Osnovne formule za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Zadatak #1

Logika je jednostavna: uradićemo kao što smo radili i ranije, uprkos činjenici da trigonometrijske funkcije sada imaju složeniji argument!

Ako bismo riješili jednačinu oblika:

Tada bismo napisali sledeći odgovor:

Ili (jer)

Ali sada sviramo sljedeći izraz:

Tada možete napisati:

Naš cilj sa vama je da to učinimo tako da lijevo stojite jednostavno, bez ikakvih "nečistoća"!

Otarasimo ih se!

Prvo, uklonite nazivnik na: da biste to učinili, pomnožite našu jednakost sa:

Sada se rješavamo tako da oba dijela podijelimo s tim:

A sada da se riješimo osam:

Rezultirajući izraz se može napisati kao 2 serije rješenja (po analogiji s kvadratnom jednadžbom, gdje ili dodajemo ili oduzimamo diskriminanta)

Moramo pronaći najveći negativni korijen! Jasno je da je potrebno srediti.

Pogledajmo prvo prvu seriju:

Jasno je da ako uzmemo, onda ćemo kao rezultat dobiti pozitivne brojeve, ali oni nas ne zanimaju.

Dakle, mora se uzeti negativno. Neka bude.

Kada će root biti već:

I moramo pronaći najveći negativ!! Dakle, ići u negativnom smjeru ovdje više nema smisla. I najveći negativni korijen za ovu seriju bit će jednak.

Sada razmotrite drugu seriju:

I opet zamjenjujemo: , zatim:

Nezainteresovan!

Onda ga više nema smisla povećavati! Hajde da smanjimo! Neka onda:

Odgovara!

Neka bude. Onda

Zatim - najveći negativni korijen!

odgovor:

Zadatak #2

Opet rješavamo, bez obzira na kompleksni kosinus argument:

Sada ponovo izražavamo na lijevoj strani:

Pomnožite obje strane sa

Podijelite obje strane

Sve što je preostalo je da ga pomerite udesno, menjajući njegov predznak sa minusa na plus.

Ponovo dobijamo 2 serije korena, jedan sa i drugi sa.

Moramo pronaći najveći negativni korijen. Razmotrite prvu seriju:

Jasno je da ćemo dobiti prvi negativni korijen u, on će biti jednak i bit će najveći negativni korijen u seriji 1.

Za drugu seriju

Prvi negativni korijen će se također dobiti na i bit će jednak. Budući da je tada najveći negativni korijen jednadžbe.

odgovor: .

Zadatak #3

Odlučujemo, bez obzira na složeni argument tangente.

Čini se da to nije ništa komplikovano, zar ne?

Kao i ranije, na lijevoj strani izražavamo:

Pa, to je super, generalno postoji samo jedan niz korijena! Opet pronađite najveći negativ.

Jasno je da ispada ako stavimo . I ovaj korijen je jednak.

odgovor:

Sada pokušajte sami riješiti sljedeće probleme.

Domaći zadatak ili 3 zadatka za samostalno rješavanje.

Re-shi-te jednadžba.
Re-shi-te jednadžba.
U from-ve-te on-pi-shi-te najmanji in-lo-zhi-tel-ny korijen.
Re-shi-te jednadžba.
U from-ve-te on-pi-shi-te najmanji in-lo-zhi-tel-ny korijen.

Spreman? Provjeravamo. Neću detaljno opisivati cijeli algoritam rješenja, čini mi se da mu je već gore posvećeno dovoljno pažnje.

Pa, je li sve u redu? Oh, ti gadni sinusi, s njima uvijek ima problema!

Pa, sada možete riješiti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe!

Pogledajte rješenja i odgovore:

Zadatak #1

Express

Najmanji pozitivni korijen se dobija ako stavimo, pošto, onda

odgovor:

Zadatak #2

Najmanji pozitivni korijen će se dobiti na.

On će biti jednak.

odgovor: .

Zadatak #3

Kad dobijemo, kad imamo.

odgovor: .

Ovo znanje će vam pomoći da riješite mnoge probleme sa kojima ćete se suočiti na ispitu.

Ako se prijavljujete za ocjenu "5", onda samo trebate nastaviti čitati članak za srednji nivo, koji će biti posvećen rješavanju složenijih trigonometrijskih jednačina (zadatak C1).

SREDNJI NIVO

U ovom članku ću opisati rješenje trigonometrijskih jednadžbi složenijeg tipa i kako odabrati njihove korijene. Ovdje ću se fokusirati na sljedeće teme:

Trigonometrijske jednadžbe za početni nivo (vidi gore).

Složenije trigonometrijske jednačine su osnova problema povećane složenosti. Oni zahtijevaju i rješavanje same jednadžbe u općem obliku i pronalaženje korijena ove jednadžbe koji pripadaju nekom datom intervalu.

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi svodi se na dva podzadatka:

Rješenje jednadžbe
Odabir korijena

Treba napomenuti da drugi nije uvijek potreban, ali je ipak u većini primjera potrebno izvršiti odabir. A ako nije potrebno, onda možete radije suosjećati - to znači da je jednadžba sama po sebi prilično komplicirana.

Moje iskustvo s analizom zadataka C1 pokazuje da se oni obično dijele u sljedeće kategorije.

Četiri kategorije zadataka povećane složenosti (ranije C1)

Jednačine koje se svode na faktorizaciju.
Jednačine koje se svode na oblik.
Jednačine riješene promjenom varijable.
Jednačine koje zahtijevaju dodatni odabir korijena zbog iracionalnosti ili nazivnika.

