. Zmaj bez izvora