Jednostavno rečeno: ako dobijete jedna od prve tri vrste jednadžbi onda smatrajte da ste srećni. Za njih je u pravilu potrebno dodatno odabrati korijene koji pripadaju određenom intervalu.

Ako naiđete na jednadžbu tipa 4, onda ste manje sretni: s njom se morate petljati duže i pažljivije, ali često ne zahtijeva dodatni odabir korijena. Ipak, ovu vrstu jednačina ću analizirati u sljedećem članku, a ovaj ću posvetiti rješavanju jednačina prve tri vrste.

Jednačine koje se svode na faktoring

Najvažnija stvar koju morate zapamtiti da biste riješili jednadžbe ovog tipa je

Kao što praksa pokazuje, u pravilu, ovo znanje je dovoljno. Pogledajmo neke primjere:

Primjer 1. Jednačina koja se svodi na faktorizaciju koristeći formule redukcije i sinusa dvostrukog ugla

Re-shi-te jednadžba
Nađi-di-oni su svi korijeni ove jednadžbe

Ovdje, kao što sam obećao, formule za odbacivanje rade:

Tada će moja jednadžba izgledati ovako:

Tada će moja jednadžba poprimiti sljedeći oblik:

Kratkovidi student bi mogao reći: a sada ću smanjiti oba dijela, dobiti najjednostavniju jednačinu i uživati u životu! I gorko će se prevariti!

ZAPAMTITE: NIKADA NEMOJTE SMANJETI OBA DIJELA TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE ZA FUNKCIJU KOJA SADRŽI NEPOZNATO! OVAKO GUBITE KORIJEN!

Pa šta da radimo? Da, sve je jednostavno, prenesite sve u jednom smjeru i izvadite zajednički faktor:

Pa, računali smo, ura! Sada odlučujemo:

Prva jednadžba ima korijene:

i drugi:

Ovim je završen prvi dio problema. Sada moramo odabrati korijene:

Razmak je ovakav:

Ili se može napisati i ovako:

Pa, hajde da uzmemo korene:

Prvo, poradimo na prvoj seriji (a u najmanju ruku je lakše!)

Pošto je naš interval potpuno negativan, nema potrebe uzimati nenegativne, oni će i dalje dati nenegativne korijene.

Uzmimo onda - malo previše, ne štima.

Neka, pa - opet nije pogodio.

Još jedan pokušaj - onda - eto, pogodite! Prvi korijen pronađen!

Opet pucam: onda - opet pogodi!

Pa, još jednom: - ovo je već let.

Dakle, iz prve serije, 2 korijena pripadaju intervalu: .

Radimo sa drugom serijom (gradimo na vlast prema pravilu):

Undershoot!

Opet nedostaje!

Opet manjak!

Imam ga!

Let!

Dakle, sljedeći korijeni pripadaju mom rasponu:

Ovaj algoritam ćemo koristiti za rješavanje svih ostalih primjera. Uvježbajmo zajedno još jedan primjer.

Primjer 2. Jednačina koja se svodi na faktorizaciju korištenjem redukcijskih formula

Riješite jednačinu

Odluka:

Opet zloglasne formule cast:

Opet, ne pokušavajte rezati!

Prva jednadžba ima korijene:

i drugi:

Sada opet potraga za korijenima.

Počeću sa drugom serijom, već znam sve o njoj iz prethodnog primera! Pogledajte i uvjerite se da su korijeni koji pripadaju praznini sljedeći:

Sada prva serija i jednostavnije je:

Ako - prikladno

Ako - takođe dobro

Ako - već let.

Tada će korijeni biti:

Samostalan rad. 3 jednadžbe.

Pa, razumiješ li tehniku? Rješavanje trigonometrijskih jednačina više ne izgleda tako teško? Zatim brzo sami riješite sljedeće probleme, a onda ćemo ti i ja riješiti druge primjere:

Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji su vezani za prazninu.
Re-shi-te jednadžba
Označite korijene jednadžbe, koji su pričvršćeni za rez
Re-shi-te jednadžba
Nađi-di-one sve korijene ove jednačine, na-iznad-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Jednačina 1

I opet formula za livenje:

Prva serija korijena:

Druga serija korijena:

Počinjemo selekciju za interval

Odgovor: , .

Jednačina 2 Provjera samostalnog rada.

Prilično zeznuto grupisanje u faktore (koristit ću formulu za sinus dvostrukog ugla):

onda ili

Ovo je opće rješenje. Sada moramo pustiti korijenje. Problem je u tome što ne možemo reći tačnu vrijednost ugla čiji je kosinus jednak jednoj četvrtini. Stoga se ne mogu jednostavno riješiti arkosinusa - takva smetnja!

Ono što mogu da uradim je da shvatim to od tada.

Napravimo tabelu: interval:

Pa, kroz bolna pretraživanja, došli smo do razočaravajućeg zaključka da naša jednadžba ima jedan korijen na naznačenom intervalu: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Jednačina 3. Provjera samostalnog rada.

Zastrašujuća jednačina. Međutim, to se rješava prilično jednostavno primjenom formule za sinus dvostrukog ugla:

Smanjimo to za 2:

Grupišemo prvi član sa drugim, a treći sa četvrtim i izvlačimo zajedničke faktore:

Jasno je da prva jednadžba nema korijena, a sada razmotrite drugu:

Općenito, namjeravao sam se zadržati na rješavanju takvih jednadžbi malo kasnije, ali pošto se ispostavilo, nije bilo šta raditi, morali smo odlučiti ...

Jednačine oblika:

Ova jednačina se rješava dijeljenjem obje strane sa:

Dakle, naša jednadžba ima jednu seriju korijena:

Morate pronaći one od njih koji pripadaju intervalu: .

Hajde da ponovo napravimo tabelu, kao što sam uradio ranije:

Odgovor: .

Jednačine koje se svode na oblik:

E, sad je vrijeme da pređemo na drugi dio jednadžbi, pogotovo što sam već izbrbljao od čega se sastoji rješenje nove vrste trigonometrijskih jednačina. Ali neće biti suvišno ponoviti tu jednačinu oblika

Rješava se dijeljenjem oba dijela kosinusom:

Re-shi-te jednadžba
Navedite korijene jednadžbe koji su vezani za odsječak.
Re-shi-te jednadžba
Navedite korijene jednadžbe, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Primjer 1

Prvi je prilično jednostavan. Pomaknite se udesno i primijenite formulu kosinusa dvostrukog ugla:

Aha! Jednačina tipa: . Oba dela delim na

Vršimo eliminaciju root-a:

jaz:

odgovor:

Primjer 2

Sve je također prilično trivijalno: otvorimo zagrade s desne strane:

Osnovni trigonometrijski identitet:

Sinus dvostrukog ugla:

Konačno dobijamo:

Probiranje korijena: jaz.

Odgovor: .

Pa, kako vam se sviđa tehnika, nije previše komplikovana? Nadam se da ne. Odmah možemo napraviti rezervu: u svom čistom obliku, jednadžbe koje se odmah svode na jednadžbu za tangentu su prilično rijetke. Tipično, ovaj prijelaz (podjela kosinusom) je samo dio većeg problema. Evo primjera za vježbanje:

Re-shi-te jednadžba
Nađi-di-one sve korijene ove jednadžbe, na-iznad-le-zha-schie from-cut.

hajde da proverimo:

Jednačina se odmah rješava, dovoljno je oba dijela podijeliti sa:

Prosijavanje korijena:

Odgovor: .

Na ovaj ili onaj način, tek treba da se susrećemo sa jednačinama one vrste o kojima smo upravo govorili. Međutim, još je prerano da zaključimo: postoji još jedan "sloj" jednačina koji nismo analizirali. dakle:

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi promjenom varijable

Ovdje je sve transparentno: pažljivo promatramo jednačinu, pojednostavljujemo je što je više moguće, vršimo zamjenu, rješavamo, pravimo inverznu zamjenu! Riječima, sve je vrlo lako. Pogledajmo to na djelu:

Primjer.

Riješite jednačinu: .
Nađi-di-one sve korijene ove jednadžbe, na-iznad-le-zha-schie from-cut.

E, tu nam se sama zamjena ukazuje u ruke!

Tada naša jednadžba postaje sljedeća:

Prva jednadžba ima korijene:

A drugi je ovako:

Sada pronađimo korijene koji pripadaju intervalu

Odgovor: .

Pogledajmo zajedno malo složeniji primjer:

Re-shi-te jednadžba
Navedite korijene date jednadžbe, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Ovdje zamjena nije odmah vidljiva, štoviše, nije baš očigledna. Hajde da prvo razmislimo: šta možemo učiniti?

Možemo, na primjer, zamisliti

I u isto vreme

Tada moja jednačina postaje:

A sada pažnja, fokus:

Podijelimo obje strane jednačine na:

Odjednom, ti i ja smo dobili kvadratnu jednačinu za! Napravimo zamjenu, onda dobijamo:

Jednačina ima sljedeće korijene:

Neugodna druga serija rootova, ali nema šta da se radi! Vršimo selekciju korijena na intervalu.

I to moramo uzeti u obzir

Od tada

odgovor:

Za konsolidaciju, prije nego što sami riješite probleme, evo još jedne vježbe za vas:

Re-shi-te jednadžba
Nađi-di-one sve korijene ove jednačine, na-iznad-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Ovdje morate držati oči otvorene: imamo nazivnike koji mogu biti nula! Stoga, morate biti posebno pažljivi na korijene!

Prije svega, moram transformirati jednačinu tako da mogu napraviti odgovarajuću zamjenu. Trenutno ne mogu smisliti ništa bolje nego da prepišem tangentu u smislu sinusa i kosinusa:

Sada ću ići od kosinusa do sinusa prema osnovnom trigonometrijskom identitetu:

I na kraju, sve ću dovesti do zajedničkog imenioca:

Sada mogu da pređem na jednačinu:

Ali na (tj. u).

Sada je sve spremno za zamjenu:

Onda bilo

Međutim, imajte na umu da ako, onda u isto vrijeme!

Ko pati od ovoga? Problem je sa tangentom, nije definisano kada je kosinus nula (dolazi do deljenja sa nulom).

Dakle, korijeni jednačine su:

Sada izdvajamo korijene u intervalu:


	- odgovara
	- traži

Dakle, naša jednadžba ima jedan korijen na intervalu, i on je jednak.

Vidite: pojava nazivnika (kao i tangente, dovodi do određenih poteškoća s korijenima! Ovdje morate biti oprezniji!).

Pa, ti i ja smo skoro završili analizu trigonometrijskih jednačina, ostalo je jako malo - da sami riješimo dva problema. Evo ih.

Riješite jednačinu
Nađi-di-one sve korijene ove jednadžbe, na-iznad-le-zha-schie from-cut.
Re-shi-te jednadžba
Označite korijene ove jednadžbe, koji su pričvršćeni za rez.

Odlučio sam? Nije teško? hajde da proverimo:

Radimo prema formulama redukcije:
Zamjenjujemo u jednačinu:
Prepišimo sve u smislu kosinusa, tako da je zgodnije izvršiti zamjenu:
Sada je lako izvršiti zamjenu:
Jasno je da je to strani korijen, budući da jednačina nema rješenja. onda:
Tražimo korijene koji su nam potrebni na intervalu
Odgovor: .
Ovdje je zamjena odmah vidljiva:
Onda bilo

- odgovara! - odgovara!
- odgovara! - odgovara!
- puno! - takođe mnogo!
odgovor:

E, sad sve! No, rješavanje trigonometrijskih jednačina tu se ne završava, ostavili smo iza sebe najteže slučajeve: kada u jednadžbama postoji iracionalnost ili razne vrste „složenih nazivnika“. Kako riješiti takve zadatke, razmotrit ćemo u članku za napredni nivo.

NAPREDNI NIVO

Uz trigonometrijske jednadžbe razmatrane u prethodna dva članka, razmatramo još jednu klasu jednačina koje zahtijevaju još pažljiviju analizu. Ovi trigonometrijski primjeri sadrže ili iracionalnost ili nazivnik, što otežava njihovu analizu.. Međutim, možda ćete naići na ove jednačine u dijelu C ispitnog rada. Međutim, postoji srebrna podloga: za takve jednadžbe, po pravilu, više se ne postavlja pitanje koji njen korijen pripada datom intervalu. Hajde da ne lupamo okolo, nego samo trigonometrijske primjere.

Primjer 1

Riješite jednačinu i pronađite one korijene koji pripadaju segmentu.

Odluka:

Imamo imenilac koji ne bi trebao biti jednak nuli! Tada je rješavanje ove jednačine isto kao i rješavanje sistema

Rešimo svaku od jednačina:

A sada drugo:

A sada pogledajmo seriju:

Jasno je da nam opcija ne odgovara, jer je u ovom slučaju nazivnik postavljen na nulu (pogledajte formulu za korijene druge jednadžbe)

Ako - onda je sve u redu, a imenilac nije jednak nuli! Tada su korijeni jednadžbe: , .

Sada biramo korijene koji pripadaju intervalu.


	- nije prikladno	- odgovara
	- odgovara	- odgovara
	nabrajanje	nabrajanje

Tada su korijeni:

Vidite, čak je i pojava male smetnje u obliku nazivnika značajno uticala na rješenje jednačine: odbacili smo niz korijena koji poništavaju nazivnik. Stvari mogu postati još složenije ako naiđete na trigonometrijske primjere koji imaju iracionalnost.

Primjer 2

Riješite jednačinu:

Odluka:

Pa, barem ne morate birati korijene, i to je dobro! Hajde da prvo riješimo jednačinu, bez obzira na iracionalnost:

I šta, je li to sve? Ne, avaj, to bi bilo prelako! Mora se imati na umu da samo nenegativni brojevi mogu stajati ispod korijena. onda:

Rješenje ove nejednakosti:

Sada ostaje da saznamo nije li dio korijena prve jednadžbe nehotice pao na mjesto gdje nejednakost ne vrijedi.

Da biste to učinili, ponovo možete koristiti tabelu:


	: , ali	Ne!
		Da!
		Da!

Tako mi je “ispao” jedan od korijena! Ispada ako stavite . Tada se odgovor može napisati na sljedeći način:

odgovor:

Vidite, korijen zahtijeva još veću pažnju! Hajde da zakomplikujemo: neka sada imam trigonometrijsku funkciju ispod korena.

Primjer 3

Kao i do sada: prvo ćemo riješiti svako posebno, a onda ćemo razmisliti šta smo uradili.

Sada druga jednadžba:

Sada je najteže otkriti jesu li negativne vrijednosti dobivene ispod aritmetičkog korijena ako tamo zamijenimo korijene iz prve jednadžbe:

Broj se mora shvatiti kao radijani. Pošto je radijan oko stepeni, radijani su oko stepeni. Ovo je ugao druge četvrtine. Koji je znak kosinusa druge četvrtine? Oduzeti. Šta je sa sinusom? Plus. Pa šta je sa izrazom:

Manje je od nule!

Dakle - nije korijen jednačine.

Sada okrenite.

Uporedimo ovaj broj sa nulom.

Kotangens je funkcija koja se smanjuje za 1 četvrtinu (što je manji argument, veći je kotangens). radijani su oko stepeni. U isto vrijeme

od tada i stoga
,

Odgovor: .

Može li biti još teže? Nema na čemu! Biće teže ako je korijen i dalje trigonometrijska funkcija, a drugi dio jednadžbe opet trigonometrijska funkcija.

Što više trigonometrijskih primjera, to bolje, pogledajte dalje:

Primjer 4

Korijen nije prikladan zbog ograničenog kosinusa

Sada drugi:

Istovremeno, po definiciji korijena:

Moramo zapamtiti jedinični krug: naime, one četvrtine gdje je sinus manji od nule. Šta su ove četvrti? Treći i četvrti. Tada će nas zanimati ona rješenja prve jednadžbe koja se nalaze u trećem ili četvrtom kvadrantu.

Prva serija daje korijene na raskrsnici treće i četvrte četvrtine. Druga serija je dijametralno suprotna od njega i daje korijene koji leže na granici prve i druge četvrti. Stoga nam ova serija ne odgovara.

Odgovor: ,

I opet trigonometrijski primjeri sa "teškom iracionalnošću". Ne samo da opet imamo trigonometrijsku funkciju pod korijenom, već je sada i u nazivniku!

Primjer 5

Pa nema šta da se radi - ponašamo se kao i pre.

Sada radimo sa imeniocem:

Ne želim rješavati trigonometrijsku nejednakost, pa ću to učiniti lukavo: uzet ću i zamijeniti svoj niz korijena u nejednakosti:

Ako je paran broj, onda imamo:

pošto, onda svi uglovi gledanja leže u četvrtoj četvrtini. I opet sveto pitanje: koji je znak sinusa u četvrtoj četvrtini? Negativno. Zatim nejednakost

Ako je neparno, onda:

U kojoj je četvrtini ugao? Ovo je ugao druge četvrtine. Tada su svi uglovi opet uglovi druge četvrtine. Sinus je pozitivan. Baš ono što vam treba! Dakle, serija je:

Odgovara!

S drugom serijom korijena postupamo na isti način:

Zamijenite u našu nejednakost:

Ako je paran, onda

Korneri prve četvrtine. Tu je sinus pozitivan, tako da je serija prikladna. Sada ako je neparno, onda:

odgovara takođe!

Pa, sada zapisujemo odgovor!

odgovor:

Pa, ovo je možda bio najzahtjevniji slučaj. Sada vam nudim zadatke za samostalno rješavanje.

Vježbati

Riješite i pronađite sve korijene jednadžbe koji pripadaju segmentu.

rješenja:

Prva jednadžba:
ili
Root ODZ:
Druga jednačina:
Izbor korijena koji pripadaju intervalu
odgovor:

Or
ili
Ali

Uzmite u obzir: . Ako je paran, onda
- ne odgovara!
Ako - neparno, : - odgovara!
Dakle, naša jednadžba ima sljedeći niz korijena:
ili
Izbor korijena na intervalu:


	- nije prikladno	- odgovara
	- odgovara	- puno
	- odgovara	puno

Odgovor: , .

Or
Od tada kada tangenta nije definirana. Odmah odbacite ovu seriju korijena!

drugi dio:

Istovremeno, ODZ to zahtijeva

Provjeravamo korijene pronađene u prvoj jednadžbi:

Ako znak:

Uglovi prve četvrtine, gdje je tangenta pozitivna. Nije prikladno!
Ako znak:

Četvrti korner. Tu je tangenta negativna. Odgovara. Zapišite odgovor:

Odgovor: , .

Zajedno smo u ovom članku raščlanili složene trigonometrijske primjere, ali trebali biste moći sami riješiti jednadžbe.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Trigonometrijska jednadžba je jednačina u kojoj je nepoznata striktno pod znakom trigonometrijske funkcije.

Postoje dva načina za rješavanje trigonometrijskih jednačina:

Prvi način je korištenje formula.

Drugi način je kroz trigonometrijski krug.

Omogućava vam mjerenje uglova, pronalaženje njihovih sinusa, kosinusa i još mnogo toga.

Trigonometrijske jednadžbe .

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe .

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.

Trigonometrijske jednadžbe. Jednačina koja sadrži nepoznatu pod naziva se znak trigonometrijske funkcije trigonometrijski.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Rješenje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze: transformacija jednadžbe da bude jednostavno tip (vidi gore) i odlukadobijeni najjednostavniji trigonometrijska jednačina. Ima ih sedam osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

1. Algebarska metoda. Ova metoda nam je dobro poznata iz algebre

(promenljiva supstitucija i metoda zamene).

2. Faktorizacija. Pogledajmo ovu metodu s primjerima.

PRIMJER 1. Riješite jednačinu: grijeh x+ cos x = 1 .

Rješenje. Pomjerite sve članove jednačine ulijevo:

Sin x+ cos x – 1 = 0 ,

Hajde da transformišemo i faktorizujemo izraz

Lijeva strana jednačine:

Primjer 2. Riješite jednačinu: cos 2 x+ sin x cos x = 1.

RJEŠENJE cos 2 x+ sin x cos x– grijeh 2 x– cos 2 x = 0 ,

Sin x cos x– grijeh 2 x = 0 ,

Sin x(cos x– grijeh x ) = 0 ,

Primjer 3. Riješite jednačinu: cos 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.

RJEŠENJE cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 grijeh 3 x grijeh x = 0 ,

jedan). cos 4 x= 0 , 2). grijeh 3 x= 0 , 3). grijeh x = 0 ,

Casting to uniformna jednačina. Jednačina pozvao homogeno od relativno grijeh i cos , ako sve to uslovi istog stepena u odnosu na grijeh i cos isti ugao. Za rješavanje homogene jednačine potrebno je:

a) pomjeriti sve svoje članove na lijevu stranu;

b) sve uobičajene faktore staviti van zagrada;

in) izjednačiti sve faktore i zagrade na nulu;

G) zagrade postavljene na nulu daju homogena jednačina manjeg stepena, koju treba podijeliti sa

cos(ili grijeh) u višem stepenu;

d) riješiti rezultirajuću algebarsku jednadžbu s obzirom natan .

PRIMJER Riješi jednačinu: 3 grijeh 2 x+ 4 sin x cos x+ 5 cos 2 x = 2.

Rješenje: 3sin 2 x+ 4 sin x cos x+ 5 cos 2 x= 2 sin 2 x+ 2 cos 2 x ,

Grijeh 2 x+ 4 sin x cos x+ 3 cos 2 x = 0 ,

Tan 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , odavde y 2 + 4y +3 = 0 ,

Korijeni ove jednadžbe su:y 1 = - 1, y 2 = - 3, dakle

1) preplanulost x= –1, 2) tan x = –3,

4. Prijelaz u polu ugao. Pogledajmo ovu metodu na primjeru:

PRIMJER Riješi jednačinu: 3 grijeh x– 5cos x = 7.

Rješenje: 6 sin ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 grijeha ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Uvođenje pomoćnog ugla. Razmotrimo jednačinu oblika:

a grijeh x + b cos x = c ,

Gdje a, b, c– koeficijenti;x- nepoznato.

Sada koeficijenti jednadžbe imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime: modul (apsolutna vrijednost) svakog

Trigonometrijske jednadžbe nisu najlakša tema. Bolno, oni su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obavezne osobine. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi sa x su u okviru ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se x pojavi negdje vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine zahtijevaju individualni pristup. Ovdje ih nećemo razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednačine.) Ovdje ćemo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da, jer odluka bilo koji trigonometrijske jednadžbe se sastoje od dvije faze. U prvoj fazi, jednačina zla se raznim transformacijama svodi na jednostavnu. Na drugom - ova najjednostavnija jednačina je riješena. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Evo a označava bilo koji broj. Bilo koji.

Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti x, već neka vrsta izraza, kao što je:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. To komplicira život, ali ne utiče na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe se mogu riješiti na dva načina. Prvi način: korištenje logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ćemo istražiti ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - razmatrat ćemo u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednačina, nejednačina i svih vrsta lukavih nestandardnih primjera. Logika je jača od memorije!

Jednačine rješavamo pomoću trigonometrijskog kruga.

Uključujemo elementarnu logiku i mogućnost korištenja trigonometrijskog kruga. Zar ne možeš!? Međutim... Biće ti teško u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug ...... Šta je to?" i "Broj uglova na trigonometrijskom krugu." Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Ah, znaš!? Pa čak i savladao "Praktični rad sa trigonometrijskim krugom"!? Prihvatite čestitke. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno raduje je da trigonometrijskom krugu nije važno koju jednačinu rešavate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je isto. Princip rješenja je isti.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednačinu. barem ovo:

cosx = 0,5

Moram da nađem X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate naći ugao (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo ranije koristili krug? Na njemu smo nacrtali ugao. U stepenima ili radijanima. I to odmah viđeno trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajte kosinus jednak 0,5 na krug i odmah vidit ćemo injekcija. Ostaje samo zapisati odgovor.) Da, da!

Nacrtamo krug i označimo kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:

Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidi ovaj isti kutak X.

Koji ugao ima kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki će skeptično gunđati, da... Kažu, da li je vredelo ograđivati krug, kad je ionako sve jasno... Možete, naravno, gunđati...) Ali činjenica je da je ovo greška odgovori. Ili bolje rečeno, neadekvatan. Poznavaoci kruga razumiju da još uvijek postoji čitav niz uglova koji također daju kosinus jednak 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA za puni okret, tačka A će se vratiti u prvobitni položaj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao će se promijeniti 360° ili 2π radijana, i kosinus nije. Novi ugao 60° + 360° = 420° će takođe biti rešenje naše jednačine, jer

Postoji beskonačan broj takvih punih rotacija... I svi ovi novi uglovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednačine. I sve ih treba nekako zapisati. Sve. Inače, odluka se ne razmatra, da...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. U jednom kratkom odgovoru zapišite beskonačan skup rješenja. Evo kako to izgleda za našu jednačinu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću dešifrovati. Još piši smisleno ljepše nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 je isti ugao kao i mi vidio na krugu i odlučan prema tabeli kosinusa.

2π je jedan puni okret u radijanima.

n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli revolucije. To je jasno n može biti 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki unos:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) na skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n mogu se koristiti slova k, m, t itd.

Ova notacija znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Šta želiš. Ako uključite taj broj u svoj odgovor, dobit ćete određeni ugao, koji će sigurno biti rješenje naše oštre jednadžbe.)

Ili, drugim riječima, x \u003d π / 3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih zavoja na π / 3 ( n ) u radijanima. One. 2πn radian.

Sve? br. Ja posebno rastežem zadovoljstvo. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednačinu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja na sljedeći način:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jedan korijen, to je čitav niz korijena, napisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i drugi uglovi koji također daju kosinus jednak 0,5!

Vratimo se našoj slici prema kojoj smo zapisali odgovor. evo nje:

Pređite mišem preko slike i vidi drugi kutak koji također daje kosinus od 0,5.Šta mislite šta je jednako? Trouglovi su isti... Da! On je jednak uglu X , iscrtano samo u negativnom smjeru. Ovo je ugao -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga sa sigurnošću možemo napisati:

x 2 \u003d - π / 3

I, naravno, dodajemo sve uglove koji se dobiju punim okretima:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) U trigonometrijskom krugu, mi vidio(ko razume, naravno)) sve uglovi koji daju kosinus jednak 0,5. I zapisali su ove uglove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor su dvije beskonačne serije korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je tačan odgovor.

nada, opšti princip za rešavanje trigonometrijskih jednačina uz pomoć kruga je razumljivo. Na kružnici označimo kosinus (sinus, tangent, kotangens) iz date jednačine, nacrtamo odgovarajuće uglove i zapišemo odgovor. Naravno, morate shvatiti kakvi smo mi uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako očigledno. Pa, kao što sam rekao, ovdje je potrebna logika.)

Na primjer, analizirajmo još jednu trigonometrijsku jednačinu:

Imajte na umu da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbi!) Samo mi je zgodnije da ga zapišem od korijena i razlomaka.

Radimo po opštem principu. Nacrtamo krug, označimo (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo odjednom sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu. Dobijamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo uglom. X u prvoj četvrtini. Prisjećamo se tablice sinusa i određujemo vrijednost ovog ugla. Stvar je jednostavna:

x \u003d π / 6

Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Sada moramo da definišemo drugi ugao... Ovo je teže nego u kosinusima, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao X jednaka uglu X . Samo se broji od ugla π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao izmjeren ispravno od pozitivne poluose OX, tj. iz ugla od 0 stepeni.

Pređite kursorom preko slike i pogledajte sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

x mi to znamo π /6 . Dakle, drugi ugao će biti:

π - π /6 = 5π /6

Ponovo se prisjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Potpuni odgovor sastoji se od dvije serije korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednačine sa tangentom i kotangensom mogu se lako riješiti korištenjem istog generalnog principa za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Osim ako, naravno, ne znate kako nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.

U gornjim primjerima koristio sam tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih značenja koje učenik zna mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrednosti. Odluči, pa odluči!)

Dakle, recimo da moramo riješiti sljedeću trigonometrijsku jednačinu:

Ne postoji takva vrijednost kosinusa u kratkim tablicama. Hladno ignorišemo ovu strašnu činjenicu. Nacrtamo krug, označimo 2/3 na osi kosinusa i nacrtamo odgovarajuće uglove. Dobili smo ovu sliku.

Razumijemo, za početak, sa uglom u prvoj četvrtini. Da znaju koliko je x jednako, odmah bi zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiren! Matematika ne ostavlja svoje u nevolji! Ona je izmislila lučni kosinus za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lakše nego što mislite. Prema ovom linku, ne postoji niti jedna lukava čarolija o "inverznim trigonometrijskim funkcijama" ... To je suvišno u ovoj temi.

Ako znate, samo recite sebi: "X je ugao čiji je kosinus 2/3." I odmah, čisto po definiciji arkosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvu seriju korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druga serija korijena također se upisuje gotovo automatski, za drugi ugao. Sve je isto, samo će x (arccos 2/3) biti sa minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I sve stvari! Ovo je tačan odgovor. Čak i lakše nego sa tabelarnim vrijednostima. Ne morate ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da je ova slika s rješenjem kroz arc kosinus se suštinski ne razlikuje od slike za jednačinu cosx = 0,5.

Upravo! Opšti princip o tome i generalni! Posebno sam nacrtao dvije skoro identične slike. Krug nam pokazuje ugao X po svom kosinusu. To je tabelarni kosinus, ili ne - krug ne zna. Kakav je ovo ugao, π / 3, ili kakav arc kosinus je na nama da odlučimo.

Sa sinusom ista pjesma. Na primjer:

Ponovo nacrtamo krug, označimo sinus jednak 1/3, nacrtamo uglove. Ispada ova slika:

I opet je slika skoro ista kao i za jednačinu sinx = 0,5. Ponovo krećemo iz kornera u prvoj četvrtini. Čemu je jednako x ako mu je sinus 1/3? Nema problema!

Dakle, prvi paket korijena je spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hajde da pogledamo drugi ugao. U primjeru sa vrijednošću tablice od 0,5, bio je jednak:

π - x

I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa šta!? Možete sigurno napisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno tačan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali to je razumljivo, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kružnice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama sa odabirom korijena na datom intervalu, u trigonometrijskim nejednačinama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krug. Ukratko, u svim zadacima koji su malo složeniji od standardnih.

Primjena znanja u praksi?

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

U početku je jednostavnije, direktno na ovoj lekciji.

Sada je teže.

Savjet: ovdje morate razmišljati o krugu. Lično.)

A sada spolja nepretenciozni ... Nazivaju se i posebnim slučajevima.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Savjet: ovdje treba u krugu odgonetnuti gdje su dvije serije odgovora, a gdje jedan... I kako zapisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ni jedan korijen iz beskonačnog broja ne izgubi!)

Pa, sasvim jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nagoveštaj: ovde treba da znate šta je arksinus, arkosinus? Šta je arc tangenta, arc tangenta? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tabelarne vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, u neredu):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nije sve u redu? Dešava se. Pročitajte lekciju ponovo. Samo zamišljeno(postoji tako zastarjela riječ...) I pratite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga u trigonometriji - kako preći cestu sa povezom preko očiju. Ponekad uspe.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednačine, frakcijske jednačine i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je utvrditi koji tip zadatka se rješava, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očigledno, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom zavisi od toga koliko je ispravno određen tip jednačine koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.

Drugačija situacija se dešava sa trigonometrijske jednačine. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njen tip po izgledu jednačine. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednačinu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u "iste uglove";
2. dovesti jednačinu na "iste funkcije";
3. faktorizovati lijevu stranu jednačine, itd.

Razmislite osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2 Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3 Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Odluka.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Zamjena varijable

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označimo promjenljivom t (ako je potrebno, uvedite ograničenja na t).

Korak 3 Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Odluka.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Shema rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom koristeći formule smanjenja snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Rezultujuću jednačinu rešiti koristeći metode I i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Odluka.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednačinu u formu

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2 Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Korak 3 Riješite jednačinu koristeći poznate metode.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Odluka.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda za transformaciju jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, dovedite ovu jednačinu u jednačinu koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Rezultujuću jednačinu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Odluka.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, kÊ Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, kÊ Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednačina su vrlo Važno je da njihov razvoj zahteva znatan trud, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi vezani su mnogi problemi stereometrije, fizike itd. Proces rješavanja takvih zadataka, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stiču proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju značajno mesto u procesu nastave matematike i razvoja ličnosti uopšte.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Koncept rješavanja trigonometrijskih jednačina.

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednačina. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe na kraju se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednačine.

Rješenje osnovnih trigonometrijskih jednačina.

Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi uključuje gledanje različitih x pozicija na jediničnom krugu, kao i korištenje tablice za konverziju (ili kalkulatora).
Primjer 1. sin x = 0,866. Koristeći tablicu konverzije (ili kalkulator), dobijate odgovor: x = π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: 2π/3. Zapamtite: sve trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove vrijednosti se ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Dakle, odgovor je napisan ovako:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Primjer 2 cos x = -1/2. Koristeći tabelu konverzije (ili kalkulator), dobijate odgovor: x = 2π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Primjer 3. tg (x - π/4) = 0.
Odgovor: x \u003d π / 4 + πn.
Primjer 4. ctg 2x = 1,732.
Odgovor: x \u003d π / 12 + πn.

Transformacije koje se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (faktorizacija, redukcija homogenih članova, itd.) i trigonometrijski identiteti.
Primjer 5. Koristeći trigonometrijske identitete, jednačina sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pretvara se u jednačinu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dakle, sljedeće osnovne trigonometrijske jednačine potrebno je riješiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Pronalaženje uglova iz poznatih vrijednosti funkcija.
- Prije nego naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate naučiti kako pronaći kutove iz poznatih vrijednosti funkcija. To se može učiniti pomoću tablice konverzije ili kalkulatora.
- Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stepeni. Jedinični krug će dati dodatne uglove, čiji je kosinus također jednak 0,732.
Ostavite rješenje na jediničnom krugu.
- Možete staviti rješenja trigonometrijske jednadžbe na jedinični krug. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog poligona.
- Primjer: Rješenja x = π/3 + πn/2 na jediničnom krugu su vrhovi kvadrata.
- Primjer: Rješenja x = π/4 + πn/3 na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog šestougla.
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.
- Ako data trigonometrijska jednačina sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju, riješite ovu jednačinu kao osnovnu trigonometrijsku jednadžbu. Ako ova jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (u zavisnosti od mogućnosti njene transformacije).
  - Metoda 1
- Transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdje su f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrijske jednačine.
- Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Odluka. Koristeći formulu dvostrukog ugla sin 2x = 2*sin x*cos x, zamijenite sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
- Primjer 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
- Primjer 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
  - Metoda 2
- Pretvorite datu trigonometrijsku jednačinu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju nekom nepoznatom, na primjer, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, itd.).
- Primjer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Odluka. U ovoj jednačini zamijenite (cos^2 x) sa (1 - sin^2 x) (prema identitetu). Transformisana jednačina izgleda ovako:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite sin x sa t. Sada jednačina izgleda ovako: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba sa dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Primjer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Odluka. Zamijenite tg x sa t. Prepišite originalnu jednačinu na sljedeći način: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tg x.
Specijalne trigonometrijske jednadžbe.
- Postoji nekoliko posebnih trigonometrijskih jednačina koje zahtijevaju posebne transformacije. primjeri:
- a*sin x+ b*cos x = c; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
- a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
Periodičnost trigonometrijskih funkcija.
- Kao što je ranije spomenuto, sve trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove vrijednosti se ponavljaju nakon određenog perioda. primjeri:
  - Period funkcije f(x) = sin x je 2π.
  - Period funkcije f(x) = tg x jednak je π.
  - Period funkcije f(x) = sin 2x jednak je π.
  - Period funkcije f(x) = cos (x/2) je 4π.
- Ako je u problemu naveden period, izračunajte vrijednost x unutar tog perioda.
- Napomena: Rješavanje trigonometrijskih jednačina nije lak zadatak i često dovodi do grešaka. Zato pažljivo provjerite svoje odgovore. Da biste to uradili, možete koristiti grafički kalkulator da nacrtate datu jednačinu R(x) = 0. U takvim slučajevima, rešenja će biti predstavljena kao decimale (to jest, π se zamenjuje sa 3.14).

Takođe na temu

Od čega se sastoji Viagra: sastav tableta i njihove aktivne supstance

Viagra tablete za muškarce: upute, opis i prednosti

Hepatomegalija jetre: šta je to, eho znaci, kako liječiti

Divinity original sin 2 quests Coast Reaper

Divinity pumpa za ulje. Test za sva godišnja doba. Zmaj bez izvora


	- odgovara!	- odgovara!
	- odgovara!	- odgovara!
	- puno!	- takođe mnogo!